Mục lục Lời mở đầu 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC c ơ BẢN 6 1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ th ị 6 1.1.1 Định nghĩa đồ t h ị 6 1.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng hình h ọ c 7 1.2 Nhân của đồ t h ị 9 1.2.1 Tầp ổn định trong và tập ổn định n g o à i 9 1.2.2 Nhân của đồ thị 10 1.2.3 Điều kiện có nhân của đồ th ị 11 1.3 Tổng D ig it 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính chất của tổng D ig it 14 2 TRÒ CHƠI ĐƠN 15 2.1 Định nghĩa trò chơi đơn 15 2.2 Cách giải quyết trò chơi đ ơ n 15 2.2.1 Giải quyết trò chơi đơn bằng cách dùng nhân của đồ t h ị 15 2.2.2 Giải quyết trò chơi đơn sử dụng đồng dư 18 2.3 Ví dụ minh h ọ a 19 2.4 Bài tập tương tự 30 3 TRÒ CHƠI HỢP 31 3.1 Định nghĩa trò chơi hợp 31 3.2 Cách giải quyết trò chơi 31 2 3.2.1 Xây dựng hàm Grundy của trò c h ơ i 31 3.2.2 Thuật toán cho người đi đầu thắng cu ộc 32 3.3 Ví dụ minh h ọ a 34 3.4 Bài tập tương tự 47 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 3 Lời mở đầu Từ thời cổ đại hay trong các bài toán thi olympic có những bài toán có nội dung trò chơi, chẳng hạn bài toán bốc một hay nhiều đống vật, một hay nhiều đống bi. Hai đấu thủ lần lượt thay nhau bốc các vật với quy ước. 1. Người đi đầu được xác định ngẫu nhiên bằng gieo đồng tiền hoặc gắp thăm. 2. Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một vật và không được bốc quá số lượng quy định. 3. Trong trường hợp có nhiều đống vật, thì người đến lượt chỉ được bốc ở một trong những đống còn vật. 4. Người nào bốc được vật cuối cùng sẽ thắng cuộc. Tùy thuộc vào số lượng đống vật mà trò chơi được chia thành hai dạng: 1. Trường hợp có một đống vật trò chơi được gọi là trò chơi đơn và có hai cách giải quyết tương ứng là dùng đồng dư và dùng nhân của đồ thị. 2. Trường hợp có từ hai đống vật trở lên trò chơi được gọi là trò chơi hợp và giải quyết bằng cách dùng hàm Grundy. o Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chương sau. Đó là đồ thị, nhân của đồ thị và tổng Digit. o Chương 2: Trình bày về trò chơi đơn và hai cách giải quyết tương ứng là dùng đồng dư và dùng nhân của đồ thị. 4 o Chương 3: Trình bày về trò chơi hợp và giải quyết bằng cách dùng hàm Grundy. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn! 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC c ơ BẢN 1.1 C ác khái niệm cơ bản về đồ thị 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1. Tập hợp 1 / 0 các đối tượng và bộ E các cặp sắp thứ tự và không sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ thị đồng thời được ký hiệu bằng G (x , E ) hoặc bằng G — (X , E ) hoặc bằng G(X ). Định nghĩa 1.2. Các phần tử của X được gọi là các đỉnh. Cặp đỉnh không sắp thứ tự được gọi là cạnh, cặp đỉnh sắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng hay cung. Định nghĩa 1.3. Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứa các cung được gọi là đồ thị có hướng. Nếu đồ thị chứa cả cạnh lẫn cung gọi là đồ thị hỗn tạp. Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hay nhiều hơn hai cạnh ( hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng). Các cạnh ( cung) này được gọi là các cạnh (cung ) bội. Một cung( hay một cạnh) có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Cung hay cạnh loại này được gọi là khuyên hay nút. Định nghĩa 1.4. Cặp đỉnh X, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a, thì x,y được gọi là các đỉnh hay hai đầu của cạnh (cung) a và a được gọi là cạnh (cung) thuộc đỉnh X và đỉnh y. Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u và đi vào đỉnh V, thiu được gọi là đỉnh đầu, còn V được gọi là đỉnh cuối của cung b. 6 Định nghĩa 1.5. Cặp đỉnh x,y được gọi ỉà hai đỉnh kề nhau, nếu X Ỷ y và ỉà hai đầu của cùng một cạnh hay một cung. Định nghĩa 1.6. Đối với mọi đỉnh X của đồ thị G (X ,E ). Ta dùng kí hiệu: D{x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được nối với X bằng ít nhất một cạnh. D+ (x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ X có cung đi tới. D~{x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này có cung đi tới X. Định nghĩa 1.7. Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và chúng có đỉnh chung( nếu a, b ỉà cung, thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b). 1.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng hình học Giả sử có đồ thị G(X, E). Biểu diễn đỉnh : Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các phần tử thuộc tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử này để ghi trên các điểm tương ứng. Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu là X, y, thì nó được biểu diễn bằng một đoạn thẳng hay đoạn cong nối giữa hai điểm X, y và không đi qua các điểm tương ứng trung gian khác. Biểu diễn cung: Nếu cung a có đỉnh đầu là X, đỉnh cuối là y, thì nó được biểu diễn bằng một đoạn thẳng hay đoạn cong định hướng đi từ X sang y và không đi qua các điểm tương ứng trung gian khác. Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G (X ,E ). Đôi khi người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là một đồ thị. Ví dụ 1.1. Cho đồ thị hỗn hợp G (X ,E ). Đồ thị G(x, E ) với tập đỉnh X — X3, X4, Xạ, X5, iCß} Tập cạnh và cung: 7 E = ịx ix 2; X2X3] X4XG; x 5Xß] X i,x6; x 3, x 5; x 4, x 5} = {ữi, a2, a3, a4, bi, b2, 63} ai,a2,a 3, a4 là các cạnh, òi, Ò2, b3 các cung. Ví dụ 1.2. Cho đồ thị sau: Tập cạnh và cung Hình 1.2: Đồ thị E = {x i,x 2\x 2 , x 3] x 3, Xi} = {a>l, 0>2, ^3} a\,a2,a3 là các cung. 8 Ví dụ 1.3. Cho đồ thị sau: Tập cạnh và cung E — X4'ị *£4, *^3) *£3 , x2] x2ì X\'i X4ị XỊịị XSj Xq} = {oi, 04, 03, 02, ữ5, Oß} Oi, 0 2 , 0 3 , 0 2 , ÍỈ5, 06 là các cung. 1.2 N hân củ a đồ thị 1.2.1 Tập ổn định trong và tập ổn định ngoài Cho đồ thị G (x, E ). Trong số các tập con của X ta quan tâm đến 2 loại tập đặc biệt: tập ổn định trong và tập ổn định ngoài. Định nghĩa 1.8. Tập A c X được gọi ỉà tập ổn định trong nếu mọi cặp đỉnh X, y e A đều không kề nhau( tức ỉà không có cạnh hoặc cung nào nối X vày). A ỉà tập ổn định trong -H- x,y e A ta có : ị x ậ D (y )U D + (y), \y ệ D(x) u D+ (x), 9 Kỉ hiệu H{G ) là họ các tập ổn định trong của đồ thị G. Nhận xét : Nếu A là tập ổn định trong thì mọi tập con của A đều là tập ổn định trong. Định nghĩa 1.9. Tập A c Xđược gọi là tập ổn định trong cực đại nếu A là tập ổn định trong và nếu thêm vào một đỉnh X bất kì ta đều có tập A