Mục lục Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Một số công thức lượng giác và các cung liên quan đặc biệt . . . . . . . 7 1.2.Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Áp dụng tính lồi lõm của hàm số chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.Một số kiến thức cơ bản về hàm số lồi, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.Phương pháp áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm . . . . . . . . . 34 2.2.1. Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2. Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Karamata . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1. Áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2. Áp dụng bất đẳng thức Karamata xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 2.4.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1. Áp dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức Jensen xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 49 Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số cổ điển chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . 53 3.1.1. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 66 3.2.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một đề tài rất trừu tượng đối với học sinh, đặc biệt là các bất đẳng thức trong tam giác. Chưa kể đến việc sáng tạo các bất đẳng thức mới, chỉ nói đến việc chứng minh các bất đẳng thức cơ bản thôi cũng đã là quá phức tạp rồi. Mặc dù mấy năm trở lại đây, bất đẳng thức trong tam giác không được đề cập nhiều trong chương trình toán phổ thông nhưng nó luôn là vấn đề thu hút với những ai ham mê Toán học, đặc biệt là những học sinh chuyên toán. Bởi vì, bất đẳng thức trong tam giác là sự kết hợp của các yếu tố: Đại số, Giải tích và Hình học nên nó mang vẻ đẹp riêng. Đối với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức trong tam giác nói riêng, học sinh luôn băn khoăn: làm thế nào để phân loại và nhận diện đúng các dạng bài toán. Đồng thời, tương ứng với từng dạng cụ thể thì việc áp dụng phương pháp chứng minh nào là hiệu quả nhất. Mặt khác, như chúng ta đã biết, một người học sinh được đánh giá là giỏi toán thì không những phải biết nắm vững các phương pháp hay, giải quyết được nhiều bài toán khó mà còn phải biết tự mình tìm tòi và sáng tạo ra các bài toán mới. Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại các bất đẳng thức trong tam giác, tác giả còn muốn kích thích sự sáng tạo của các em bằng những ý tưởng xây dựng các bất đẳng thức nằm ngoài những tài liệu sẵn có. Việc chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức là hai quá trình bổ trợ đắc lực cho nhau. Bởi vì khi đã nắm vững được phương pháp chứng minh, học sinh có thể tự sáng tạo bất đẳng thức mới. Cùng với đó, việc sáng tạo bất đẳng thức mới cũng giúp học sinh củng cố được phương pháp chứng minh. Các em sẽ chủ động tiếp thu kiến thức chứ không thụ động giải quyết các bài toán có trong sách vở. Tất cả những điều đó đã thôi thúc tác giả tìm hiểu, nghiên cứu đề tài Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác. Do khuôn khổ hạn chế của luận văn nên tác giả chỉ tập trung khai thác các bất đẳng thức có liên quan đến các đại lượng góc trong tam giác. Ngoài ra các dạng bất đẳng thức khác, tác giả xin dành cho những chuyên đề sau. Luận văn bao gồm ba chương: • Chương 1. Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác. 4 Tác giả trình bày Định lý về dấu của tam thức bậc hai và một số biến đổi lượng giác cơ bản. Từ đó nêu các phương pháp chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác. Nội dung của phương pháp này là biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tam thức bậc hai theo một biến nào đó. Sau đó, áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để suy ra điều phải chứng minh. • Chương 2. Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số để chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác. Thông qua việc xét tính lồi, lõm của các hàm số lượng giác, sử dụng một số định lý cơ bản trong Giải tích lồi: Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm; Bất đẳng thức Karamata; Định lý Jensen để chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức tương đối phức tạp. • Chương 3. Áp dụng các bất đẳng thức đại số cổ điển để chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác. Trong toàn bộ chương này, tác giả trình bày phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh một lớp các bất đẳng thức trong tam giác; đồng thời nêu ý tưởng kết hợp giữa các bất đẳng thức đại số cổ điển với các bất đẳng thức cơ bản để xây dựng các bất đẳng thức mới trong tam giác Mặc dù bất đẳng thức trong tam giác là một nội dung tương đối rộng, có nhiều cách phân loại cũng như có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên tác giả chỉ xin trình bày ba nội dung phân loại này bởi phạm vi của bài luận văn khá hạn hẹp. Các phương pháp chứng minh có thể chưa bao quát hết toàn bộ các bất đẳng thức trong tam giác nhưng cũng phần nào giải quyết được một lớp khá lớn những bất đẳng thức tương đối phức tạp. Chắc chắn rằng bên cạnh những thành công vẫn còn khá nhiều thiếu sót nên tác giải rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp để nội dung của bài luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Thoan 5 Chương 1 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác Tính chất của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong giải toán. Việc áp dụng tính chất này để chứng minh các bất đẳng thức không phải là cách làm quá mới mẻ với học sinh phổ thông mà nó đã trở thành một cộng cụ hữu hiệu và khá quen thuộc. Tuy nhiên, việc ứng dụng tam thức bậc hai để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác lại đem đến cho chúng ta những điều rất thú vị. Bởi vì, bản thân các bất đẳng thức đó có những đặc trưng cơ bản khác hẳn với các bất đẳng thức thông thường. 1.1. Một số kiến thức cơ bản 1.1.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai Định lý 1.1.1. Cho tam thức bậc hai f (x) = ax 2 + bx + c, (a = 0). Đặt ∆ = b 2 − 4ac. - Nếu ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R. 6 - Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x = − b 2a . - Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , giả sử x 1 < x 2 . Khi đó f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (−∞, x 1 ) ∪ (x 2 , +∞) và trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x 1 , x 2 ). Cách giải của phương trình bậc hai. Cho phương trình bậc hai có dạng ax 2 + bx + c = 0, (a = 0). Đặt ∆ = b 2 − 4ac. - Nếu ∆ < 0 thì phương trình trên vô nghiệm. - Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là x 1 = x 2 = − b 2a . - Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = −b ± √ ∆ 2a . 1.1.2. Một số công thức lượng giác và các cung liên quan đặc biệt Để làm tốt việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, việc nắm vững các công thức lượng giác là vô cùng quan trọng. Đây là công cụ để biến đổi các biểu thức lượng giác về dạng mà ta cần. 1. Công thức lượng giác cơ bản • sin 2 x + cos 2 x = 1. • 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x . • 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x . • tan x = sin x cos x . • cot x = cos x sin x . • tan x cot x = 1. 7 2. Công thức giữa các góc liên quan đặc biệt ∗ Hai góc đối nhau: (x và −x). • cos (−x) = cos x. • sin (−x) = −sin x. • tan (−x) = −tan x. • cot (−x) = −cot x. ∗ Hai góc bù nhau: (x và π − x). • sin (π − x) = sin x. • cos (π − x) = −cos x. • tan (π − x) = −tan x. • cot (π − x) = −cot x. ∗ Hai góc phụ nhau: (x và π 2 − x). • sin  π 2 − x  = cos x. • cos  π 2 − x  = sin x. • tan  π 2 − x  = cot x. • cot  π 2 − x  = tan x. ∗ Hai góc hơn, kém π 2 : (x và π 2 + x). • sin  π 2 + x  = cos x. • cos  π 2 + x  = −sin x. • tan  π 2 + x  = −cot x. • cot  π 2 + x  = −tan x. ∗ Hai góc hơn, kém nhau π: (x và π + x). • sin (π + x) = −sin x. • cos (π + x) = −cos x. • tan (π + x) = tan x. • cot (π + x) = cot x. 3. Công thức cộng • cos (x + y) = cos x cos y −sin x sin y. • cos (x −y) = cos x cos y + sin x sin y. • sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y. • sin (x −y) = sin x cos y −cos x sin y. • tan (x + y) = tan x + tan y 1 −tan x tan y . • tan (x −y) = tan x − tan y 1 + tan x tan y . 