TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008 TNH TON NGU NHIấN VI QU TRèNH DNG HERMITE Dng Tụn m Trng i hc Cụng ngh Thụng tin, HQG HCM 1. M U Hm ngu nhiờn dng a thc Hermite ó c cp n trong cỏc ti liu ca H.McKean [3], Lawrence.C.Evan [4], B.K Oksendan [2] . . . V mt lý thuyt chỳng cú nhng tớnh cht lý thỳ v cng cú nhng ng dng quan trng. Ta bt u t nhng khỏi nim c bn ca gii tớch ngu nhiờn ú l vi v tớch phõn Itụ ca cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn. 2.KHI NIM V QU TRèNH NGU NHIấN DNG HERMITE 2.1.nh Ngha 2.1 a Thc Hermite bc n l a thc xỏc nh bi 22 () (,)expexp0,1,2, !22 nn n n txdx Hxtn ntdxt == (1.1) -Theo nh ngha trờn ta cú: 2 012 3422 34 (,)1;(,);(,) 22 (,);(,); 622448 xt HxtHxtxHxt xtxxtxt HxtHxt === ==+ 2.2.nh Ngha 2.2 Cho t W l quỏ trỡnh Wiener tiờu chun mt chiu (chuyn ng Brown), khi ú quỏ trỡnh ngu nhiờn: ( ) , nt HWt xỏc nh theo (1.1) , c gi l quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite. Vớ d: () 3 3 , 62 tt t WtW HWt= Khỏi nim vi, tớch phõn ngu nhiờn m ta xột trong bi ny l vi, tớch phõn Itụ, ngha l nu hu chc chn ta cú 0 00 (,)(,) tt tt XXsdssdW =++ , khi ú ta vit (,)(,) tt dXtdttdW =+ (1.2) Biu thc (1.2) c gi l vi phõn Itụ ca t X , hay ta cũn gi n gin l vi phõn ngu nhiờn ca t X . 2.3.nh lý 2.3 (Cụng thc Itụ) Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008 Cho t X là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng (1.2) và 2 (,): xtRR ϕ → là một hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất x , một lần khả vi liên tục theo biến thứ hai t . Khi đó quá trình ngẫu nhiên ( ) , t Xt ϕ có vi phân ngẫu nhiên tính bởi công thức: () () () () 2 2 2 1 ,,,,(,) 2 ttttt dXtXtdtXtdXXttdt txx ϕϕϕ ϕβω ∂∂∂ =++ ∂∂∂ (1.3) Công thức (1.3) được gọi là công thức Itô, chứng minh nó trong trường hợp một chiều có thể xem trong [6]. 3. MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.1.Định lý 3.1 Cho ( ) , nnt HHWt = là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với m nguyên và lớn hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên () 122 1 (1) 2 mmm nnnnn mm dHmHdHHHdt −− − − =+ (2.1) 3.2.Bổ đề 3.2 Đối với quá trình ngẫu nhiên Hermite ta sẽ có ( ) ( ) 1 ,, ntntt dHWtHWtdW − = (2.2) Chứng minh bổ đề: Trước hết ta có nhận xét, () 2 2 2 2 0 0 2 expexp 22 ()exp 2 x nn t nn n n n xt dtd ex ddt dx t dxt λ λ λ λ λ λλ − = =    −   −=−            =−−     Suy ra: () () 2 22 2 0 expexp!, 22 x nn n t n nn dtdx xetnHxt ddxt λ λ λ λ =   −=−−=     Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm 2 exp 2 t x λ λ  −   tại 0 λ = ta sẽ có 2 0 exp(,). 2 n n n t xHxt λ λλ ∞ =  −=   ∑ Mặt khác, ta thấy rằng nếu áp dụng công thức Itô cho hàm () 2 0 exp,. 2 n ttnt n t WHWt λ φλλ ∞ =  =−=   ∑ (2.3) TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008 Ta s cú t li l nghim ca phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn (0)1 ttt ddW = = 0 1 t tss dW =+ T ú ta cú 1 001 00 11 tt nnn nnsns nnn HHdWHdW === =+=+ ()() 1 0 ,, t ntnss HWtHWsdW = (2.4) T (2.4) ta suy ra (2.2). Chng minh nh lý 2.1 p dng cụng thc Itụ cho hm ( ) , m tt XtX = , vi m nguyờn, ln hn 1 v ( ) , tnt XHWt . Khi ú t (1.3) v (2.2) ta s thu c iu cn chng minh l biu thc (2.1). Vớ d khi 2 m = t (2.1) ta s cú ( ) 22 1 2 nnnn dHHdHHdt =+ (2.5) Chỳ ý: Biu thc (2.5) cũn cú th thu c t nhn xột sau Nu 1 X v 2 X cú vi phõn ngu nhiờn tng ng l 111 222 t t dXdtdW dXdtdW =+ =+ Khi ú: ( ) 12122112 . dXXXdXXdXdt =++ Vi ( ) 12 , nt XXHWt s dng (2.2) ta s thu c (2.5). 