Phơng pháp giải toán cực trị M U I. t vn : Trong thc t chỳng ta thng gp nhng bi toỏn l i tỡm cỏi "nht" trong nhng rng buc no ú (nhiu nht, ớt nht, nhanh nht, chm nht, ngn nht, tt nht, r nht, p nht ). Vỡ vy, cỏc bi toỏn tỡn giỏ tr ln nht (cc i) v giỏ tr nh nht (cc tiu) ca mt i lng gi chung l bi toỏn tỡm cc tr thng xuyờn cú mt trong cỏc kỡ thi tt nghip THCS, thi vo lp 10 THPT, hay thi vo cỏc trng Cao ng, i hc cng nh cỏc thi hc sinh gii nhiu nm, cỏc bi toỏn ny rt phong phỳ ũi hi phi vn dng kin thc mt cỏch hp lớ, nhiu khi khỏ c ỏo v bt ng. bc THCS ( ch yu hc sinh khỏ, gii) ó c lm quen vi loi toỏn ny vi dng chuyờn . Tuy nhiờn khi tỡm hiu thờm mt s ng nghip thỡ thy nú cng khụng d dng vi hc sinh . Cn c vo nhng lớ do trờn, ti c chn l: "Mt s phng phỏp gii toỏn cc tr ". Do nhiu iu kin cng nh kinh nghim cũn hn ch, hn na, õy l vn tng i rng nờn khụng th trỏnh khi sai sút. Rt mong s chớ bo quớ bỏu ca cỏc thy cụ v s úng gúp chõn thnh ca cỏc bn ng nghip. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ! Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 1 Phơng pháp giải toán cực trị KIN THC C BN I - nh ngha: 1- nh ngha 1: Cho biu thc f(x,y, )xỏc nh trờn min D, ta núi m l giỏ tr ln nht ca f(x,y, ) trờn D nu 2 iu kin sau c tho món: i) Vi mi x,y, thuc D thỡ f (x,y, ) m vi m l hng s. ii) Tn ti x o , y o thuc D sao cho f (x,y, ) = m 2- nh ngha 2: Cho biu thc f(x,y, ) xỏc nh trờn min D, ta núi m l giỏ tr nh nht ca f(x,y, ) trờn D nu 2 iu kin sau c tho món: i) Vi mi x ,y, thuc D thỡ f(x,y, ) m vi m l hng s ii) Tn ti x o , y o , thuc D sao cho f(x,y, ) = m. Chỳ ý: trỏnh sai lm thng mc phi khi lm loi toỏn ny , ta cn nhn mnh v khc sõu 2 iu kin ca nh ngha, rốn nhng phn x sau: + Chng t f(x,y, ) m (hoc f (x,y, ) m )vi mi x,y, thuc D. + Ch ra s tn ti x o ,y o , thuc D f(x,y, ) t cc tr. Chỳ ý: n min giỏ tr ca bin. Ta kớ hiu MaxA l giỏ tr ln nht ca A, MinA l giỏ tr nh nht ca A. II - Mt s tớnh cht ca giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hn s: 1: Tớnh cht 1: Ga s A B khi ú ta cú : a) Max f(x) max f(x)A x A x B b) Min f(x) min f(x) x A x B 2: Tớnh cht 2 :"Nguyờn lý phõn ró " Giỏ s D = D 1 D 2 ,khi ú ta cú cụng thc sau: a) Max f(x) =Max Max f(x) , Max f(x) xD x D 1 xD 2 Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 2 Phơng pháp giải toán cực trị b) Min f(x) =Min Min f(x) ,Min f(x) xD xD 1 xD 2 Chỳ ý : T tớnh cht trờn cho phộp chuyn vic tỡm giỏ tr ln nht , nh nht ca mt hm s trờn tp hp D phc tp v cỏc giỏ tr tng ng cỏc tp D 1 ,D 2 n gin hn .Chớnh vỡ vy tớnh cht ny c gi l "Nguyờn lý phõn ró". 