1 Mục lục Mở đầu 4 1 Bài toán tồn tại 6 1.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng . . . . . . . . 9 1.2.2 Nguyên lý Diriclet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Bài toán liệt kê 39 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Thuật toán và độ phức tạp tính toán . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Khái niệm thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng PASCAL . . 41 2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Phương pháp sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Thuật toán quay lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Bài toán đếm 52 3.1 Các bài toán đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2 Các quy tắc đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.3 Tam giác Pascal và nhị thức Newton . . . . . . . . . 65 3.1.4 Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.5 Hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2 Phân loại các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.1 Bài toán đếm có sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản . . 75 3.2.2 Bài toán đếm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và đẳng thức chứa công thức tổ hợp . . . . . . . . . . . 80 3.2.4 Bài toán đếm các đối tượng hình học . . . . . . . . 83 3.2.5 Bài toán phân chia (hoặc lấy ra) các đồ vật vào (hoặc ra khỏi) các hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 3.2.6 Hệ số a k của x k trong khai triển Newton . . . . . . . 88 3.2.7 Bài tập nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.8 Bài tập hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.9 Đẳng thức phương trình liên quan đến khai triển Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 Bài toán tối ưu 108 4.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 Bài toán tối ưu trong đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị . . . . . . 108 4.2.2 Biểu diễn đồ thị bằng ma trận . . . . . . . . . . . . 117 4.2.3 Bài toán tìm cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất . . 120 4.2.4 Bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất . . . . . 126 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến TS. Phạm Văn Thạo. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ - Đại học Ngoại Ngữ - ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tác giả xin cảm ơn các bạn đồng khóa, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp của thầy cô và các bạn. Trân trọng! Hà Nội, tháng 08 năm 2014 Học viên Lê Thị Thanh Tâm 4 Mở đầu Các vấn đề liên quan đến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lý thú của Toán học nói chung và Toán học rời rạc nói riêng. Tư duy về tổ hợp đã xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử phát triển của nhân loại và đến thế kỉ thứ 17 nó được hình thành như một ngành toán học bằng một loạt các công trình nổi tiếng của các nhà toán học như Pascal, Fermat, Lenibniz, Euler, Kể từ sau khi tin học ra đời, lý thuyết tổ hợp phát triển ngày càng mạnh mẽ, có nội dung phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán học sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện với nhiều bài toán hay với độ khó cao. Những ai mới bắt đầu làm quen với khái niệm tổ hợp thường khó hình dung hết độ phức tạp về về cấu trúc trên các tập đặc biệt. Do vậy tôi đã chọn đề tài "bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp". Luận văn đã trình bày bốn bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp, xây dựng một số bài toán áp dụng. Luận văn gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Bài toán tồn tại. Trong chương này tác giả đã giới thiệu bài toán tồn tại bằng ba bài toán cổ nổi tiếng là bài toán về bẩy cây cầu của Euler, bài toán bốn màu và bài toán chọn 2n điểm trên lưới n.n điểm. Trong chương này tác giả cũng nêu được hai phương pháp chứng minh sự tồn tại là phương pháp chứng minh bằng phản chứng và phương pháp sử dụng nguyên lý Diriclet. Chương 2: Bài toán liệt kê. Chương 2 được trình bày theo bốn mục bao gồm: giới thiệu bài toán, thuật toán và độ phức tạp tính toán cùng với phương pháp sinh và thuật toán quay lui. Chương 3: Bài toán đếm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này tác giả đã nêu được các bài toán đếm cơ bản, phân loại các 5 bài toán đếm theo từng dạng bài tập cụ thể. Trong mỗi dạng tác giả đều có ví dụ minh họa cũng như bài tập tự luyện. Chương 4: Bài toán tối ưu. Trong chương này tác giả đã giới thiệu bài toán, nhắc lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị, biểu diễn đồ thị bằng ma trận và trình bày hai bài toán cơ bản là: Bài toán tìm cây bao trùm có trọng số nhỏ nhất và bài toán tìm đường đi có trọng số nhỏ nhất. