GV: Nguyn Vn Huy ( T: 093.2421.725 ) GII HN HM S Tóm tắt lý thuyết: I/ các định nghĩa: 1.ĐN1: Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là L nếu 00 :,0 nnNn >> thì | u n - L | < Viết lim u n = L. 2. ĐN2 : Ta nói dãy số (u n ) dần tới vô cực nếu với mọi số dơng M cho trớc ( lớn bao nhiêu tuỳ ý ) , tồn tại một số dơng n 0 sao cho với mọi n>n 0 thì | u n |>M. Ta viết Lim u n = . 3. Chú ý : 3.1 Khi dãy (u n ) dần tới vô cực thì nó không có giới hạn ,song để cho tiện ta vẫn dùng kí hiệu Lim u n = . 3.2 .:,0lim 00 MunnNnMu nn >>>+= 3.3 .:,0lim 00 MunnNnMu nn <>>= 3.4 1||,0lim;0 1 lim <== qq n n k 4. ĐN3: Giới hạn hàm số (SGK) 5. ĐN4: Giới hạn hàm số dần tới vô cực (SGK) 6. ĐN5: Giới hạn hàm số tại vô cực (SGK) 7. ĐN6: Giới hạn một phía của hàm số (SGK) 8. chú ý : 8.1 0, 1 0 >= k x Lim k x 8.2 Giới hạn dạng = 0 a 8.3 0,0 1 >= k x Lim k x II/ Một số định lý 1. các định lý về giới hạn dãy số ; Định lý 1: nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2: nếu một dãy số có giới hạn thì dãy số đó bị chặn. Định lý 3: nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (giảm và bị chặn dới) thì dãy số đó có giới hạn. Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK). Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK). 2. các định lý về giới hạn hàm số: Định lý 1: nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2: điều kiện cần hàm số có giới hạn(điều kiện đủ hàm số có giới hạn).(SGK) Định lý 3: Định lý giới hạn một phía ( sgk) Định lý 4 : các phép toán về giới hạn( SGK). Định lý 5 : Giới hạn kẹp giữa ( SGK). III/ Bài tập: Loại1: Giới hạn của dãy số qua các phép toán Cách làm ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng hiệu tích thơng để đa vào một kết luận trực tiếp. Trong trờng hợp gặp các dạng vô định ( 0,,, 0 0 )ta thờng biến đổi các biểu thức : - Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn. - Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng 1 1||,0lim;0 1 lim <== qq n n k - Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức . - sử dụng kết quả đã tính đợc. Các VD: tìm các giới hạn sau 1.lim )2( 22 ++ nnn gợi ý : nhân liên hợp , kq: 1/2 2.lim ( 4 2222 ).1( 3.42.31.2 n nn +++++ ) Gợi ý: 4 222 4 2222 3)13(2)12(1)11().1( 3.42.31.2 nn nn ++++++ = +++++ 6 )12)(1( 4 )1( ) 1() 1( 22 2233 ++ + + =+++++ nnnnn nn 3. lim 15 5 1 1 + + + n nn e kq:1/5 4. Lim 927 14 3 23 + + nn nn kq: 1/7 5.lim )43)(32)(1( 12 3 +++ + nnn n kq: 1/3 6. Lim ) )1( 1 3.2 1 2.1 1 ( + +++ nn 7. Lim ) )12)(12( 1 7.5 1 5.3 1 ( + +++ nn 8. Lim ) )2( 1 4.2 1 3.1 1 ( + +++ nn 9. Lim ) )3( 1 5.2 1 4.1 1 ( + +++ nn 10. Lim ) 1 21 ( 222 n n nn +++ Loại 2: Giới hạn dãy số thông qua sự so sánh ( Định lý kẹp) 1. n n n 3 sin)1( lim + 2. 