Phòng Giáo Dục huyện Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trờng THCS Thị Trấn Năm học 2005 2006 Họ và tên: Môn thi: Toán học Lớp: Thời gian làm bài:150 phút Điểm Lời nhận xét của giáo viên Câu 1: Cho x,y z là các số nguyên dơng thoả mãn: xy + yz + xz = 3 a, chứng minh rằng: 3 + x 2 = (x + y)(x - z) b, Tính giá trị của biểu thức: M = 2 22 2 22 2 22 3 33 3 33 3 33 z yx z y xz y x zy x + ++ + + ++ + + ++ ))(())(())(( Câu 2: Xét phơng trình: 6 9696 mx xxxx + =++ a, giải phơng trình với m = 23 b, Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm Câu 3: Cho phơng trình: x 2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 , ẩn x a, CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt b, Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A = 34 4 22 2 2 1 + m mxx nguyên Câu 4: a, chứng minh: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 với 11 ba , b, Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức B = 22 22 yxyx yxyx ++ + Câu 5: cho ABC có các góc đều nhọn, 0 45=A , vẽ các đờng cao BD và CE của ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a, Chứng minh: HD = DC b, Tính tỉ số BC DE c, Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh OA DE Câu 6: a, Giải hệ phơng trình: { 1 136 22 2 =+ =+ yx yxxyx b, cho 555 22 =++++ ))(( yyxx . Tính tổng x + y Đáp án môn toán 9 Câu 1:(3đ) a, Biến đổi VP = 3 22 +=+++ xzyxyxzx ( vì xz+xy+yz = 3) Vậy VP = VT (1đ) b, Tơng tự ta chứng minh đợc: ( )( ) zyxyy ++=+ 2 3 ( )( ) xzzyz ++=+ 2 3 Thay vào biểu thức M ta đợc: ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) xzzy zyxyzxyx z xyzy zxyxxzyz y zxyx xzzyzyxy xM ++ ++++ + ++ ++++ + ++ ++++ = ( ) ( ) ( ) 222 yxzzxyzyx +++++= ( ) ( ) ( ) yxzzxyzyx +++++= zyxzyzxyxzxy +++++= ( ) 6322 ==++= .zxyzxy (2đ) Câu 2:(3đ) Điều kiện x- 9 90 x (0,25đ) Biến đổi phơng trình về dạng: ( ) ( ) 6 3939 22 mx xx =++ Đặt t 9= x khi đó 9 2 == tx (0,25đ) phơng trình đã cho trở thành: ( ) ( ) mttt ++= ++ 9336 2 22 ( ) mttt =+=++ 9336 2 (0,25đ) 0912 2 =++ mtt với 3 t 027 2 =+ mt với 30 t (0,25đ) a, Với m = 23 ta có: 03212 2 =+ tt với 3t 4 2 =t với 30 t (0,25đ) giải ra ta đợc: 248 321 === ttt ,, phơng trình có 3 nghiệm:(0,25đ) 132573 321 === xxx ,, (0,5đ) b, Với 3 t thì 0912 2 =++ mtt ( ) 276 2 += mt . Phơng trình này có nghiệm khi -m + 27 0 27 m (0,5đ) Với 30 t thì phơng trình mt = 27 2 có nghiệm khi 27027 mm (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm khi 27 m (0,25đ) Câu 3:(3đ) a, ta có: ( ) ( ) ( ) 0124212421 2 2 2 +=++== mmmmmm với m Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt (1đ) b, Theo hệ thức viét ta có: ( ) 12 21 =+ mxx 42 21 = mxx . (0,25đ) ta có : ( ) ( ) ( ) 422142 2 21 2 21 2 2 2 1 =+=+ mmxxxxxx (0,25đ) 12124 2 += mm 34 3 3 34 1212 34 412124 34 4 22 22 2 2 1 += + = + = + = mm