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn. 6 Chương 1 Bài toán tồn tại 1.1 Giới thiệu bài toán Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hình thoả mãn các tính chất cho trước là hết sức khó khăn. Bài toán về bẩy cây cầu của nhà toán học Euler vào thể kỉ XVIII đã khiến người dân thành phố Konigsberg và các nhà toán học thời bấy giờ mất bao công tìm kiếm lời giải. Hay đơn giản hơn, khi một kì thủ cần phải tính toán các nước đi của mình để giải đáp xem liệu có khả năng thắng hay không, hoặc là một người giải mật mã cần tìm chìa khoá giải cho một bức mật mã mà anh ta không biết liệu đây có đúng là bức điện thật được mã hoá của đối phương hay không, hay chỉ là bức mật mã giả của đối phương tung ra nhằm đảm bảo an toàn cho bức điện thật Như vậy, trong tổ hợp xuất hiện một vấn đề rất quan trọng là xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp với các tính chất cho trước. Các bài toán thuộc dạng này được gọi là các bài toán tồn tại tổ hợp. Một bài toán tồn tại tổ hợp xem như giải xong nếu chỉ ra một cách xây dựng cấu hình hoặc chứng minh rằng chúng không tồn tại. Tuy nhiên, cả hai khả năng đều không phải dễ. Để thấy rõ được sự phức tạp của vấn đề, dưới đây xin được xét một số bài toán tồn tại cổ điển nổi tiếng. a, Bài toán về bẩy cây cầu của Euler Thành phố Konigsberg thuộc Thổ (bây giờ gọi là Kaliningrad thuộc cộng hoà Nga), được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel. Các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof và một miền nằm giữa hai nhánh sông Pregel. Vào thế kỉ XVIII, người ta xây bẩy chiếc cầu nối các vùng này với nhau. Hình 1, vẽ các vùng và các cầu qua sông của 7 thành phố. Vào chủ nhật người dân ở đây thường đi bộ dọc theo các phố. Họ tự hỏi không biết có thể xuất phát tại một điểm nào đó trong thành phố đi qua tất cả các cầu, mỗi chiếc cầu đúng một lần, rồi trở về điểm xuất phát được không. Nhà toán học Thụy Sĩ, Leonhard Euler, đã giải bài toán này. Lời giải của ông công bố năm 1736 có thể là một ứng dụng đầu tiên của lý thuyết đồ thị. Ông đã chứng minh được rằng không có được đường đi nào thoả mãn yêu cầu bài toán (lời giải chi tiết của bài xin được trình bày rõ ở chương IV) b, Bài toán bốn màu Có những bài toán mà nội dung của nó có thể giải thích cho bất kì ai, tuy lời giải của nó thì ai cũng có thể tự tìm nhưng mà khó có thể tìm được. Ngoài định lý Fermat thì bài toán bốn màu là một trong những bài toán như vậy. Bài toán có thể phát biểu trực quan như sau: Chứng minh rằng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có thể tô bằng bốn màu sao cho không có hai nước láng giềng nào được tô bởi cùng một màu. Chú ý rằng ta xem mỗi nước là một vùng liên thông và hai nước gọi là láng giềng nếu chúng có chung biên giới là một đường liên tục. Con số 4 không phải là ngẫu nhiên, người ta đã chứng minh được rằng mọi bản đồ đều được tô với số màu lớn hơn 4, còn với số màu ít hơn 4 thì không tô được, chẳng hạn bản đồ gồm bốn nước ở hình dưới đây không thể tô được với số màu ít hơn 4. 8 Bài toán này xuất hiện vào khoảng những năm 1850 - 1852 từ một nhà buôn người Anh là Gazri, khi tô bản đồ hành chính nước Anh đã cố gắng chứng minh rằng có thể tô bằng 4 màu. Sau đó, năm 1952, ông đã viết thư cho De Morgan để thông báo về giả thuyết này. Năm 1878, Keli trong một bài báo đăng ở tuyển tập các công trình của Hội toán học Anh có hỏi rằng bài toán này đã được giải quyết hay chưa? Từ đó bài toán này trở thành nổi tiếng và trong hơn một thế kỉ, có rất nhiều người làm toán nghiệp dư cũng như chuyên nghiệp đã cố gắng chứng minh giả thuyết này. Tuy nhiên, mãi đến năm 1976 hai nhà toán học Mỹ là K.Appel và W.Haken mới chứng minh được giả thuyết này bằng máy tính điện tử. c, Bài toán chọn 2n điểm trên lưới n ×n điểm Chọn một lưới ô vuông gồm n ×n điểm. Hỏi có thể chọn trong số chúng 2n điểm sao cho không có ba điểm được chọn nào thẳng hàng hay không? hiện nay người ta biết lời giải của bài này khi n  15. Hình dưới đây cho một lời giải bài toán với n = 12. 