2 ! lim n n 3. n en )lim(sin 4. ) 21 lim( 222 nn n n n n n + ++ + + + với n>0 Loại 3 Giới hạn hàm số thông qua các định lý Cách làm ta có thể áp dụng các định lý về giới hạn , các phép toán về tổng, hiệu, tích, thơng để đa vào một kết luận trực tiếp. Trong trờng hợp gặp các dạng vô định ( 0,,, 0 0 )ta thờng biến đổi các biểu thức : - Bằng cách đặt thừa số chung sau đó rút gọn. - Chia tử, mẫu cho số khác không và áp dụng 0 1 lim, 1 lim 0 == k x k x xx - Nhân lợng liên hợp nếu chứa dạng có căn thức . - sử dụng kết quả đã tính đợc. 2 Bài tập : Tìm các giới hạn sau: 1) 1 1 lim 5 1 x x x 5) 15 123 lim 2 2 + ++ xx xx x 2) 9 935 lim 2 23 3 ++ x xxx x 6) 53 1 lim 2 + ++ x xx x 3) 1 213 lim 1 + x x x 7) 53 1 lim 2 + ++ + x xx x 4) 1 12 lim 2 3 2 3 1 ++ x xxx x 8) x x x x x + + + 1 1 ) 2 1 (l im 9) x x x sin lim 10) ) 4 (.2lim 4 xtgxtg x 11) )1(lim xx x + + 12) )1(lim xx x ++ Loại 4: giới hạn các hàm số lợng giác Một số công thức hay sử dụng. 1 sin lim 0 = x x x 1 )( )(s in lim 0 = xu xu xx (trong đó 0)( xu khi 0x ) 1lim 0 = x tgx x 1 )( )( lim 0 = xu xtgu xx (trong đó 0)( xu khi 0x ) Bài tập : tìm 1) 2 0 cos1 lim x x x 2) x x x 3sin lim 0 3) x tgx x 2sin lim 2 0 4) 2007 0 2007sin 3sin2sinsin lim x xxxx x 5) x xx x sin 112 lim 0 ++ 6) x xx x 2 0 sin 3coscos lim 7) xx x x 2sin cos1 lim 3 0 Loại 5: Giới hạn các hàm số có liên quan tới e Một số công thức hay sử dụng. 1) e x x x =+ ) 1 1(lim 2) ex x x =+ 1 0 )1(lim 3) ( ) 1 )1ln lim 0 = + x x x 4) 1 1 lim 0 = x e x x Bài tập : Tìm 1) x ee bxax x 0 lim với 0,0 ba 2) 2 0 cos3 lim 2 x x x x 3) x x x ) 2 1(lim 4) 2 1 2 ) 2 (lim x x x Loại 6 : phơng pháp gọi số hạng vắng tìm giới hạn hàm số Cách làm: Bản chất việc khử dạng 0/0 là làm xuất hiện nhân tử chung để: - Hoặc là khử nhân tử chung đa về dạng xác định - Hoặc là đa giới hạn về dạng giới hạn cơ bản ,quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải . - Trong các bài toán khó chứa nhiều căn thức và chỉ số căn khác nhau ta cần thêm bớt vào giới hạn một hằng số hoặc một hàm số 3 phù hợp để tách thành nhiều giới hạn đảm bảo phân số tham gia vào dạng vô định chỉ chứa một căn và vẫn là dạng 0/0. Ví dụ: Tìm 1) 1 75 lim 2 3 23 1 + x xx x = 1 )27()25( lim 2 3 23 1 + x xx x = 1 27 lim 1 )25( lim 2 3 2 1 2 3 1 + x x x x xx Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết cách làm .Tại sao lại nghĩ đợc thêm bớt số 2? Trả lời là 1 27 ; 1 )25( 2 3 2 2 3 + x x x x đều có dạng 0/0 vậy không thể chọn số khác ngoài 2. 