PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 – 2015 Môn: Toán – Lớp 7 (Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) Bài 1. (1,5 điểm) a) Cho A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2015 2016        − − − − −  ÷ ÷ ÷  ÷ ÷        . So sánh A với 1 2015 − b) Cho biểu thức A = 3 2 4 3 3 3 2015 3 3 2014 x x x x x x − − + − + + . Tính giá trị của biểu thức với x = 1 3 Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x, biết: a) ( ) ( ) 3 1 8 2 27 1 x x − = − b) x – 3 x = 0 với x ≥ 0 c) 2 7 5 2x x− = + Bài 3. (1,5 điểm) a) Cho ; 4 7 5 6 x y y z = = . Tính: B = 3 4 5 2 5 x y z x y z − + − + b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là: 26 ; 17 1+ ; 3 11 Bài 4. (1,5 điểm) Cho biểu thức: C = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 x x − + − + a) Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là một số dương. b) Tìm tất cả các số nguyên x, để C có giá trị là một số nguyên. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có µ 0 90A = . Vẽ phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O. a) Tính số đo góc BOC? b) Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh EN song song với DM c) Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh: tam giác AIM vuông cân. Bài 6. (1,0 điểm) a) Xác định đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0; - 3 làm nghiệm. b) Cho đa thức f(x), biết với mọi x ta có: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm. Hết Họ và tên thí sinh:……………………………………….…Số báo danh:……………… Chữ ký của giám thị số 1:………………………………………….…………………… Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 7 Bài Nội dung Điểm Bài 1 a) A = 1 2 3 2014 2015 1 . . . 2 3 4 2015 2016 2016 − − − − − − = > 1 2015 − 0,75đ 1,5đ b) x = 1 3 ⇒ 3x = 1 ⇒ 3x – 1 = 0 A = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 3 1 2014 3 1 3 1 2015 x x x x x x − − − + − + − + Vì 3x – 1 = 0, nên A = 2014 2015 0,75đ Bài 2 a) 81(x – 1) 2 = 16 ( ) 2 2 4 4 1 1 9 9 x x   ⇒ − = ⇒ − =  ÷   hoặc x – 1= 4 9 − +) x – 1 = 4 9 ⇒ x = 13 9 +) x – 1 = 4 5 9 9 x − ⇒ = 0,5đ 1,5đ b) ( ) 3 0 0x x x− = ⇒ = hoặc x = 9 0,5đ c) 2x – 7 = 5x + 2 hoặc 2x – 7 = -5x – 2 ⇒ x = -3 hoặc x = 5 7 0,5đ Bài 3 a) 20 35 42 x y z k= = = ⇒ x = 20k, y = 35k, z = 42k ⇒ B = 3.20 4.35 5.42 130 13 20 2.35 5.42 160 16 k k k k k k k k − + = = − + 0,75đ 1,5đ b) 3 11 99= là số lớn nhất trong ba số. Xét tổng: 26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11+ + > + + = + + = = > = Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai đoạn thẳng kia. Vậy, tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên. 0,75đ Bài 4 a) Ta thấy: 2(x – 1) 2 + 1 > 0 và (x – 1) 2 + 2 > 0 với mọi x Vậy biểu thức C luôn dương. 0,5đ 1,5đ b) C = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 1 2 x x x   − + −   = − − + − + Để C nguyên, ta phải có (x – 1) 2 + 2 là ước dương của 3 Vì (x – 1) 2 + 2 ≥ 2, nên (x – 1) 2 + 2 = 3 ⇒ (x – 1) 2 = 1 Ta tìm được x = 2 hoặc x = 0 0,5đ c) C nhỏ nhất khi ( ) 2 3 1 2x − + lớn nhất Vì (x – 1) 2 + 2 ≥ 2 nên ( ) 2 3 1 2x − + 3 2 ≤ 0,5đ ⇒ 2 – ( ) 2 3 1 2x − + ≥ 2 – 3 2 Hay C ≥ 1 3 Vậy, C nhỏ nhất bằng 1 3 tại x = 1 Bài 5 a) · · · · 2 ABC ACB BOC BAC + = + 0 0 0 0 0 90 90 90 45 135 2 = + = + = 1,0đ 3,0đ b) ∆ABM cân, nên phân giác BD đồng thời là đường trung trực. ∆ACN cân, nên phân giác CE đồng thời là đường trung trực. Suy ra: DA = DM, EA = EN Dẫn tới: ∆ABD = ∆MBD, ∆ACE = ∆NCE (ccc) Suy ra: · · · · 0 0 90 ; 90DMB DAB ENC EAC= = = = Hay: EN ⊥ BC; DM ⊥ BC Do vậy: EN // DM. 1,0đ c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO là phân giác góc BAC ⇒ · 0 45OAE = ∆OAE = ∆ONE (ccc) ⇒ · · 0 45OAE OAE= = ⇒ · 0 45ONM = (1) Theo c/m câu b ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ⇒ OM = ON hay ∆OMN cân tại O (2) Từ (1)(2) ⇒ ∆OMN vuông cân tại O Dễ chứng minh · · · · 0 0 2 2 90 45MON MAI MAI MAI= ⇒ = ⇒ = ∆AIM có IA = IM (do I thuộc trung trực BD của AM) nên cân tại I. Lại có · 0 45MAI = . Vậy, ∆AIM vuông cân tại I. 1,0đ Bài 6 a) P(x) = x 2 + ax + b Vì 0 là một nghiệm của đa thức, nên: f(0) = b = 0 -3 là một nghiệm của đa thức, nên: 9 – 3a + 0 = 0 ⇒ a = 3 Đa thức P(x) = x 2 + 3x là đa thức cần tìm. 0,5đ 1,0đ b) Với x = 0, ta có: 0.f(1) = 2.f(0) ⇒ f(0) = 0 ⇒ 0 là một nghiệm của f(x). Với x = - 2, ta có: -2.f(-1) = 0.f(-2) ⇒ f(-1) = 0 ⇒ -1 cũng là một nghiệm của f(x). Vậy, đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm. 0,5đ Người biên soạn Nguyễn Thị Hằng Hải I O D E N M C B A . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 – 2015 Môn: Toán – Lớp 7 (Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) Bài 1. (1,5 điểm). chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 7 Bài. 0, ta có: 0.f(1) = 2.f(0) ⇒ f(0) = 0 ⇒ 0 là một nghiệm của f(x). Với x = - 2, ta có: -2 .f (-1 ) = 0.f (-2 ) ⇒ f (-1 ) = 0 ⇒ -1 cũng là một nghiệm của f(x). Vậy, đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm. 0,5đ