u {a;} đều không là tập ổn định trong. Định nghĩa 1.10. Tập B c Xđược gọi là tập ổn định ngoài nếu với mọi đỉnh X ị B đều có đỉnh y e B để hoặc có cạnh nối X và y, hoặc có cung từ X vào y. B được gọi là tập ổn định ngoài ^ Vx ệ B thì 3y e B sao cho y E D(x) u D+ (x) Kí hiệu K(G)là họ các tập ổn định ngoài của đồ thị G. Nhận xét : Nếu B là tập ổn định ngoài thì mọi tập chứa B đều là tập ổn định ngoài. Định nghĩa 1.11. số lớn nhất trong cấc lực lượng của các tập ổn định trong của G được gọi là số ổn định trong của G. Kí hiệu a(G). Số bé nhất trong các lực lượng của các tập ổn định ngoài của G được gọi là số ổn định ngoài của G. Kí hiệu /3(G). a(G) = max{|^4| : A G H (G )} ị3{G) = min{\B\ : B E K (G )} 1.2.2 Nhân của đồ thị Khái niệm nhân là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đồ thị. Nó được sử dụng rất nhiều trong lý thuyết đồ thị và lý thuyết trò chơi đặc biệt là trong luận văn này. 10 Định nghĩa 1.12. Cho đồ thị G(x, ETập c được gọi là nhân của đồ thị G nếu s vừa là tập ổn định trong, vừa là tập ổn định ngoài. Tức là s thỏa mãn 2 điều kiện: • Từng cặp đỉnh X, y thuộc s không có cạnh hoặc cung nối X v à y ; • Mọi đỉnh X không thuộc s đều có đỉnh y thuộc s để hoặc có cạnh hoặc cung nối X và y; 1.2.3 Điều kiện có nhân của đồ thị Khi ứng dụng lý thuyết đồ thị vào trò chơi thì việc xác định nhân của đồ thị rất quan trọng. Việc đồ thị có nhân hay không quyết dịnh trò chơi tương ứng có thể tìm được thế thắng hay không. Các định lý và hệ quả sau đây sẽ giúp ta biết khi nào một đồ thị có nhân khi nào một đồ thị không có nhân. Định lý 1.1 (4). Dồ thị G(x, E) có ổn định trong của G nhỏ hơn số ỗn định ngoài của G thì đồ thị G không có nhân. Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng. Giả sử đồ thị G có nhân s. Do s là tập ổn định trong của G nên theo định nghĩa số ổn định trong của G ta có |5| ^ a(G ). Do s là tập ổn định ngoài của G nên theo định nghĩa số ổn định ngoài của G ta có \s\ ^ ß(G ) . Từ đó ta có: ß (G) < \s\ < a{G ) < Điều này vô lý nên kết luận G không có nhân. □ Định lý 1.2 ( 4 ). Nếu s là nhăn của đồ thị G(x, E)thì nó cũng là tập ổn định trong cực đại của G . 11 [...]... hiện trò chơi bốc bi theo nguyên tắc : • Người đi đầu được xác định ngẫu nhiên bằng gieo đồng xu hoặc gắp thăm • Hai người lần lượt bốc, đến lượt của ai thì chỉ được bốc ở một trong những đống còn vật và phải bốc ũ nhất 1 vật, và Nếu bốc ở đống thứ nhất thì bốc không quá 2 vật Nếu bốc ở đống thứ hai thì bốc không quá 3 vật Nếu bốc ở đống thứ ba thì bốc không quá 4 vật Nếu bốc ở đống thứ tư thì bốc. .. cuộc Cách 2: Giải quyết trò chơi dùng đồng dư Ta có 2 = 17 mod 5 Nên không có thuật toán cho người đi đầu thắng cuộc Giả sử người đi đầu bốc 1 vật còn lại 8 vật + ) Người đi trước bốc 2 vật khi đó còn 15 vật chia hết cho 5 + ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t, 1 < t < 4vật thì người đi trước sau bốc 5 — t vật để luôn còn lại số vật chia hết cho 5 +)Người đi sau bốc s, 1 < s < 4vật thì người đi sau bốc. .. trước bốc m vật khi đó còn n — m vật chia hết cho (Ả + 1) ; + ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t : 1 < t < k vật thì người đi trước bốc k + l — t vật để luôn