3: Tớnh cht 3: Nu f(x,y) 0 vi mi x thuc D, ta cú : a) Max f(x) = 2 ax ( )M f x Max f(x) = 2 ax ( )M f x x D x D x D x D 4: Tnh cht 4: a) Max (f(x) +g(x) ) Maxf(x) + Max g(x) (1) x D x D 1 xD 2 b)Min (f(x) + g(x) ) Min f(x) + Min g(x) (2) x D x D 1 xD 2 Du bng trong (1) xy ra khi cú ớt nht mt im x 0 m ta li cú f(x) v g(x) cng t giỏ tr ln nht.Tng t nu tn ti x 0 thuc D m ti ú f, g cng t giỏ tr nh nht thỡ (2) cng cú du bng 5: Tớnh cht 5: Max f(x) = - Min (f(x)) x D x D Khi dy phn ny, giỏo viờn nờn hng dn hc sinh chng minh cỏc tớnh cht ( da vo nh ngha), trỏnh ỏp t hc sinh nm vng kin thc v trỏnh c sai lm khi vn dng gii bi tp. Chỳ ý: Khi núi n giỏ tr ln nht hay nh nht ca mt hm s, bao gi cng phi tỡm TX. Cựng mt hm s f(x) nhng xột trờn hai TX khỏc nhau thỡ núi chung giỏ tr ln nht tng ng khỏc nhau. cho phự hp vi chng trỡnh cỏc lp ph thụng c s, ta gi thit l cỏc bi toỏn ang xột u tn ti gỏi tr cc tr trờn mt tp hp no ú. II. Vn dng BT Cụ-Si: Vi hai s khụng õm : 0; 0a b thỡ 2a b ab+ du = xy ra a = b. Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 3 Phơng pháp giải toán cực trị Vi n s khụng õm: 1 2 1 2 n n a a a n a a a+ + + du = xy ra 1 2 n a a a= = = IV - Nhng sai lm thng gp khi gi toỏn cc tr. 1 - Sai lm trong chng minh iu kin 1: Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2 3 4 4 5 A x x = + Li gii sai: Phõn thc A cú t s l s khụng i nờn A cú giỏ tr ln nht khi mu nh nht. Ta cú: 4x 2 - 4x + 5 = ( 2x - 1) 2 + 4 4 ,x 2 3 3 , 4 4 5 4 A x x x = + 3 1 axA 4 2 M x = = Phõn tớch sai lm : Tuy ỏp s khụng sai nhng khi khng nh "A cú t s l s khụng i nờn A cú giỏ tr ln nht khi mu s giỏ tr nh nht" m cha a ra nhn xột t v mu l cỏc s dng. Ta a ra mt vớ d: Xột biu thc: 2 1 4 B x = Vi lp lun " phõn thc B cú t khụng i nờn cú giỏ tr ln nht khi mu nh nht", do mu nh nht bng - 4 khi x = 0, ta s i n 1 ax 4 M B = khụng phi l giỏ tr ln nht ca B, chng hn vi x = 3 thỡ 1 1 5 4 > Mc sai lm trờn l do khụng nm vng tớnh cht ca bt ng thc ó mỏy múc ỏp dng quy tc so sỏnh sai phõn s cú t s, v mu s l s t nhiờn sang hai phõn s cú t v mu l s nguyờn. Li gii ỳng: B sung thờm nhn xột: 4x 2 - 4x + 5 = ( 2x - 1) 2 + 4 4 nờn t v mu ca A l cỏc s dng. Hoc t nhn xột trờn suy ra A > 0, do ú A ln nht khi v ch khi mu s nh nht 4x 2 - 4x + 5 nh nht. Vy giỏ tr ln nht ca A l 1 4 khi 1 2 x = Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 4 Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 biết x + y = 4 Lời giải sai: Theo BĐT Cô-Si ta có: A = x 2 + y 2 ≥ 2xy Do đó A nhỏ nhất ⇔ x 2 + y 2 = 2xy ⇔ x = y = 2 Khi đó Min A = 2 2 + 2 2 = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f(x,y) ≥ g(x,y) chữ chưa chứng minh được f(x,y) ≥ m với m là hằng số. Ta đưa ra một ví dụ với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng x 2 ≥ 4x - 4 sẽ suy ra x 2 nhỏ nhất ⇔ x 2 = 4x - 4 ⇔ (x - 2) 2 = 0 ⇔ x = 2 Dẫn đến x 2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là: min x 2 = 0 ⇔ x = 0 Cách giải đúng: Ta có x + y = 4 ⇔ x 2 + 2xy + y 2 = 16 (1) Ta lại có ( x - y) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 - 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Từ (1) và (2): 2(x 2 + y 2 ) ≥ 16 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 8 Vậy min A = 8 ⇔ x = y = 2 2 - Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A x x= + Lời giả sai: 2 1 1 1 1 1 ( 2. . ) ( ) 2 4 4 2 