Vũ Viết Tiệp Nguyên Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH I Lý thuyết Định nghĩa dãy số hội tụ Cho ví dụ * ĐN: Dãy số { xn } gọi hội tụ tồn a ∈ ¡ cho với ε > tìm n0 ∈ ¥ cho với n ≥ n0 ta có xn − a < ε Ta nói dãy { xn } hội tụ đến a hay a giới hạn dãy { xn } viết xn → a n → ∞ hay lim xn = a n →∞ VD: 1 Dãy { xn } =  n  có giới hạn 2  1  Thật vậy, ∀ε > cho trước, chọn n0 = log  ∀n ≥ n0 ta có: ε  1 xn − = n < ε ⇒ lim xn = lim n = n →∞ n →∞ 2 { un } với un = a ∀n, a ∈ ¡ hội tụ lim un = a  n →∞   { ( −1) } n giới hạn Chứng minh: Một dãy số hội tụ bị chặn Giả sử { xn } hội tụ ⇒ ∃ lim xn = a ≠ ∞ n →∞ ⇒ ∀ε > 0, ∃Nε ∈ ¥ * , ∀n > Nε : xn − a < ε ⇒ a − ε < xn < a + ε ( Chọn M = Max x1 , x2 ,K , xNε −1 , xNε , a + ε ( m = x1 , x2 ,K , xNε , a − ε ) ) Khi m ≤ xn ≤ M , ∀n = 1, 2,K ⇒ { xn } bị chặn Điều ngược lại chưa Ví dụ: dãy { ( −1) } n bị chặn không hội tụ Cmr: Giới hạn (nếu có) dãy số Giả sử lim xn = a lim xn = a′ ( a ≠ a′ ) n →∞ n →∞ ⇒ a − a′ > a − a′ > ⇒ 4ε = a − a′ = a − xn + xn − a′ ≤ xn − a + xn − a′ = 2ε (vơ lí) ⇒ a = a′ Như giới hạn có dãy số Phát biểu chứng minh tiêu chuẩn Côsi hội tụ dãy số Chọn ε = ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH 1 Vũ Viết Tiệp Nguyên Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái * ĐN: Dãy số { xn } gọi dãy Côsi (hay dãy bản) ∀ε > cho trước Tìm n0 ∈ ¥ cho m ≥ n0 n ≥ n0 ta có xm − xn < ε Bổ đề: Dãy Côsi dãy giới nội * CM: Giả sử { xn } dãy Cơsi Khi ∃n0 ∈ ¥ : m ≥ n0 , n ≥ n0 ta có xm − xn < Đặc biệt ta có xn − xn0 > xn − xn0 xn < xn0 + { } Đặt M = Max x1 , x2 ,K , xn0 − , xn0 + Ta có: xn ≤ M , ∀n (đpcm) Tiêu chuẩn Côsi: Điều kiện cần đủ để dãy số thực { xn } hội tụ dãy Côsi CM: ε * Giả sử dãy { xn } hội tụ, lim xn = l Khi ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ : n ≥ n0 ⇒ xn − l < n →∞ ε ε Khi với m ≥ n0 , n ≥ n0 có xm − xn ≤ xm − l + l − xn < + = ε 2 Như { xn } dãy Côsi Đảo lại giả sử { xn } dãy Côsi Theo bổ đề dãy giới nội Theo định lí Bolzano - weierstrass có { } thể trích dãy hội tụ xnk Giả sử lim xnk = l Ta chứng minh lim xn = l Thật ta có: k →∞ k →∞ xn − l ≤ xn − xnk + xnk − l * xnk → l nên ∀ε > , tìm v1 ∈ ¥ : nk ≥ v1 ⇒ xnk − l < ε * Vì { xn } dãy Côsi nên tồn v2 ∈ ¥ : n ≥ n2 , nk ≥ v2 ⇒ xn − xnk < Đặt v0 = max ( v1 , v2 ) ta có với n ≥ v0 : xn − l < ε ε + =ε 2 ε Vậy lim xn = l n →∞ Định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm hữu hạn Cho ví dụ ĐN 1: X ∈ ¡ , a ∈ ¡ gọi điểm giới hạn X lân cận ( a − δ , a + δ ) a , δ > ln tìm phần tử x ≠ a, x ∈ X ĐN 2: Cho y = f ( x ) xác định tập X ∈ ¡ , a điểm giới hạn x Số A gọi giới hạn hữu hạn f ( x ) x → a Nếu ∀ε > 0, ∃δ ε > 0, x ∈ X : x − a < δ Ta có f ( x ) − A < ε Kí hiệu lim f ( x ) = A x →a VD: Cm: lim ( 3x − 1) = x →1 Thật vậy: ∀ε > , xét x − − = ( x − 1) = x − < ε ⇒ x −1 < ε ε chọn δ = 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Tốn BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái ⇒ ∀x ∈ ¡ : x − < δ ⇒ x − − < ε ⇒ lim ( x − 1) = x →1 x2 − VD: Cm: lim =4 x →2 x − x2 − x2 − − 4x + −4 = = x−2 , xét Thật x−2 x−2 x2 − −4 0, ∃∆ > cho x ∈ X : x > ∆ (hoặc x < −∆ ) ta có f ( x) − A < ε Kí hiệu xlim f ( x ) = A (hoặc xlim f ( x ) = A ) →+∞ →−∞ 1 = Thật ∀ε > , cần chọn N > ta có x > N − < ε x →+∞ x x ε Định nghĩa giới hạn vô hàm số điểm hữu hạn Cho ví dụ VD: lim  ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Tốn BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Cho hàm số y = f ( x ) xác định X ⊆ ¡ , a ∈ ¡ điểm giới hạn X Số +∞ (hoặc −∞ ) giới hạn f ( x ) x → a ∀E > 0, ∃δ > 0, x ∈ X : x − a < δ ta có f ( x ) > E (hoặc f ( x ) < − E ) kí hiệu lim f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = −∞ x →a x →a VD: Cm: lim x→0 = +∞ x2 1 > E → x2 < ⇒ x < x E E 1 ⇒ x−0 < ⇒ đpcm chọn δ = E E  Định nghĩa giới hạn vô hàm số vô Cho ví dụ Số +∞ −∞ gọi giới hạn hàm f ( x ) x → +∞ ( x → −∞ ) Thật ∀E > , xét ∀E > 0, ∃∆ > 0, x ∈ X : x ≥ ∆ ( x < −∆ ) Ta có f ( x ) > E f ( x ) < − E kí hiệu xlim f ( x ) = ±∞ →±∞ +∞ a > VD: xlim log a x =  →+∞ −∞ < a < Định nghĩa hàm số liên tục điểm Cho ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định X ⊆ ¡ , x0 ∈ X f ( x ) liên tục x0 lim f ( x0 ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0; x ∈ X : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x0 ) < ε x → x0 2 VD: lim x = Thật với ε > cho trước ∃δ = ε : x − < ε ⇒ x − < ε x→0 Định nghĩa hàm số liên tục phía điểm Cho ví dụ Cho f ( x ) xác định [ a; b ] , x0 ∈ [ a; b ] Ta nói f ( x ) liên tục trái (liên tục phải) x0 xlim− f ( x ) = f ( x0 ) xlim+ f ( x ) = f ( x0 ) → x0 → x0 x hàm số không xác định x = với x < f ( x ) = −1 x lim lim x > f ( x ) = ⇒ x →0− f ( x ) = −1, x →0+ f ( x ) = VD: f ( x ) = Phát biểu chứng minh định lý Bôzanô - côsi I liên tục hàm số đoạn Nếu f ( x ) liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn điểm c ∈ ( a; b ) cho f ( c ) = CM: Khơng hạn chế tổng qt ta coi f ( a ) > 0, f ( b ) < a+b Chia đoạn [ a; b ] thành hai đoạn điểm chia a+b  a+b Nếu f  điểm cần tìm ÷ = c =    a+b a +b  , b Nếu f  ÷ > ta chọn [ a1 , b1 ] =       a+b  a +b Nếu f  ÷ < ta chọn [ a1 , b1 ] =  a,      ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Tốn BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái an + bn với f ( c ) = Còn trường hợp ngược lại ta dãy vơ hạn đoạn lồng [ an −1 , bn −1 ] ⊂ [ an , bn ] cho Như xảy khả hữu hạn n bước ta đến điểm c = f ( ak ) > 0, f ( bk ) < b−a → n → ∞ 2n Theo tính chất họ đoạn lồng ta tìm điểm c ∈ [ an , bn ] , ∀n ∈ ¥ b−a Vì an − c bn − c không vượt bn − an = n Cho nên tiến tới n tiến vô cùng, lim an = lim bn = c nghĩa n→∞ n →∞ Hơn bn − an = Vì f ( an ) > f ( bn ) < 0, ∀n nên theo tính chất liên tục hàm f ta có lim f ( an ) = f ( c ) ≥ n →∞ lim f ( bn ) = f ( c ) ≤ n →∞ Chứng tỏ f ( c ) = mà f ( a ) ≠ 0, f ( b ) ≠ Vậy c ∈ ( a, b ) ⇒ đpcm Phát biểu chứng minh định lý Bôzanô - côsi II liên tục hàm số đoạn Nếu f ( x ) liên tục [ a, b ] f ( a ) = A, f ( b ) = B Giả sử A < B Khi A < c < B ⇒ ∃c ∈ ( a, b ) cho f ( c ) = C CM: Đặt F ( x ) = f ( x ) − c hàm số F ( x ) liên tục đoạn [ a, b ] F ( a ) F ( b ) =  f ( a ) − C   f ( b ) − C  = ( A − C ) ( B − C ) <    ⇒ ∃c ∈ ( a, b ) : F ( c ) = Tức f ( c ) − C = hay f ( c ) = C (đpcm) 10 Phát biểu chứng minh định lý Vâyơstrat I liên tục hàm số đoạn Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn f ( x ) bị chặn đoạn CM: Giả sử hàm số f ( x ) không bị chặn đoạn [ a, b ] Thế ∀n, ∃xn ∈ [ a, b ] : f ( xn ) ≥ n ( 1) { } Ta có { xn } bị chặn, theo định lý Bơxanơ - Cơsi tồn dãy xnk ( ) Vì f ( x ) liên tục nlim f xnk = f ( c ) →∞ k hội tụ đến c ∈ [ a, b ] ( ) Mặt khác từ (1) ta có Từ (2) (3) ⇒ f ( c ) = +∞ (Điều vô lý) Vậy f ( x ) bị chặn ( ) lim f xnk = +∞ nk →∞ ( 3) Tương tự ta chứng minh f ( x ) bị chặn [ a, b ] 11 Phát biểu chứng minh định lý Vâyơstrat II liên tục hàm số đoạn Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a, b ] đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Tức ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] : f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x2 ) , ∀x ∈ [ a, b ] CM: ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Áp dụng định lý Bôxanô - Côsi II suy f ( x ) bị chặn [ a, b ] Tức asupb f ( x ) = M ∈ ¡ ≤ x≤ inf f ( x ) = m ∈ ¡ Nếu ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] cho f ( x1 ) = m, f ( x2 ) = M định lý chứng minh xong a ≤ x ≤b Giả sử f ( x ) < M với ∀x ∈ [ a, b ] ta đặt F ( x ) = ⇒ f ( x ) liên tục [ a, b ] , ∀x ∈ [ a, b ] M − f ( x) Theo định lý Bôxanô - Côsi II ta có F ( x ) bị chặn [ a, b ] Tức ∃M * ∈ ¡ , M * > cho F ( x ) ≤ M * , ∀x ∈ [ a, b ] ⇒ f ( x ) ≤ M − * < M Điều vô lý M ⇒ ∃x2 ∈ [ a, b ] cho f ( x2 ) = Max f ( x ) x∈[ a ,b] Tương tự ta chứng minh f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ [ a, b ] ⇒ ∃x1 ∈ [ a, b ] cho f ( x1 ) = xmin] f ( x ) ∈[ a ,b 12 Định nghĩa hàm số liên tục Cho ví dụ Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục [ a, b ] (hay khoảng ( a, b ) ) với số ε > cho trước, ∃δ > cho với hai điểm x′, x′′ ∈ [ a, b ] (hay (a,b)) mà x′ − x′′ < δ f ( x′ ) − f ( x′′ ) < ε VD: Hàm số y = s inx liên tục ¡ Thật ∀ε > 0, ∃δ = ε ∀x′, x′′ ∈ ¡ mà x′ − x′′ < δ x′ + x′′ x′ − x′′ x′ − x′′ f ( x′ ) − f ( x′′ ) = cos ×sin ≤2 = x′ − x′′ < δ = ε 2 13 Định nghĩa đạo hàm hàm số điểm Cho ví dụ Cho hàm số y = f ( x) xác định (a,b) x0 ∈ ( a, b ) Cho x0 số gia ∆x ( ∆x = x − x0 ) x0 + ∆x ∈ ( a, b ) Gọi ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x + ∆x) − f ( x0 ) số gia hàm số tương ứng Lập tỉ số số gia hàm số số gia đối số Nếu tỉ số có giới hạn hữu hạn ∆x dần tới ta nói hàm số y = f ( x) có đạo hàm hữu hạn x0 gọi giá trị hữu hạn đạo hàm hàm số f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) lim = lim = f ′ ( x0 ) x0 Kí hiệu f ′ ( x0 ) hay  f ( x ) ′x = x Ta có ∆x →0   ∆x → ∆x x − x0 VD: Tính đạo hàm hàm số y = x + x = Cho x = số gia ∆x = x + ∆ = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ( + ∆x ) − f ( 1) = ( + ∆x ) + − = + 4∆x + ( ∆x ) − = 2∆x ( + ∆x ) 2 ∆y 2∆x ( + ∆x ) = = ( + ∆x ) ∆x ∆x 2∆x ( + ∆x ) ∆y lim = lim = ⇒ y′ ( 1) = ∆x → ∆x ∆x → ∆x Ta tính sau: f ( x ) − f ( 1) ( x − 1) ( x + 1) 2x2 + − x2 − y ′ ( 1) = lim = lim = lim = lim = lim ( x + 1) = x →1 x →1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 x −1 14 Nêu mối liên hệ đạo hàm liên tục ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Nguyên Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nếu hàm số có đạo hàm điểm liên tục điểm CM: Giả sử f ( x ) có đạo hàm hữu hạn f ′ ( x0 ) x0 có nghĩa tồn giới hạn hữu hạn f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) Theo định lý ta có tồn lân cận điểm x0 cho ∆x → ∆x f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ≤ C lân cận đó, với C số Từ ∆x lim lim ∆f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ≤ C ∆x Chuyển qua giới hạn ∆x → ta có ∆x→0 ∆f ( x0 ) = Vậy hàm số liên tục x0 Chú ý: Hàm số liên tục điểm chưa tồn đạo hàm điểm VD: y = x liên tục x = Nhưng không tồn đạo hàm x = 15 Định nghĩa vi phân hàm số điểm Nêu cơng thức tính gần nhờ vi phân ĐN: Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng (a, b) Ta nói hàm số f ( x ) có vi phân (khả vi) x0 ∈ ( a, b ) tồn số thực A cho với ∆x đủ nhỏ để x0 + ∆x ∈ ( a, b ) ta có đẳng thức θ ( ∆x ) → ∆x → ∆x Biểu thức A.∆x ta gọi vi phân hàm số kí hiệu dy df ( x0 ) Cơng thức gần đúng: Ta có ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′ ( x ) ∆x ∆y = ∆f ( x0 ) = A.∆x + θ ( ∆x ) Khi ∆x nhỏ ∆y ≈ f ′ ( x ) ∆x Ta gọi f ′ ( x ) ∆x biểu thức tuyến tính ∆x , gọi vi phân ∆y f ′ ( x ) ≠ Cơng thức tính gần f ( x0 + ∆x ) ≈ f ′ ( x0 ) ∆x + f ( x0 ) VD: Biết ln tính gần ln 2, 001 0, 001 ln ( + 0, 001) = + ln 2 16 Phát biểu, chứng minh, nêu ý nghĩa hình học định lý Roll Nếu y = f ( x ) liên tục [ a, b ] , khả vi ( a, b ) , f ( a ) = f ( b ) tồn c ∈ ( a, b ) : f ′ ( c ) = CM: m Vì f ( x ) liên tục [ a, b ] ⇒ ∃x1 , x2 ∈ [ a, b ] cho M = x∈[ ax] = f ( x1 ) , m = xmin] = f ( x2 ) ∈[ a ,b a ,b TH1: Nếu M = m ⇒ f ( x ) không đổi [ a, b ] ⇒ f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ ( a, b ) Chọn c điểm c ∈ ( a, b ) , f ′ ( c ) = − TH2: Nếu M > m Do f ( a ) = f ( b ) suy điểm x1 , x2 ∈ ( a, b ) Theo định lý Fecma ta chọn c ∈ ( a, b ) , c = x1 c = x2 : f ′ ( c ) = −  Ý nghĩa hình học: ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Nguyên Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Trên cung trơn » với hai điểm A, B có độ cao ln tồn điểm tiếp tuyến AB song song Ox 17 Phát biểu, chứng minh, nêu ý nghĩa hình học định lý Lagrăng Nếu f ( x ) liên tục [ a, b ] , khả vi ( a, b ) tồn c ∈ ( a, b ) cho f ′( c) = CM: f ( b) − f ( a) b−a f ( b) − f ( a) ( x − a) b−a Hàm số F ( x ) thỏa mãn giả thiết định lý Roll ∃c ∈ ( a, b ) cho F ′ ( c ) = Tức Với điểm x ∈ [ a, b ] ta đặt F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b) − f ( a) f ( b) − f ( a) = hay = f ′( c) b−a b−a Ý nghĩa hình học: Trên cung trơn » ln tồn điểm tiếp tuyến song song với AB AB 18 Phát biểu, chứng minh định lý Côsi Nếu