còn lại số vật chia hết (k + 1) Tiếp tục quá trình tương tự như trên giả sử người đi sau bốc s : 1 < s < k vật thì người đi trước bốc k + 1 — s vật để luôn còn lại số vật chia hết (Ả + 1) ; + ) Cuối cùng còn k + 1 vật người đi sau bốc ít nhất 1 vật. .. người đi sau bốc thắng cuộc Giả sử người đi đầu bốc 1 vật còn lại 8 vật Người đi sau thực hiện thuật toán sau để thắng cuộc: Ta có 2 = 8 mod 3 + ) Người đi sau bốc 2 vật khi đó còn 6 vật chia hết cho 3 + ) Tiếp theo nếu người đi trước bốc t, 1 < t < 2 vật thì người đi trước sau bốc 3 — t vật để luôn còn lại số vật chia hết cho 3 +)Người đi trước bốc s, 1 < s < 2 vật thì người đi sau bốc 3 — s vật để luôn... lần lượt bốc, đến lượt của ai thì chỉ được bốc ở một trong những đống còn vật và phải bốc ít nhất 1 vật, nếu bốc ở đống thứ i, (1 ^ i ^ Ả thì bốc không quá ĩĩii vật ;) • Người nào bốc được vật cuối cùng là người thua cuộc Vấn đề đặt ra khi giải quyết trò chơi là tìm ra thuật toán để người đi trước đảm bảo thắng cuộc 33 Xây dựng hàm Grundy của trò chơi tương tự trên Giả sử tại bộ số lượng vật xuất phát... trong khuyên tròn có mũi tên đi vào • Các đỉnh 15, 10,5 , 0 được đặt trong các ô chữ nhật + ) Cung: • Tại mỗi đỉnh x(x ^ 4)có các cung đi tới các đỉnh X — 1]X — 2] X — 3; X — 4 Với các nhãn tương ứng bằng các số 1; 2; 3; 4 • Đỉnh 3 có các cung nhãn 1 đi tới các đỉnh 2; cung nhãn 2 đi tới các đỉnh 1; cung nhãn 3 đi tới các đỉnh 0 • Đỉnh 2 có các cung nhãn 1 đi tới các đỉnh 1; cung nhãn 2 đi tới các đỉnh... trong các ô chữ nhật + ) Cung: • Tại mỗi đỉnh x (x ^ 5) có các cung đi tới các đỉnh X — 1] X — 2] X — 3; X — 4; X — 5 Với các nhãn tương ứng bằng các số 1; 2; 3; 4; 5 • Đỉnh 4 có các cung nhãn 1 đi tới các đỉnh 3; cung nhãn 2 đi tới các đỉnh 2; cung nhãn 3 đi tới các đỉnh 1; cung nhãn 4 đi tới các đỉnh 0; • Đỉnh 3 có các cung nhãn 1 đi tới các đỉnh 2; cung nhãn 2 đi tới các đỉnh 1; cung nhãn 3 đi tới các. .. + 1) + ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t : 1 < t < k vật thì người đi trước bốc k + l — t vật để luôn còn lại số vật đồng dư với 1 mod (k + 1) + ) Tiếp tục quá trình tương tự như trên giả sử người đi sau bốc s : 1 < s < k vật thì người đi trước bốc k + 1 —s vật để luôn còn lại số vật đồng dư với 1 mod (k + 1) + ) Cuối cùng còn k + 2 vật người đi sau bốc ít nhất 1 vật nên số còn lại không ít hơn 2 và... trước sau bốc 6 — t vật để luôn còn lại số vật chia hết 6 dư 1 +)Người đi sau bốc s, 1 < s < 5 vật thì người đi sau bốc 6 — s vật để luôn còn lại số vật chia hết 6 dư 1 + ) Cuối cùng còn 7 vật, người đi sau bốc ít nhất 1 vật nhiều nhất 5 vật còn ít nhất 2 vật nhiều nhất 6 vật Người đi trước bốc sao cho còn 1, người 29 đi sau bốc nốt và thua cuộc Khi đó người đi trước sẽ là người thắng cuộc 2 4 B à i... tức là bốc 1 que diêm) để đi tới đỉnh 0 Người đi sau là người bốc que diêm cuối cùng và thua cuộc Hay người đi đầu thắng cuộc Cách 2: Giải quyết trò chơi dùng đồng dư Ta có 5 = 23 mod 6 Nên thuật toán cho người đi đầu thắng cuộc + ) Người đi trước bốc 5 — 1 = 4 vật khi đó còn 1 = 19 mod 6 + ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t : 1 < t < 5 vật thì người đi trước sau bốc 6 — t vật để luôn còn lại số vật