http://www.violet.vn/haimathlx SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1 MÔN:TOÁN - KHỐI D ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 02 trang I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7,0 điểm) Câu I. (2điểm) cho hàm số y = x 3 -3x 2 +3x +1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x +1 . Câu II. (2điểm) 1. Giải phương trình: cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x+cos 2 4x = 2 2. Giải hệ phương trình: ( ) x y 3 3.2 972 log x y 2  =   − =   Câu III. (1điểm) : Tính giới hạn : 0 lim →x 2 2 cos x e x x − Câu IV. (1điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,AD = a 2 , SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao của BM và AC .Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM). Tính thể tích khối tứ diện ẠNIB Câu V. (1điểm) : Cho x,y,z > 0 thỏa mãn điều kiện : yzx 211 =+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = yz zy yx yx − + + − + 22 II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a. (2điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;2),B(2;1),C(3;6) và đường thẳng d: x+y = 0. Xác định tọa độ điển M trên d sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC, biết A(2;-1) và các đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có phương trình là x-2y +1 =0;x+ y +3 =0.Viết phương trình đường thẳng BC Câu VII.a. (1 điểm) Cho các số thực x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện 4 111 =++ zyx hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= zyxzyxzyx 2 1 2 1 2 1 ++ + ++ + ++ http://www.violet.vn/haimathlx B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: (2điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ oxy ,cho (E): 1 9 2 2 =+y x và (P):y = x 2 -2x .Chứng minh rằng (E)và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.Viết phương trình đường tròn qua 4 điểm đó 2. Cho A(-7;3), B(11;-15).viết phương trình đường thẳng qua C(3;5),biết khoảng cách từ A và B đến đường thẳng này là bằng nhau. Câu VII.b: (1điểm) Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và mỗi số chia hết cho 4 CÁN BỘ COI THI KHÔNG GIẢI THÍCH GÌ THÊM! http://www.violet.vn/haimathlx SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1 MÔN: TOÁN - KHỐI D ĐỀ CHÍNH THỨC ĐA gồm: 06 trang CÂU ĐÁP ÁN VẮN TẮT ĐIỂM Câu I 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 -3x 2 +3x +1 (1 điểm) a. TXĐ D=R ; b. Sự biến thiên ; * Chiều biến thiên :y’ = 3x 2 – 6x +3 =3(x-1) 2 ≥ 0 ⇒ Hàm số là đồng biến trong khoảng R * Cực trị : Hàm số không có cực trị. 0.25 * Các giới hạn: ±∞→x lim y = ±∞=++− ±∞→ )133(lim 23 xxx x 0.25 * Bảng biến thiên x - ∞ 1 + ∞ Y’ + 0 + + ∞ Y - ∞ 0.25 c. Đồ thị : Điểm uốn :y” =6x – 6 ;y” = 0 ⇒ x = 1 và y = 2 I (1;2) là điểm uốn *Giao của đồ thị với ox (y=0) tại 1 điểm *Giao của đồ thị với oy (x=0) ⇒ y =1 y x 0.25 2.Viế 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x +1 (1điểm) Do tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y= 3x+1 ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 0.25 http://www.violet.vn/haimathlx ⇒ y’ = 3 ⇒ 3x 2 – 6x +3 =3 ⇔ x = 0 x = 2 0.25 Với x = 0 ⇒ y = 1 phương trình tiếp tuyến y = 3x +1 Với x = 2 ⇒ y = 3 phương trình tiếp tuyến y = 3x - 3 0.25 Kết luận :Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện bài toán y = 3x +1 y = 3x - 3 0.25 Câu II 1.Giải phương trình : cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x+cos 2 4x = 2 (*) (1 điểm) Ta có (*) ⇔ 2 2 8cos1 2 6cos1 2 4cos1 2 2cos1 = + + + + + + + xxxx ⇔ cos2x + cos4x +cos 6x +cos 8x = 0 0.25 ⇔ 2 cos5x cos3x + 2 cos5x cosx = 0 ⇔ cos5x (cos3x + cosx ) = 0 ⇔ cos5x cos2x cosx =0 0.5 cos5x = 0 x = 510  k + ⇔ cos2x = 0 ⇔ x = 4 2 k   + (k ∈ Z) cosx = 0 x = 2 k   + 0.25 2.Giải hệ phương trình : ( ) x y 3 3.2 972 log x y 2  =   − =   (1 điểm) Đk: x - y >0 Ta có 2)(log 3 =− yx ⇒ x – y =3 ⇒ x = y+3 0.25 Mà 3 x 2 y = 972 ⇒ 3 y+3 2 y = 972 ⇒ 6 y = 36 ⇒ y = 2 0.5 ⇒ x = 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x,y) =(5,2) 0.25 Câu III Tính giới hạn :I = 0 lim →x 2 2 cos x e x x − (1điểm) I = 0 lim →x 2 2 1 x e x − + 0 lim →x 2 cos1 x x− 0.25 http://www.violet.vn/haimathlx Câu IV I = 0 lim →x 2 2 1 x e x − + 0 lim →x 2 2 2 sin2 x x I = 0 lim →x 2 2 1 x e x − +2 0 lim →x 2 2 ) 2 ( 2 sin x x 0.5 I = 1+ 2 =3 Cho hình ……… (1điểm) S N A M D I H B C Xét ∆ ABM và ∆ BAC vuông có 2 2 == BC BA AB AM ⇒ ∆ ABM ~ ∆ BCA ⇒ MAB ˆ = ABC ˆ ⇒ 0 90 ˆˆˆ ˆ =+=+ CBACBACBAMAB ⇒ BAI ˆ = 90 0 ⇒ MB ⊥ AC (1) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ MB (2) .Từ (1) và (2) ⇒ MB ⊥ (SAC) ⇒ (SBM) ⊥ (SAC) 0.25 0.25 0.25 Gọi H là trung điểm của AC ⇒ NH là đường trung bình của ∆ SAC ⇒ NH = 22 aSA = và NH // SA nên NH ⊥ (ABI) Do đó V ANBI = 3 1 . NH . ABI S ∆ 0.25 Ta có 0.25 http://www.violet.vn/haimathlx 2 2 2 1 1 1 AI AB AM = + ⇒ AI =a 3 3 ,BI 2 = AB 2 – AI 2 ⇒ BI = 3 6 a V ANBI = 3 1 . 6 2 2 aa = 36 2 3 a đvtt. Câu V Cho Cho x,y,z > 0 thỏa mãn điều kiện : yzx 211 =+ . Tìm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = yz zy yx yx − + + − + 22 (1điểm) Từ giả thiết ta có zx xz y + = 2 ⇒ zx x zx x zx z zx z zx xz z z zx xz zx xz x zx xz x A + − + + + + − + + = + − + + + + − + + = 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0.5 ⇒ A= z zx x zx 2 3 2 3 + + + =1+ )( 2 3 z x x z + 0.25 Theo bất đẳng thức cô si A ≥ 1+ z x x z 2 2 3 = 4 Min A = 4 ⇔ x= y = z 0.25 Câu VIa 1.Trong mặt phẳng tọa độ oxy,cho tam giác ABC …………… (1 điểm) Do M ∈ d :x+y=0 ⇒ gọi M(a ;-a), a ∈ R MA 2 + MB 2 + MC 2 =(1-a) 2 + (2+a) 2 +(2-a) 2 +(1+a) 2 +(3-a) 2 +(6+a) 2 0.25 ⇒ MA 2 + MB 2 + MC 2 = 6a 2 + 6a +55 0.25 Mà 6a 2 + 6a +55 = 6(a+ 2 1 ) 2 + 2 107 ≥ 2 107 0.25 Vậy Min MA 2 + MB 2 + MC 2 = 2 107 ⇔ M( 2 1− ; 2 1 ) 0.25 2.Cho tam giác ABC, biết A(2;-1) ………………………….