3.3.H qu 3.3 Cho ( ) , nt HWt l cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite, ta s cú () () 2 0 ,exp t ntt n HWteW = = (2.6) Tht vy khi s dng h thc (2.3) vi 1 = s suy ra c (2.6). 3.4.nh lý 3.4 Cho ( ) , nt HWt ; 1,2,3 n = l cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite, ta s cú: (i) ( ) { } ,0 nt EHWt = (2.7) Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008 (ii) () {} () 22 1 0 ,, t ntns EHWtEHWsds −  =   ∫ (2.8) (iii) ()() 1 0 ,,0 t nsnss EHWsHWsdW −  =   ∫ (2.9) Chứng minh định lý 2.4 + Chứng minh (i) và (ii): Ta có nhận xét ( ) ( ) 2 ,,1,2,3;0 nt HWtLtnt ο ∈=> K và từ (2.2) ta có: ()() 1 0 ,, t ntnss HWtHWsdW − = ∫ Trước hết ta chứng minh (i) và (ii) đối với các hàm bước nhảy (step process), ( ) 1 , ns HWs − và giả định rằng ( ) () 11 , k nsn HWsH −− = khi () 11 ; k kkn sssH +− ≤< là ( ) k s F - đo được và ( ) k s F độc lập với σ - trường sinh bởi các chuyển động Brown trong tương lai sau thời điểm k s (i)=> () {} ()()() () () 1 () 111 0 0 ,, t n k ntnssnkk k EHWtEHWsdWEHWsWs − −−+ =  ==−   ∑ ∫ () ()() () 1 () 11 0 0 0 n k nkk k EHEWsWs − −+ = = =−= ∑ 144424443 (ii)=> ()() () ()() () {} 2 1 ()() 11111 ,0 0 t n kj nsnnkkjj kj EHdWEHHWsWsWsWs − −−−++ =    =−−     ∑ ∫ Với jk < , khi đó ( ) ( ) 1 kk WsWs + − độc lập với ( ) ( ) ( ) ()() 111 kj nnjj HHWsWs −−+ − : ()() ( ) ( ) ( ) ( ) { } ()() () {} ()() () ()() 1111 ()() 1111 0 0 kj nnkkjj kj nnjjkk EHHWsWsWsWs EHHWsWsEWsWs −−++ −−++ = <∞ −−= −−= 144424443 1444442444443 Do đó () ()() () {} 2 1 2 2 () 111 0 0 . t n k nsnkk k EHdWEHWsWs − −−+ =    =−=     ∑ ∫ TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008 () ( ) ()() () ( ) () ( ) () 11 22 2 ()() 1111 00 nn kk nkknkk kk EHEWsWsEHss ++ == == 2 1 0 t n EHdt = Phn tip theo ta xp x hm ( ) 1 , ns HWs bng dóy cỏc hm bc nhy v s dng cỏc kt qu va thu c ri chuyn qua gii hn theo nh ngha tớch phõn Ito, ta s thu c (i) v (ii). + Chng minh (iii): T h thc (2.5) ta cú ()()()() 22 11 00 ,2,,, tt ntnsnssns HWtHWsHWsdWHWsds =+ => () {} ()()() 22 11 00 ,2,,, tt ntnsnssns EHWtEHWsHWsdWEHWsds =+ T ú s dng (2.8) ta s thu c (2.9). TI LIU THAM KHO [1]. A.Friedman.Stochastic Differential Equations and Applications Dover Publication, Inc (2006) [2]. B.K Oksendan. Stochastic Differential Equations: and Introduction with Applications. Springer (1995) [3]. H.McKean.Stochastic Integrals, Academic Press (1969) [4]. Lawrence C.Evan. An introduction to Stochastic Differential Equations, UC Berkley (2002) [5]. Dng Tụn m, Quỏ trỡnh ngu nhiờn phn 1: Tớch phõn ngu nhiờn v phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn. NXB HQG Tp.HCM (2007) [6]. A.D.Ventxe, Giỏo trỡnh lý thuyt quỏ trỡnh ngu nhiờn, NXB H v THCN H Ni (1987) . trong [6]. 3. MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.1.Định lý 3.1 Cho ( ) , nnt HHWt = là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với m nguyên và. ()() () ()() () {} 2 1 ()() 111 11 ,0 0 t n kj nsnnkkjj kj EHdWEHHWsWsWsWs − −−−++ =    =−−     ∑ ∫ Với jk < , khi đó ( ) ( ) 1 kk WsWs + − độc lập với ( ) ( ) ( ) ()() 111 kj nnjj HHWsWs −−+ − : ()() ( ) ( ) ( ) ( ) { } ()() () {} ()() () ()() 111 1 ()() 111 1 0 0 kj nnkkjj kj nnjjkk EHHWsWsWsWs EHHWsWsEWsWs −−++ −−++ = <∞ −−= −−= 144424443 1444442444443 . () {} ()()() () () 1 () 111 0 0 ,, t n k ntnssnkk k EHWtEHWsdWEHWsWs − −−+ =  ==−   ∑ ∫ () ()() () 1 () 11 0 0 0 n k nkk k EHEWsWs − −+ = = =−= ∑ 144424443 (ii)=> ()() () ()() () {} 2 1 ()() 111 11 ,0 0 t n kj nsnnkkjj kj EHdWEHHWsWsWsWs − −−−++ =    =−−     ∑ ∫