8 4. Công thức nhân đôi • sin 2x = 2 sin x cos x. • cos 2x = cos 2 x −sin 2 x = 2cos 2 x −1 = 1 −sin 2 x. • tan 2x = 2 tan x 1 −tan 2 x . 5. Công thức hạ bậc • sin 2 x = 1 −cos 2x 2 . • cos 2 x = 1 + cos 2x 2 . 6. Công thức biến tổng thành tích • cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x −y 2 . • cos x − cos y = −2 sin x + y 2 sin x −y 2 . • sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x −y 2 . • sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x −y 2 . 7. Công thức biến tích thành tổng • cos x cos y = 1 2 [cos (x − y) + cos (x + y)]. • sin x sin y = 1 2 [cos (x − y) −cos (x + y)]. • sin x cos y = 1 2 [sin (x − y) + sin (x + y)]. 1.2. Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác Đối với một số dạng bất đẳng thức trong tam giác, việc áp dụng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh thực sự là vô cùng hiệu quả, đem lại cho chúng ta cách giải ngắn gọn và chặt chẽ hơn so với các phương pháp thông thường. 9 Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức trong tam giác ABC có dạng sau. • M (A, B, C) ≥ N (A, B, C). • M (A, B, C) ≤ N (A, B, C). • M (A, B, C) ≥ k. • M (A, B, C) ≤ k. Trong đó M (A, B, C) và N (A, B, C) là các biểu thức có liên quan đến các đại lượng góc, k là hằng số. Phương pháp chứng minh có thể chia làm hai cách sau đây. Cách 1. - Đặt P = M (A, B, C). Suy ra M (A, B, C) −P = 0. (∗) Điều kiện cần và đủ để P là một giá trị của M (A, B, C) là phương trình (∗) có nghiệm. - Biến đổi phương trình (∗) về dạng một phương trình bậc hai theo biến nào đó và xét biệt thức ∆. - Giải điều kiện cần để phương trình (∗) có nghiệm là (∆ ≥ 0) ta sẽ có được điều phải chứng minh. Cách 2. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng bất phương trình bậc hai theo biến nào đó. Chứng minh bất phương trình đó có vô số nghiệm (∆ ≤ 0). Sau đây, tác giả sẽ minh họa các phương pháp này bằng những ví dụ cụ thể. Ví dụ 1.2.1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 1 √ 2 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 − √ 2 4 . 10 Phân tích. Bất đẳng thức trên có dạng đối xứng thành phần cos 2 B và cos 2 C. Áp dụng biến đổi lượng giác cơ bản ta có cos 2 B + cos 2 C = 1 + cos 2B 2 + 1 + cos 2C 2 = cos (B + C) cos (B − C) + 1 = −cos A cos (B − C) + 1. Khi đó 1 √ 2 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 √ 2 cos 2 A −cos A cos (B − C) + 1. Biểu thức trên là tam thức bậc hai theo biến cos A. Ta có lời giải như sau. Lời giải. Đặt P = 1 √ 2 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C. Khi đó ta có 1 √ 2 cos 2 A + 1 + cos 2B 2 + 1 + cos 2C 2 − P = 0 ⇔ 1 √ 2 cos 2 A + cos (B + C) cos (B − C) + 1 − P = 0 ⇔ 1 √ 2 cos 2 A −cos A cos (B − C) + 1 −P = 0. Xét phương trình 1 √ 2 cos 2 A −cos A cos (B − C) + 1 −P = 0. (1.2.1) Đây là phương trình bậc hai theo biến cos A. Ta có ∆ = cos 2 (B − C) − 2 √ 2 + 2 √ 2P. Để phương trình (1.2.1) có nghiệm, điều kiện cần là ∆ ≥ 0 ⇔ cos 2 (B − C) − 2 √ 2 + 2 √ 2P ≥ 0. Từ cos 2 (B − C) ≤ 1 ta suy ra 1 −2 √ 2 + 2 √ 2P ≥ 0 ⇔ P ≥ 4 − √ 2 4 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi        cos 2 (B − C) = 1 cos A = cos (B − C) √ 2 ⇔        B = C cos A = 1 √ 2 ⇔      A = π 4 B = C 11 [...]... là một trong những phương pháp rất hay, ngắn gọn và chặt chẽ 1.3 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác Không chỉ dừng lại ở việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, tác giả còn muốn trình bày một số phương pháp xây dựng các bất đẳng thức mới Phương pháp này dựa trên ý tưởng thiết lập các tam thức bậc hai theo một biến là đại lượng góc trong tam giác. .. trình bày một số ý tưởng về việc xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác bằng việc áp dụng tính chất của tam thức bậc hai Các kết quả mà tác giả trình bày là những bất đẳng thức dạng tổng quát Từ đây, ta có thể suy ra vô số các