m m mmm m mxx A (0,75đ) A nguyên 34 3 m nguyên 34 m là ớc của 3 (0,25đ) Giải ra ta đợc m= 0, m = 1 Vậy với m = 0, hoặc m = 1 thì A nguyên (0,5đ) Câu 4:(2,5đ) a, Xét hiệu: + + + + + = + + + + ab b ab a ab ba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2222 (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) abba ababbaba +++ +++ = 111 11 22 22 (0,25đ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 111 1 22 2 +++ = abba abab )( (0,25đ) Vì 010111 + ababba ,, (0,25đ) b, Viết B dới dạng: 1 1 2 2 ++ + = aa aa B (1) (Đặt a y x = ) (0,25đ) Do 01 2 ++ aa nên (1) 1 22 +=++ aaBBaBa (0,25đ) ( ) ( ) ( ) 0111 2 =+++ BaBaB (2) (0,25đ) Nếu 101 == BB thì có nghiệm a = 0 => x = 0 Nếu 1 B thì để (2) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là: 0 ( ) ( ) ( )( ) 3 3 1 033130141 22 + BBBBB (0,25đ) Với 3 1 =B hoặc 3 = B thì nghiệm của (2) là: ( ) 12 1 + = B B a Với 3 1 =B thì a= 1, 3 = B thì a= -1 Vậy 3 1 = B Min khi và chỉ khi a = 1 hay yx y x == 1 (0,25đ) 3= B Max khi và chỉ khi a = -1 hay yx y x == 1 (0,25đ) Câu 5:(6đ) Vẽ hình đúng a, Tam giác vuông AEC có góc A = 45 o => góc ACE = 45 o tam giác vuông HDC có góc DCH = 45 0 => góc DHC = 45 0 => tam giác DHC cân (1,5đ) => HD = DC (0,25đ) b, Ta có CE AB, BD AC, góc BEC = 90 0 , BDC = 90 0 => tứ giác EDCB nội tiếo đờng tròn đờng kính BC => góc DEC = DBC (cùng chắn cung DC) (0,5đ) Mà góc AED + DEC = 90 0 và góc DCB + DBC = 90 0 => góc AED = ACB => AED ~ ACB (g.g) (0,5đ) => 2 2 2 === .AE AE AC AE BC DE (vì AEC vuông cân => AC= AE. 2 ) (1đ) c, Dựngk tia tiếp tuyến Ax với đờng tròn(O) nội tiếp tam giác ABC, ta có : góc BAx= BCA mà góc BCA = AED (1đ) nên góc BAx = AED do đó DE//Ax (0,5đ) mà OA Ax => OA DE (0,5đ) Câu 6:(2,5đ) a, Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với: 013326 2 =++ xyxyxx 1 22 =+ yx (0,25đ) ( )( ) 01213 =+ yxx 1 22 =+ yx 013 = x 012 =+ yx 1 22 =+ yx (0,5đ) Giải hệ trên ta đợc các nghiệm (x, y) là: ( ) 5 3 5 4 10 3 22 3 1 3 22 3 1 ;;;;,;, (0,75đ) b, Lần lợt nhân hai vế của đẳng thức với 5 2 + xx và 5 2 + yy Ta đợc xxyy +=++ 55 22 (0,25đ) yyxx +=++ 55 22 (0,25đ) Công từng vế ta đợc: 002 =+=+=+ yxyxyxyx )( (0,5đ) . Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Trờng THCS Thị Trấn Năm học 2005 2006 Họ và tên: Môn thi: Toán học Lớp: Thời gian làm bài:150 phút Điểm Lời nhận xét của giáo viên Câu 1: Cho x,y z là các. nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức B = 22 22 yxyx yxyx ++ + Câu 5: cho ABC có các góc đều nhọn, 0 45=A , vẽ các đờng cao BD và CE của ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. a, Chứng minh:. án môn toán 9 Câu 1:(3đ) a, Biến đổi VP = 3 22 +=+++ xzyxyxzx ( vì xz+xy+yz = 3) Vậy VP = VT (1đ) b, Tơng tự ta chứng minh đợc: ( )( ) zyxyy ++=+ 2 3 ( )( ) xzzyz ++=+ 2 3 Thay vào biểu