9 1.2 Các phương pháp chứng minh sự tồn tại 1.2.1 Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng có lẽ là một trong những phương pháp chứng minh sớm nhất mà loài người đã biết đến, đặc biệt trong nghệ thuật diễn thuyết và tranh luận. Trong toán học, phương pháp chứng minh phản chứng thường được sử dụng, đặc biệt khi cần chứng minh tính duy nhất của một đối tượng T nào đó thoả mãn điều kiện cho trước (mà sự tồn tại của T đã được chứng minh trước đó) ta thường giả sử còn ∀T  = T ; T  cũng thoả mãn điều kiện đó, từ đó suy ra một điều vô lý. Vậy điều giả sử của chúng ta là sai, tức là T duy nhất. a, Cơ sở lý thuyết Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề có dạng P =⇒ Q với P là giả thiết, Q là kết luận. Ta tiến hành như sau: Bước 1: Giả sử Q sai. Bước 2: Từ giả sử Q sai và từ P ta dùng các lập luận, suy diễn để dẫn đến một điều vô lý. Bước 3: Từ đó ta suy ra Q đúng. Chú ý 1.1. Ta có thể dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh nguyên lý Diriclet. Do đó, với nhiều bài toán ta có thể chứng minh bằng nguyên lý Diriclet hoặc phương pháp chứng minh phản chứng. b, Phương pháp giải toán qua các ví dụ 10 Ví dụ 1.1. Một lớp học có 43 em, gồm các em họ Nguyễn, họ Phạm, họ Trần. Chứng minh rằng lớp có ít nhất 19 em họ Nguyễn hoặc ít nhất 14 em họ Phạm hoặc ít nhất 12 em họ Trần. Lời giải. Giả sử ngược lại, số em họ Nguyễn, họ Phạm, họ Trần tương ứng không lớn hơn 18; 13; 11. Khi đó số học sinh của lớp không lớn hơn 42. Điều này vô lý vì số học sinh của lớp là 43. Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 1.2. Cho tâp hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Chứng minh rằng với mỗi tập con B gồm 5 phần tử của tập A thì trong các tổng x + y với x, y khác nhau thuộc B, luôn tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số hàng đơn vị như nhau. (THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hoá 2011-2012) Lời giải. Với mỗi tập B = {a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 } ⊂ A ta có tất cả 10 tổng: a 1 +a 2 ; a 1 +a 3 ; a 1 +a 4 ; a 1 +a 5 ; a 2 +a 3 ; a 2 +a 4 ; a 2 +a 5 ; a 3 +a 4 ; a 3 +a 5 ; a 4 +a 5 . Giả sử chữ số hàng đơn vị của 10 tổng trên đôi một khác nhau, khi đó tổng tất cả các chữ số hàng đơn vị của chúng là: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45. Do đó, tổng S của 10 tổng trên là một số lẻ.(1) Ta lại có: S = (a 1 + a 2 ) + (a 1 + a 3 ) + (a 1 + a 4 ) + (a 1 + a 5 ) + (a 2 + a 3 ) + (a 2 + a 4 ) + (a 2 +a 5 )+(a 3 +a 4 )+(a 3 +a 5 )+(a 4 +a 5 ) = 4(a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 ) =⇒ S là số chẵn.(2) Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn, nên điều giả sử trên là sai. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.3. Cho 441 số nguyên dương a 1 ; a 2 ; ; a 441 thoả mãn: 1 √ a 1 + 1 √ a 2 + + 1 √ a 441 = 41 Chứng minh rằng trong 441 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau. Lời giải. Giả sử 441 số đã cho không có hai số nào bằng nhau, không mất tính tổng quát, giả sử: 1  a 1 < a 2 < < a 441 . Do đó: 1 √ a 1  1; 1 √ a 2  1 √ 2 ; ; 1 √ a 441  1 √ 441 [...]... 1.12 Mỗi đoạn thẳng đã dựng có hai đầu mút nên tổng số bậc của 100 đỉnh bằng 2 lần tổng số đoạn thẳng vừa dựng Vậy tổng số bậc của 100 31 đỉnh là số chẵn (1) Giả sử số điểm bậc lẻ là một số lẻ nên tổng số bậc của các điểm này là số lẻ Tổng các bậc của các điểm bậc chẵn là số chẵn suy ra tổng các bậc của 100 điểm đã cho là số lẻ (2) Từ (1) và (2) ta thấy vô lý Vậy điều giả sử trên là sai hay số điểm bậc... thiết các độ dài nhỏ hơn 100 Từ đó chứng minh kết luận của bài toán Ví dụ 1.6 Các đỉnh của một thập giác đều được đánh số bởi các số nguyên 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 một cách tuỳ ý Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh liên tiếp có tổng các số lớn hơn 13 Lời giải Gọi x1 ; x2 ; ; x10 là các số gán cho các đỉnh của 1; 2; ; 10 của thập giác Giả sử ngược lại là không tìm được ba đỉnh nào thoả mãn đề bài. .. số các số đã cho mà hiệu của chúng chia hết cho 30 Bài tập 1.16 Cho (xi ; yi ; zi ); i = 1; 9 là một tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có các toạ độ nguyên trong không gian Oxyz Chứng minh rằng trung điểm của đường nối ít nhất một trong các cặp điểm này có toạ độ nguyên Bài tập 1.17 Một đội tuyển có 9 bạn đi thi học sinh giỏi, mỗi bạn đều làm ba bài thi là Toán, Tiếng Anh và Văn Điểm của các bài thi là các. .. 