bất đẳng thức khác bằng việc thay tham số m, n bằng những số hạng bất kì 28 Chương 2 Áp dụng tính lồi lõm của hàm số chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác. .. rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N ta luôn có cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B + m cos (2n + 1) C ≥ −2m2 − 1 1 với m < − 2m 2 Nhận xét 1.3.2 Bằng phương pháp như trên, ta có thể xây dựng được hàng loạt các bất đẳng thức trong tam giác có dạng đối xứng, đối xứng thành phần Ngoài ra, ta cũng có thể sáng tạo các bất đẳng thức dạng không đối xứng Sau đây là một minh họa Kết quả 1.3.3 Trong tam giác. .. (A − B) hay tam giác ABC là tam giác đều Ví dụ 1.2.8 (Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng) Cho các số thực dương x, y, z và n ∈ N∗ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có x2 + y 2 + z 2 ≥ 2(−1)n+1 (yz cos nA + xz cos nB + xy cos nC) 18 Phân tích Bất đẳng thức trên nói chung là không đối xứng Bởi vậy, việc áp dụng các biến đổi lượng giác để làm xuất hiện tam thức bậc hai theo một biến là... tác giả đã trình bày một số ví dụ rất điển hình, minh họa cho việc áp dụng tính chất của tam thức bâc hai để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác Các ví dụ được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp nên rất dễ cho việc theo dõi và tiếp thu của học sinh Các bất đẳng thức tương đối phong phú và đa dạng song lại được giải theo một phương pháp chung nhất là áp dụng tính chất của tam thức bậc hai Cách giải... ≥ 0 ⇔ P ≥ − 8 Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi     A=B  cos2 (A − B) = 1  A=B    ⇔ ⇔     cos C = − 1  cos C = − cos (A − B)  C = 2π 2 3 2 hay tam giác ABC cân tại C và C = 2π 3 Ví dụ 1.2.6 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có 3 cos (A − B) + cos 2B − cos C ≤ 2 Phân tích Bất đẳng thức trên có dạng không đối xứng Trong đó cos (A − B)... dụ trên, tác giả đã nảy sinh ý tưởng xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác có dạng tổng quát Tương ứng với mỗi "điểm rơi" khác nhau, ta có thể hình thành nên các bất đẳng thức khác nhau Kết quả 2.2.1 Theo chứng minh trên, hàm số f (x) = sin x lõm trên khoảng (0, π) π Suy ra hàm f (x) = sin x lõm trên khoảng 0, 2 Cho trước tam giác nhọn A0 B0 C0 Với mọi tam giác nhọn ABC; π Áp dụng định lý biểu... nB − 2yz sin nB sin nC ≥ 0 ⇔ (y sin nC − z sin nB) ≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (điều này luôn đúng) y z = sin nB sin nC 19 (∗) Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y z x = = sin nA sin nB sin nC Nhận xét 1.2.1 Bất đẳng thức trên có dạng tổng quát Ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức tương đương như sau: x2 + y 2 + z 2 2 • (−1)n+1 (yz cos nA + xz cos nB... Từ (∗), (∗∗) và (∗ ∗ ∗) ta được √ √ √ √ π π 5π 2 sin A + 2 sin B + 6 + 2 sin C ≤ 2 3 + 3 + A + B + C − − − 4 3 12 √ √ √ √ 6 + 2 sin C ≤ 2 3 + 3 ⇔ 2 sin A + 2 sin B + Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC có A = π π 5π ,B = ,C = 4 3 12 Nhận xét 2.2.1 Trong quá trình áp dụng Định lý biểu diễn hàm số lồi, lõm để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, điều quan... khi dấu đẳng thức xảy ra Bởi vậy, 36 nếu bất đẳng thức có "điểm rơi” là những góc đặc biệt thì việc xác định trở nên đơn giản Từ đó việc chứng minh sẽ vô cùng đơn giản Tuy nhiên nếu "điểm rơi" là các góc không đặc biệt thì việc xác định sẽ rất phức tạp Điều đó có nghĩa là việc chứng minh sẽ vô cùng khó khăn 2.2.2 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác Từ . các bất đẳng thức đại số cổ điển để chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác. Trong toàn bộ chương này, tác giả trình bày phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức. minh một lớp các bất đẳng thức trong tam giác; đồng thời nêu ý tưởng kết hợp giữa các bất đẳng thức đại số cổ điển với các bất đẳng thức cơ bản để xây dựng các bất đẳng thức mới trong tam giác Mặc. dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.2. Áp dụng bất đẳng thức Jensen xây dựng một số bất đẳng thức