TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chung) Câu I. 1) Giải phương trình √ 3+ 6 − √ 2 − = √ 2+ 2. 2) Giải hệ phương trình  2  + 3  =30 + 2− 3=6.  Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên ( , ) thỏa mãn   − − 2  + − 2=3. 2) Với các số thực a,b thỏa mãn điều kiện + +=3, tìm giá trị nhỏ nhất của =  +   . Câu III. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là phân giác ∠ BAC với D nằm giữa B, C. AD cắt (O) tại E khác A. EF là đường kính của (O). P là một điểm nằm giữa A, D. FP cắt (O) tại Q khác F. Đường thẳng qua P vuông góc AD cắt CA, AB lần lượt tại M , N. a) Chứng minh rằng các tứ giác PQBN , PQCM nột tiếp. b) Giả sử QN và PC cắt nhau trên (O). Chứng minh rằng QM và PB cũng cắt nhau trên (O). Câu IV. Cho ,, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng     +−  +    + −  +    +−  ≥ + +  HẾT ĐÁP ÁN Toán chung ( tóm tắt ) Câu I. 1) Đk 2≥≥1 khi đó 3 + 6≥2 −  nên pt tương đương 3 + 6 + 2 − − 2  ( 3+ 6 )( 2 −  ) =2+ 2 (0.5đ) hay  ( 3+ 6 )( 2 −  ) =3 (0.5đ) Từ đó =±1 ( thỏa mãn ). (0.5đ) 2)  2  + 3  =30  + 2− 3=6  .Phương trình thứ hai tương đương ( −3 )(  + 2 ) =0 (0.5đ) TH1. =3 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3; 2) và (3; −2) (0.5đ) TH2. = −2 thay vào phương trình thứ nhất thu được nghiệm (3;−2) và (−3;−2) KL: ( 3;2 ) , ( 3;−2 ) , ( −3;−2 ) (0.5đ) Câu II. a)   −  − 2  + − 2=3⇔ (  −2 )(  ++ 1 ) =3 (0.5đ) TH1. − 2=3,+  + 1=1⟹=1,=−1. TH2.  − 2=1,++ 1=3⟹ =   ,=   loại (0.5đ) TH3.  − 2=−3,+  + 1=−1⟹=−   ,=   loại TH4.  − 2=−1,+  + 1=−3⟹=−3,=−1. KL: ( 1;−1 ) , ( −3;−1 ) ( 0.5đ ) . b) Ta có (   + 1 ) + (   + 1 ) + (   +   ) ≥2 + 2 + 2=6 (1.0đ) Suy ra   +   ≥2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==1. Vậy min (   +   ) =2 (0.5đ) Câu III. a) EF là đường kính của (O) nên AF ⊥ AE ⊥ MN do đó AF ‖ MN. Suy ra ∠QPN = ∠AFQ = 180° – ∠ABQ suy ra PQBN nội tiếp. Lại có ∠FPM = ∠AQF = ∠ACQ suy ra PMCQ nội tiếp. . b) Giả sử QN và PC cắt nhau tại R thuộc (O). Từ PQBN nội tiếp ta thấy ∠NPB = ∠ NQB = ∠BCP. Từ tứ giác PMCQ ta có ∠ PBC = ∠ RPB – ∠ PCB = ∠ RPN + ∠ NPB – ∠ NPB = ∠ RPN = ∠ MPC = ∠ MQC . Từ đó nếu QM cắt BP tại S dễ suy ra tứ giác SBQC nội tiếp hay S thuộc (O). Câu IV. =    () +    () +    () ≥   () +   () +   () (0.5đ) =    +    +    ≥2 (  )   =+  + . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==. (0.5đ) . ++ 1 ) =3 (0.5đ) TH1. − 2=3,+  + 1= 1⟹ =1, = 1. TH2.  − 2 =1, ++ 1= 3⟹ =   ,=   loại (0.5đ) TH3.  − 2=−3,+  + 1= 1 =−   ,=   loại TH4.  − 2= 1, +  + 1= −3⟹=−3,= 1. . 1= −3⟹=−3,= 1. KL: ( 1; 1 ) , ( −3; 1 ) ( 0.5đ ) . b) Ta có (   + 1 ) + (   + 1 ) + (   +   ) ≥2 + 2 + 2=6 (1. 0đ) Suy ra   +   ≥2, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = =1. Vậy min (   +. KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2 015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN Thời gian làm bài: 12 0 phút, không kể thời gian phát đề M«n: to¸n (To¸n chung) Câu I. 1) Giải phương trình