2006) Bài tập 1.35 Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H) luôn tồn tại 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang (Vòng 2, THPT Chuyên TP Hà Nội 2005 - 2006) 27 Bài tập 1.36 Người ta dùng các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 để gán cho các đỉnh của một hình lập phương, hai đỉnh khác nhau thì gán các số khác nhau Sau đó tính tổng ở hai đỉnh kề nhau Chứng minh rằng có ít nhất 2 tổng... rằng luôn tồn tại 4 điểm trong các điểm đã cho có các đoạn nối chúng đều màu đỏ Bài tập 1.28 Tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp điểm được nối với nhau bởi các đoạn thẳng Số các đoạn thẳng nối A với các điểm khác trong P gọi là bậc của A Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm của tập hợp P có cùng bậc (Vòng 2, THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2002 - 2003) Bài tập 1.29 Hình vuông ABCD có... nguyên lý Diriclet, tồn tại một 1 tam giác có diện tích 10 Tổng quát: Nếu bổ sung n điểm vào n - giác, số tam giác đôi một không có điểm chung trong là 3n − 2 Do đó tồn tại một tam giác có diện tích 1 3n−2 36 1.32 Có 12 tổng gồm 5 tổng theo hàng, 5 tổng theo cột, hai tổng theo đường chéo, mỗi tổng có 5 số hạng Giá trị của tổng Si là số nguyên thoả mãn: −5 Si 5 Theo nguyên lý Diriclet, tồn tại hai tổng... 130(Vô lý) Vậy giả sử trên là sai Từ đó ta có điều cần chứng minh Chú ý 1.2 Bài toán có nhiều cách phát biểu khác nhau và có thể phát biểu dạng tổng quát hơn Chẳng hạn ta có bài toán sau: Một đội bóng có 21 cầu thủ gồm cả chính thức và dự bị mang các áo từ 4 đến 24 Mỗi cầu thủ mang một số áo khác nhau Họ đứng một cách tuỳ ý thành một vòng tròn Chứng minh rằng luôn tồn tại 4 cầu thủ đứng cạnh nhau mà tổng... ai ∈ {−1; 1} ; bi ∈ {−1; 1} kết hợp với (1) ta có 99 số hạng của tổng bằng −1 và 99 số hạng của tổng bằng 1 Do đó: a1 a2 .a99 b1 b2 .b99 = −1 (2) Mặt khác, a1 a2 .a99 = b1 b2 .b99 (3) (vì mỗi vế là tích của các số trong bảng) Ta thấy (2) và (3) là mâu thuẫn, từ đó ta có điều phải chứng minh 1.8 Giả sử các số viết trên đường tròn theo thứ tự là a1 ; a2 ; ; a200 Nếu các số đó không bằng nhau, giả sử... B hay AM > N B (vô lý) Vậy giả sử trên là sai hay ABC cân tại C 16 1.2.2 Nguyên lý Diriclet Nguyên lý Diriclet là phương pháp chứng minh sự tồn tại mà học sinh được làm quen từ rất sớm (từ bậc tiểu học) và là một trong những phương pháp thể hiện rõ cái đẹp của Toán học, làm cho học sinh thêm yêu thích môn Toán Lập luận của phương pháp Diriclet thường được sử dụng trong các bài toán cho học sinh giỏi... làm 15 cặp: (1; 30); (2; 29); ; (15; 16), mỗi cặp có tổng bằng 31 Theo nguyên lý Diriclet, nếu ta lấy ra 17 số thì chắc chắn có hai cặp mà các số của chúng đều được lấy ra Tổng của 4 số này bằng 62 nên tổng của 4 số này chia hết cho 62 1.25 Trước hết ta chứng minh với 4 số tự nhiên bất kì ta luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 5 như sau: Ta chia các số dư khi chia một số cho 5 thành 3 nhóm: (0; 0); . Do vậy tôi đã chọn đề tài " ;bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp& quot;. Luận văn đã trình bày bốn bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp, xây dựng một số bài toán áp dụng. Luận văn gồm phần. tại của các cấu hình tổ hợp với các tính chất cho trước. Các bài toán thuộc dạng này được gọi là các bài toán tồn tại tổ hợp. Một bài toán tồn tại tổ hợp xem như giải xong nếu chỉ ra một cách xây dựng. khảo. Chương 1: Bài toán tồn tại. Trong chương này tác giả đã giới thiệu bài toán tồn tại bằng ba bài toán cổ nổi tiếng là bài toán về bẩy cây cầu của Euler, bài toán bốn màu và bài toán chọn 2n