4 A x x x x x= + = + + − = + − vậy min A = 1 4 − Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 5 Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh f(x)≥ 1 4 − chưa chỉ ra trường hợp dấu đẳng thức f(x) ≥ 1 4 − xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 1 2 x = − (Vô lý) Giái đúng: Để tồn tại x phải có x ≥ 0 Do đó A = x + x ≥ 0 min A= 0 ⇔ x = 0 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của A = xyz( x + y)( y + x)( z + x) Với x,y,z ≥ 0 và x + y + z = 1 Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 4ab ≤ ( a + b) 2 4( x + y)z ≤ ( x + y + z) 2 = 1 4( y + z)x ≤ ( y + z + x) 2 = 1 4( z + x)y ≤ ( z + x + y) 2 = 1 Nhân từng vế ( do hai vế đều không âm): 64xyz( x + y)( y + x)( z + x) ≤ 1 Max A = 1 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chổ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để A = 1 64 là 1 , , 0 x y z y z x z x y x y z x y z + =   + =   + =   + + =  ≥   ⇔ 0 1 , , 0 x y z x y z x y z = = =   + + =   ≥  mâu thuẫn Cách gải đúng: áp dụng bất đẳng thức côsin cho 3 số không âm 1 = x + y + z ≥ 3 . 3 xyz (1) Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 6 Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ 2 = ( x + y) + ( y + x) + ( z + x) ≥ 3 . 3 ( )( )( )x y y z z x+ + + (2) Nhân từng vế (1) với (2)( do hai vế đều không âm): 3 3 2 9 ( )( )( ) 9.xyz x y y z z x A≥ + + + = ⇒ 3 3 2 2 8 9 9 729 A A A   ≤ ⇔ ≤ ⇔ =  ÷   vậy MaxA= 8 729 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 2 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ A - Phương pháp tam thức bậc hai: 1- Nội dung: Sử dụng trức tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do. 2 - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai. 1. Tìm gia strị nhỏ nhất của A =x 2 - 8x + 1 2. Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x 2 - 4x + 1 3. Tìm cực trị nếu có của C = - 3x 2 - 4x + 1 4. Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0 Hướng dẫn giải: Nhận xét các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hại. 1. A = x 2 9x + 1 = ( x - 4) 2 - 15 ≥ - 15 ⇒ min A = - 15 ⇔ x = 4 2. B = 2x 2 - 4x + 1 = 2( x -1) 2 - 1 ≥ -1 ⇒ min B = - 1 ⇔ x= 1 3. C = - 3x 2 - 4x + 1 = -3 ( x - ) 2 + ⇒ c = ⇔ x = 4. P = ax 2 + bx + c = a( x 2 + x + ) =a( x - ) 2 - Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 7 2 3 2 7 7 3 3 ≤ 7 3 2 3 b a b a b 2a b 2 - 4ac 4a Phơng pháp giải toán cực trị + Nu a > 0: min P = - x = + Nu a < 0: max P = - x = Dng 2: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca a thc bc cao: Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca A = ( x 2 + x + 1) 2 Hng hdn gii: Min A Min (x 2 + x + 1) Bi toỏn trờn l dng c bit ca mt bi toỏn sau: B = [f(x)] 2 (k N) Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca C = x( x - 3)(x - 4)(x - 7) Hng dn gii: Dựng phng phỏp i bin. Dng 3: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca phõn thc m cú t l hng s, cú mu l tam thc bc hai. Vớ d: Tỡm giỏ tr ln nht ca M = Dng ny phi chỳ ý n du ca t thc. Dng 4: Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca phõn thc cú mu l bỡnh phng nh thc: Vớ d: Tỡm gi tr nh nht ca P = Hng dn gii: P = 1 - + t y = , cú P = y 2 + y - 1 - ( y - ) 2 + Min P = y = x = 1 Cỏch 2: Vit N di dng tng ca mt s vi mi biu thc khụng õm. P = = + 2 Min P = x = 1 Dng 5: Tỡm giỏ tr n nht, ln nht ca mt biu thc bit quan h gia cỏc bin. Vớ d: Tỡm giỏ tr ln nht cabiu thc: A = 3xy - x 2 - y 2 Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 8 b 2 - 4ac 4a b 2a b 2 - 4ac 4a b 2a 3 4x 2 - 4x + 5 x 2 + x + 1 ( x + 1) 2 1 x + 1 1 (x + 1) 2 1 x + 1 1 2 3 4 3 4 3 4 1 2 4x 2 + 4x + 4 4(x + 1) 2 x - 1 2(x - 1) 3 4 3 4 Phơng pháp giải toán cực trị Bit x, y l nghim ca phng trỡnh: 5x + 2y = 10 Ta cú 5x + 2y = 10 y = A = (- 59x 2 + 160x - 100) = - x 2 - - 25 59 80 2 6400 = - - x - + - 25 4 59 3481 59 80 2 1600 = - x - + - 25 4 59 59 125 59 80 2 125 A = - x - 59 4 59 59 Vy Max A = mt s bi tp t gii 1 - Tỡm giỏ tr nh nht (ln nht) ca biu thc sau: a) A = 4x 2 - 20x + 35 b) B = - 2x 2 + 3x + 1 2 - Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: a) A = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5) b) B = x 2 - 2x + y 2 + 4y + 5 3 - Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: P = 2x 2 + 5y 2 vi 4x - 3y = 7 Q = a 3 + b 3 + ab vi a + b = 1 * Tiu kt: Loi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, nh nht bng phng phỏp tam thc bc hai l c bn nht, hiỳp hc sinh d lm quen vi toỏn cc tr. Rốn k nng gii toỏn, i bin mt cỏch linh hot phự hp vi tng loi toỏn bin i cỏc bi toỏn dng khỏc v dng tam thc bc hai. Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 9 10 - 5 2 1 4 59 4 160 59 125 59 80 x = 59 95 y = 59 Phơng pháp giải toán cực trị 2 - Phng phỏp min giỏ tr ca hm s: a) Ni dung phng phỏp: Xột bi toỏn sau: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s f(x) vi x D. Gi y 0 l mt giỏ tr tu ý ca hm s xột trờn min ó cho, tc l h phng trỡnh n (x) sau cú nghim: f(x) = y 0 (1) x D (2) Tu dng ca h (1),(2) m ta cú cỏc iu kin cú nghim thớch hp. Trong nhiu trng hp, iu kin y s a v dng a y 0 3 (3) Vỡ y 0 l mt giỏ tr bt kỡ ca f(x) nờn t (3) ta tỡm c Min f(x) = 3 v Max f(x) = b trong ú x D. Nh vy thc cht ca phng phỏp ny l a v phng trỡnh bc hai v s dng dng iu kin 0 b) Cỏc vớ d: Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca: A = Gii: Biu thc A nhn giỏ tr a khi v ch khi phng trỡnh n x sau õy cú nghim: a = (1) Do x 2 + x + 1 0 nờn (1) ax 2 + ax + a = x 2 - x + 1 (a - 1)x 2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2) TH 1 : Nu a = 1 thỡ (2) cú nghim x = 0 TH 2 : Nu a 1 thỡ (2) cú nghim, cn v l 0, tc l: (a + 1) 2 - 4(a - 1) 2 0 (a + 1 + 2a - 2)(a + 1 - 2a + 2) 0 Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 10 x 2 - x + 1 x 2 + x + 1 x 2 - x + 1 x 2 + x + 1 x 2 - x + 1 x 2 + x + 1 [...]