1 Bất phương trình mũ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình     1 1 2 5 2 5 2 x x x       .   1 Giải Ta có   1      1 1 2 5 2 5 2 x x x         1 1 2 x x x       1 1 0 2 x x x       2 4 1 0 2 x x x     . Ta có bảng xét dấu của 2 4 1 2 x x x    : x  2 3   2  2 3    2 4 1 2 x x x     0  ||  0  Suy ra tập nghiệm của bất phương trình   1 là   2 3; 2 2 3;            . Ví dụ 2. Giải bất phương trình 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34 15 x x x x x x         .   1 Giải Ta có   1  2 2 2 2 2 2 25 25 9 9 34 15 x x x x x x         . Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho 2 2 9 x x  , ta được 2 2 2 2 25 5 25 9 34 9 3 x x x x                    2 2 2 2 25 5 25 34 9 0 9 3 x x x x                   . Đặt 2 2 5 3 x x t         , từ   2 2 2 1 1 1 x x x      suy ra 5 0; 3 t        . Khi đó bất phương trình trên trở thành 2 25 34 9 0 t t       9 25 1 t t       . Do đó bất phương trình   1 tương đường với 2 2 2 2 5 9 3 25 5 1 3 x x x x                         2 2 2 2 2 0 x x x x          2 2 2 2 0 2 0 x x x x         2      ;1 3 1 3; 0;2 x x                     ;1 3 0;2 1 3;x            . Ví dụ 3. Giải bất phương trình   2 1 1 x x x    .   1 Giải Ta thấy 2 2 1 3 1 0 2 4 x x x             x  . Do đó   1  2 2 1 1 0 1 1 0 x x x x x x                      1 x x        1 x   . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 1 2 2 1 0 2 1 x x x      .   1 Giải Nhân hai vế của bất phương trình   1 với 2 0 x  , ta được bất phương trình tương đương:   2 2 2 2 0 2 1 x x x        2 2 2 2 0 2 1 x x x          2 1 2 2 0 2 1 x x x      2 2 0 2 1 x x     2 2 2 1 x x       1 0 x x      . Ví dụ 5. Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   2 4 1 2 1 0 x x a a a        .   1 Giải Đặt 2 x t  , suy ra 0 t  và bất phương trình   1 trở thành   2 4 1 1 0 a t a t a          2 4 1 4 1 a t t t      2 4 1 4 1 t a t t     .   2 Xét hàm   2 4 1 4 1 t f t t t     ( 0 t  ). Ta có     2 2 2 4 2 ' 0 4 1 t t f t t t       0 t   . 0 1 _ 0 _ f t( ) f ' t( ) +∞ ∞ t 3   1 nghiệm đúng với mọi x    2 nghiệm đúng với mọi 0 t   đường thẳng y a  nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số   y f t  ( 0 t  )  1 a  . Ví dụ 6. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4 2 3 0 x x m m     .   1 Giải Đặt 2 x t  , suy ra 0 t  và bất phương trình   1 trở thành 2 3 0 t mt m     .   2 Để   1 có nghiệm thì trước hết   2 phải có nghiệm. Muốn như vậy thì tam thức bậc hai   2 3 f t t mt m     phải có 0   , tức là   2 4 3 0 m m     2 4 12 0 m m     2 6 m m       .   3 Khi đó   2  2 2 4 12 4 12 2 2 m m m m m m t         .   1 có nghiệm    2 có nghiệm dương  2 4 12 0 m m m      2 4 12 m m m      2 2 0 0 4 12 m m m m m                 0 3 m m       . Kết hợp với điều kiện   3 suy ra những giá trị cần tìm của m là     ; 3 6;     . B. Bài tập Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) 2 1 2 1 2 2 x x x    . ĐS:   2;  . 2)     -1 -1 1 5 2 5 2 x x x     . ĐS:     0;1 3;   . 3)     3 1 1 3 10 3 10 3 x x x x        . ĐS:     1;0 1;    . 4) 3 1 2 1 1 1 2 2 x x    . ĐS:   0;  . 5) 1 2 1 2 9 9 9 4 4 4 x x x x x x          . ĐS:   9 4 21 91 ;log . 6) 1 3 4 2 7.3 5 3 5 x x x x        . ĐS:  5 3 ; log 2     . 7) 2 2.3 2 1 3 2 x x x x     . ĐS:  3 2 0;log 3   . 4 Bài 2. Giải các bất phương trình sau 1) 9 2.3 3 x x   . ĐS:   ;1  . 2)     2 1 1 1 1 3 3 3 12 x x    . ĐS:   1;0  . 3) 1 1 0 2 2 2 1 x x x      . ĐS:     ;0 1;    . 4) 2 2 2 1 2 1 2 2 25 9 34.15 x x x x x x        . ĐS:     ;1 3 0;2 1 3;           . 5)       9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1 x x x       . ĐS:   ;0  . 6)     2 2 2 2 - 2 - 1 2 - 3 5 3 5 2 0 x x x x x x      . ĐS:   0;2 . 7) 2 9 3 3 9 x x x    . ĐS:   1;  . Bài 3. Giải các bất phương trình sau 1) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 x x x x        . ĐS:   1;2 . 2) 2 4 4 3 8.3 9.9 0 x x x x      . ĐS:   5;  . 3) 4 4 1 8.3 9 9 x x x x     . ĐS:   0;4 . 4) 2 3 6 3 5 2 15.2 2 x x x x        . ĐS:   2;   . Bài 4. Giải các bất phương trình sau 1) 2.2 3.3 6 1 x x x    . ĐS:   ;2  . 2) 4 2 4 3 2 13 x x    . ĐS:   0;  . 3)   2 2 sin cos 2 2 2 sin cos x x x x    . ĐS: 2 4 k    , k   . . 1 x   . Ví dụ 4. Giải bất phương trình 1 2 2 1 0 2 1 x x x      .   1 Giải Nhân hai vế của bất phương trình   1 với 2 0 x  , ta được bất phương trình tương đương:   2 2. 1 Bất phương trình mũ A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải bất phương trình     1 1 2 5 2 5 2 x x x       .   1 Giải Ta.  suy ra 5 0; 3 t        . Khi đó bất phương trình trên trở thành 2 25 34 9 0 t t       9 25 1 t t       . Do đó bất phương trình   1 tương đường với 2 2 2 2 5