(1 điểm) A http://www.violet.vn/haimathlx I J B A” A’ C Gọi A’,A” lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các đường phân giác BI và CJ.Gọi H là giao của AA’ với BI .do H ∈ BI ⇒ H(2t-1;t) 0.25 ⇒ HA  =(2t-3;t+1). Mà BI có véc tơ chỉ phương u  (2;1).Do AH  ⊥ u  ⇒ AH  u  = 0 ⇒ 2(2t-3) + (t+1) = 0 ⇒ t=1 ⇒ H(1;1) 0.25 Mặt khác ta có H là trung điểm của AA’ x A’ = 2x H - x A =2.1-2 = 0 ⇒ ⇒ A’(0;3) Y A’ =2y H – y A = 2.1 +1=3 Tương tự gọi K là giao của CJ và AA” ta có K (0;-3), A’’(-2;-5). 0.25 ⇒ phương trình đường thẳng A”A’ chính là phương trình đường thẳng BC 4x - y + 3 =0 0.25 Câu VIIa Cho các số thực x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 4 x y z + + = ……. . (1 Điểm) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số dương (x + x + y + z)( zyxx 1111 +++ ) 4 2 4 yzx≥ 4 4 2 1 yzx =16 0.25 ⇒ ≤ ++ zyx2 1 ) 112 ( 16 1 zyx ++ 0.25 Hoàn toàn tương tự ⇒ A ≤ 4 1 ( zyx 111 ++ ) =1 Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 4 3 0.5 Câu VIb 1…cho (E): 1 9 2 2 =+y x và (P):y = x 2 -2x ….(1điểm) Xét phương Ta có tọa độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm của hệ: 1 9 2 2 =+y x x 2 -2x –y =0 0.5 http://www.violet.vn/haimathlx Xét hàm số: f(x) = 9 2 x +(x 2 -2x) 2 -1 ,x ∈ R Ta có f(-1).f(0)< 0 f(0).f(1) < 0 f(1).f(2) < 0 f(2).f(3) < 0 ⇒ (E) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt Ta có tọa độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm của hệ 1 9 2 2 =+y x ⇒ ( 1 9 2 2 −+y x ) + 9 8 (x 2 -2x –y ) = 0 x 2 -2x –y =0 ⇒ x 2 +y 2 - 9 16 x - 9 8 y-1 = 0 (1) (1)là phương trình đường tròn qua các giao điểm của (E) và(P). 0.5 2. Cho A(-7;3),B(11;-15)……………………… (1điểm) Vì đường thẳng x = 3 không thỏa mãn điều kiện đề bài nên: Gọi phương trình đường thẳng qua C(3;5) có dạng y= k(x-3)+5 (d 1 ) Do khoảng cách từ A đến (d 1 ) bằng khoảng cách từ B đến (d 1 ) 0.25 1 351511 1 3537 22 + −++ = + −+−− k kk k kk ⇔ 208102 +=− kk ⇔ 1 11 k k =−   =  0.5 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến y= -x +8 y = 11x -28 0.25 Câu VIIb. Từ c Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và mỗi số ch chia hết cho 4 (1 điểm) Gọi số có 4 chữ số là abcd Do abcd chia hết cho 4 ⇔ cd ∈ { } 52,40,32,24,20,12,04 0.25 Trường hợp 1:Nếu cd ∈ { } 40,20,04 Ta có 3 cách chọn cd vói mỗi cách chọn cd thì a có 4 cách chọn b có 3 Cách chọn .Nên có 36 cach chọn 0.25 Trường hợp :Nếu cd ∈ { } 52,32,24,12 Ta có 4 cách chọn cd vói mỗi cách chọn cd thì a có 3 cách chọn b có 3 Cách chọn .Nên có 36 cach chọn 0.25 Vậy có 72 cách chọn thỏa mãn đầu bài 0.25 http://www.violet.vn/haimathlx . gồm: 06 trang CÂU ĐÁP ÁN VẮN TẮT ĐIỂM Câu I 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 3 -3x 2 +3x +1 (1 điểm) a. TXĐ D=R ; b. Sự biến thi n ; * Chiều biến thi n :y’ = 3x 2 – 6x +3 =3( x-1) 2 ≥ 0 ⇒ Hàm. phương trình : ( ) x y 3 3.2 972 log x y 2  =   − =   (1 điểm) Đk: x - y >0 Ta có 2)(log 3 =− yx ⇒ x – y =3 ⇒ x = y +3 0.25 Mà 3 x 2 y = 972 ⇒ 3 y +3 2 y = 972 ⇒ 6 y = 36 ⇒ y = 2 0.5 ⇒ x =. trình tiếp tuyến y = 3x +1 Với x = 2 ⇒ y = 3 phương trình tiếp tuyến y = 3x - 3 0.25 Kết luận :Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện bài toán y = 3x +1 y = 3x - 3 0.25 Câu II 1.Giải