... ⇔x=1 Max A = 3 ⇔ x = -1 Bài tập tự giải: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y= x2 + x + 1 x2 + 1 b) x2 + 3x + 1 x2 + 1 * Tiểu kết: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm... qua việc này giúp cho học sinh rèn kĩ năng giải phương trình 3 - Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc: a) Nội dung phương pháp: Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số M = Max f(x) ⇔ m = Min f(x) ⇔ f(x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃ x0 ∈ D: f(x0) = M f(x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃ x0 ∈ D: f(x0) = M Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D nào... Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 11 Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ + Tìm x0 ∈ D sao cho ứng với gía trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳngt thức Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như côsi, trêbưsop, Bunhia côpski thì các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách pháp hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp b) Các bất đẳng thức thường dùng: 1 a2 ≥ 0 tổng... ≥ ≥ bn n( a1b1 + a2b2 + anbn)≤ ( a1 + a2 + +an) ( b1 + b2 + + bn) Dấu bằng xảy ra ⇔ ai = ajhoặc bi = bj; ai, bj tuỳ ý c)các ví dụ: Ví dụ 1: cho biểu thức xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x4 +y4 + z4 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunha côpxki đối với ( x, y, z) và ( y ,z, x) 1= ( xy + yz + zx )2 ≤( x2 + y2 + z2 ) ( y2 + z2 + x2) ⇒ 1≤ ( x2 + y2 + z2 )2 (1) Mặt khác , đối với ( 1,1... 1≤ 3 (y4 + z4 + x4) = 3P ⇒ P ≥ Vậy Min P = 1 3⇔ x =y 1 =12 y 2 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của : y =x 1 =1 2 = x 2 y y z x 1 1 3 3 1 ⇒x=y=z z2 2 Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 13 Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ a, A = √ x-1 + √ y - 2 biết x + y = 4 b B = √x - 1 √x - + x √y - 1 y Giải: a Điều kiện x≥ 1 ; y≥ 2 a+ b ≥ √ab 2 Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm... thức Côsi cho phép làm giảm một tổng ở đây lại muốn tăng một tổng Ta dùng bất đẳng thức a + b ≤ √2( a2 + b2) A = √x-1 + √y - 2 ≤ √2( x-1 + y -2) = √2 Max A = √2 ⇔ x- 1 = y-2 x + y =4⇔ x= 1,5 y = 2, 5 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Côsi b Điều kiện : x≥ 1 ; y ≥ 2 Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng Người thực hiện: Nguyễn Tiến Đoàn – Trường THCS Hương Sơn – Huyện Mỹ Đức 14 . do. 2 - Các ví dụ: Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai. 1. Tìm gia strị nhỏ nhất của A =x 2 - 8x + 1 2. Tìm giảtị nhỏ nhất của B = 2x 2 - 4x + 1 3. Tìm cực trị nếu có của C = - 3x 2 - 4x. t lũng bit n sõu sc ! Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 1 Phơng pháp giải toán cực trị KIN THC C BN I - nh ngha: 1- nh ngha 1: Cho biu thc f(x,y, )xỏc nh trờn min D, ta núi. f(x) xD x D 1 xD 2 Ngi thc hin: Nguyn Tin on Trng THCS Hng Sn Huyn M c 2 Phơng pháp giải toán cực trị b) Min f(x) =Min Min f(x) ,Min f(x) xD xD 1 xD 2 Chỳ ý : T tớnh cht trờn cho phộp