f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục [ a, b ] khả vi ( a, b ) tồn c ∈ ( a, b ) : f ′( c) f ( b) − f ( a) = g′ ( c ) g ( b) − g ( a ) f ′( c) − CM: ∀x ∈ [ a, b ] ta đặt G ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − f ( b) − f ( a) g ( x) − g ( a)   g ( b) − g ( a )  Hàm số G ( x ) thỏa mãn giả thiết định lý Roll nên ∃c ∈ ( a, b ) : f ( b) − f ( a) f ( b) − f ( a) f ′( c) G′ ( c ) = ⇔ f ′ ( c ) − ×g ′ ( c ) = ⇔ = g ( b) − g ( a) g ( b) − g ( a) g′( c) 19 Định nghĩa ngun hàm tích phân khơng xác định Cho ví dụ  ĐN nguyên hàm: Hàm F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) ( a, b ) F ( x ) khả vi ( a, b ) F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b )  VD: cos x nguyên hàm − s inx ( −∞, + ∞ ) x2 nguyên hàm x ( −∞, + ∞ )  ĐN tích phân khơng xác định: Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x ) ( a, b ) Ta có họ nguyên hàm F ( x ) + C , C ∈ ¡ tích phân khơng xác định hàm f ( x ) ( a, b ) Kí hiệu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b ) ∫ : Dấu tích phân x: Biến lấy tích phân ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Tốn BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái f ( x ) : Hàm dấu tích phân f ( x ) dx : Biểu thức dấu tích phân 20 Định nghĩa tích phân xác định Cho y = f ( x ) xác định [ a, b ] Chia đoạn [ a, b ] thành n phần điểm chia a ≡ x0 < x1 < K < xi < xi +1 < xn ≡ b Gọi độ dài đoạn [ xi , xi +1 ] ∆xi , ∀i = 0, n − Trên đoạn [ xi , xi +1 ] lấy điểm tùy ý ξi n −1 ∑ f ( ξ ) ∆x Lập tổng i i =0 i Gọi λ = imax1 ∆xi = 0, n − Nếu λ → n −1 ( n → ∞ ) ∑ f ( ξi ) ∆xi → I hữu hạn (I không phụ thuộc vào cách chia [ a, b] cách chọn i =0 ξi Thì I gọi tích phân xác định hàm số f ( x ) lấy [ a, b ] b Kí hiệu: n −1 f ( x ) dx = lim ∑ f ( ξi ) ∆xi ∫ λ →0 ( n→∞ ) i = a b Nếu ∃∫ f ( x ) dx ta nói f ( x ) khả tích [ a, b ] a 21 Phát biểu chứng minh công thức Niutơn - Lepnit tích phân xác định Nếu F ( x ) liên tục khoảng [ a, b ] F ( x ) nguyên hàm f ( x ) khoảng b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a CM: x x  d  Ta có  F ( x ) − ∫ f ( t ) dt ÷ = f ( x ) − f ( x ) = nên F ( x ) − ∫ f ( t ) dt = c dx  a a  x Thay x = a ta có c = F ( a ) nên F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + F ( a ) ⇒ đpcm a 22 Định nghĩa tích phân suy rộng với cận vơ tận Cho ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định [ a, + ∞ ) f ( x ) khả tích đoạn [ a, A] ⊂ [ a, + ∞ ) A A Tức ∃∫ f ( x ) dx Ta gọi Alim ∫ f ( x ) dx tích phân suy rộng với cận vô tận hàm f ( x ) →+∞ a a +∞ Kí hiệu: A ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx A→+∞ a a A +∞ a a lim Nếu A→+∞ ∫ f ( x ) dx = I hữu hạn ta nói b Tương tự ∫ −∞ f ( x ) dx = lim A→+∞ ∫ f ( x ) dx hội tụ Ngược lại ta nói ∫ f ( x ) dx a b ∫ f ( x ) dx A ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH +∞ phân kì Vũ Viết Tiệp Nguyên +∞ ∫ Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái a f ( x ) dx = ∫ −∞ f ( x ) dx + −∞ +∞ ∫ f ( x ) dx a +∞ +∞ dx dx π dx = lim ∫ = lim arctan A = hữu hạn ⇒ ∫ VD: ∫ hội tụ A→+∞ + x A→+∞ 1+ x + x2 0 23 Định nghĩa tích phân suy rộng hàm khơng bị chặn Cho ví dụ Cho hàm số f ( x ) xác định [ a, b ] không bị chặn [ a, b ] Chẳng hạn giả sử f ( x ) không bị A chặn lân cận a Nhưng f ( x ) khả tích [ a + ε , b ] tức tồn b lim ε →0 ∫ f ( x ) dx tích phân suy rộng với f ( x ) a +ε b Kí hiệu: ∫ f ( x ) dx Khi ta gọi a +ε khơng bị chặn [ a, b ] b ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx ε →0 a a +ε b Nếu lim ε →0 b b ∫ f ( x ) dx = I hữu hạn ta nói a +ε ∫ f ( x ) dx b hội tụ Ngược lại a Nếu f ( x ) không bị chặn lân cận c ∈ ( a, b ) c a a c −ε1 b c phân kì a Tương tự f ( x ) không bị chặn lân cận b b ∫ f ( x ) dx b ∫ f ( x ) dx = lim a ε →0 b −ε ∫ f ( x ) dx a b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx + lim ∫ f ( x ) dx ε1 → a ε →0 c −ε π = lim ( − arcsin ( −1 + ε ) ) = hội tụ 2 ε →0 ε →0 −1 + ε ε → −1 − x −1 − x 24 Định nghĩa giới hạn hàm số hai biến số Cho ví dụ Cho z = f ( x, y ) xác định X ⊂ ¡ VD: ∫ dx = lim ∫ dx = lim arcsin x M ( x0 , y0 ) điểm tụ X  x − x0 < δ  ⇒ f ( x, y ) − A < ε ∀ε > 0, ∃δ > :  {  y − y0 < δ  xy =0 VD: Cmr: lim x →0 x + y y →0 lim f ( x, y ) = A x → x0 y → y0 xy xy y y →0 ≤ =  → 2 x +y xy x→0 xy VD: Cmr: ∃ lim x + y x→0 y →0 Vì ≤ ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH 10 Vũ Viết Tiệp Nguyên Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái 1  n→∞ ′  M n =  , ÷  ( 0, ) → n n  n→∞ ′′  M n =  , ÷ ( 0, ) → n n 2 ′ ′′ f ( Mn ) n =1≠ f ( Mn ) = 2 n xy ⇒ ∃ lim x →0 x + y y →0 25 Định nghĩa tính liên tục hàm số hai biến số Cho ví dụ Cho z = f ( x, y ) xác định X ⊂ ¡ M0 ( x0 , y0 ) ∈ X, f ( x, y ) liên tục M0 lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, M ∈ X : ρ ( M , M ) < δ ⇒ f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) < ε x → x0 y → y0 II  xy x + y ≠  f ( x, y ) =  x + y f ( x, y ) không liên tục (0, 0) VD: x + y = 0  Bài tập Tính giới hạn dãy số Tính giới hạn hàm số Xét tính liên tục khả vi hàm số biến số Tính đạo hàm Các tốn liên quan đến đạo hàm, vi phân Tính ngun hàm, tích phân khơng xác định Tính tích phân xác định Ứng dụng tích phân Tính tích phân xác định, tích phân suy rộng định nghĩa Tính giới hạn hàm số nhiều biến số Xét tính liên tục hàm số nhiều biến số ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP MƠN GIẢI TÍCH 11 ... 1) 2x2 + − x2 − y ′ ( 1) = lim = lim = lim = lim = lim ( x + 1) = x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 14 Nêu mối liên hệ đạo hàm liên tục ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun... a+b a +b  , b Nếu f  ÷ > ta chọn [ a1 , b1 ] =       a+b  a +b Nếu f  ÷ < ta chọn [ a1 , b1 ] =  a,      ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Toán BK45 Trường... lim f ( x ) = A x →a VD: Cm: lim ( 3x − 1) = x ? ?1 Thật vậy: ∀ε > , xét x − − = ( x − 1) = x − < ε ⇒ x ? ?1 < ε ε chọn δ = 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MƠN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Ngun Lớp Toán BK45 Trường