2) 2 3 0 1321 lim x xx x ++ = 2 3 0 )113()121( lim x xxxx x ++ = 2 0 )1(21 lim x xx x ++ - 2 3 0 )1(13 lim x xx x ++ Bình Luận : Ta đã tách thành hai giới hạn đơn giản hơn đã biết cách làm,trong trờng hợp này ta phải thêm vào x+1 vì nếu thêm hằng số ta chỉ thu đợc dạng vô định mới mục đích Vẫn chỉ làm mất bậc hai ở mẫu.Vì sao lại là x+1 mà không phải biểu thức khác ( xem loại7) Bài tập: tìm 1) x xx x 3 0 812 lim + 2) 1 75 lim 2 3 2 1 + x xx x 3) 2 3 0 1321 lim x xx x ++ 4) 29 202 lim 4 3 7 + ++ x xx x 5) x xx x 2 3 1 sin coscos lim 6) )23(lim 2 3 23 xxxx x + + Loại 7: Giới hạn sử dụng công thức 1. n a x ax n x = + 11 lim 0 trong đó a * ,0 Nn Chứng minh : ta đặt ẩn phụ tax n =+1 từ đó suy ra ĐPCM 2. Giới hạn dạng k nm ax ax xgxf )( )()( lim dạng 0 0 , { } nmkNknm ,min1,,, Phân tích thành k n n m m ax ax xhxhxgxhxhxf )( )]()]([)([)]()]([)([ lim 11 ++ Và phân tích thành hai giới hạn loại 6. VD1: Tìm )(lim 0 xF x Trong đó x xx xF 200721)2007( )( 7 2 + = HD: 7 2007.2 121 .2007lim21lim )121(200721 lim)(lim 7 0 7 0 77 2 00 = += + = x x xx x xxx xF xxxx 4 VD2 : Tìm I = 3 3 223 0 27279968 lim x xxxxx x +++++ HD: I= 3 3 3323 0 )]3()3([)]3()3(8[ lim x xxxxxx x +++++ Bài Tập : Tìm 1) 4 3 44 3 0 184)2/3( 13/12/11 lim xxx xxxx x ++ +++ 2) x xxxxx x 3 4 3 0 4 )1ln(cos33cos 2 312cos lim ++ ++ gợi ý : h(x) = cosx 3) 2 4 2 0 42122cos lim x xxxx x + Gợi ý: h(x) = 1-x 4) 2 4 232 0 21422cos223 lim x xxxxxx x +++++ 5) 2 3 0 3 31)1ln(521 lim x xxxx x ++++ Loại 8: Tham khảo toán cao cấp . Định lý : Nếu f(x), g(x) có đạo hàm ở lân cận x 0 ,f(x 0 ) = g(x 0 ) =0 và g(x) khác không ở lân cận x 0 ,thì ( ) ( ) ( ) ( ) xg xf iml xg xf xx xx = 0 0 lim ( Quy tắc lô pi tan) VD: = xx x x sin 2007 lim 3 0 x x x cos1 3.2007 lim 2 0 = 2007.6 sin 2.3.2007 lim 0 = x x x Bài tập tổng hợp Bài1 tính các giới hạn sau: a) x x x cos1 ||3sin1|1| lim 0 + b) ) 2 sin( )cos 2 cos( lim 2 0 x x x c) 3 0 sin lim x xtgx x d) xx xx x + ++ 243 sin121 lim 3 0 e) )cot 2sin 2 (lim 0 gx x x f) 2 0 7 5cos1 lim x x x g ) 2 2 0 )()( lim x atgxatgxatg x + h) 1 57 lim 2 3 1 + x xx x i) ) x xx x sin 112 lim 3 2 0 ++ k) x xxx x 7sin )7cos5cos3cos1 ( 83 98 lim 2 0 Bài2: Tính các giới hạn sau a) 3 0 sin11 lim x xtgx x ++ b) x xx x 11sin 7cos5cos1 lim 2 0 5 c) )1ln( 1 lim 2 3 22 0 2 x xe x x + +− → d) 11 1sincos lim 2 44 0 −+ −− → x xx x e) )(lim Zn nx xtg nx ∈ + −→ π f) x x x cos1 121 lim 2 0 − +− → g) x x x 2sin )31ln( lim 0 + → h) 2 1 0 )2(coslim x x x → 6 . Giới hạn kẹp giữa ( SGK). 2. các định lý về giới hạn hàm số: Định lý 1: nếu một hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2: điều kiện cần hàm số có giới hạn( điều kiện đủ hàm số. <== qq n n k 4. ĐN3: Giới hạn hàm số (SGK) 5. ĐN4: Giới hạn hàm số dần tới vô cực (SGK) 6. ĐN5: Giới hạn hàm số tại vô cực (SGK) 7. ĐN6: Giới hạn một phía của hàm số (SGK) 8. chú ý : 8.1 0, 1 0 >= k x Lim k x . 0, 1 0 >= k x Lim k x 8.2 Giới hạn dạng = 0 a 8.3 0,0 1 >= k x Lim k x II/ Một số định lý 1. các định lý về giới hạn dãy số ; Định lý 1: nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Định