A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU: Lớp lớp cuối cấp bậc THCS, học hết lớp 9, em có kĩ giải thành thạo dạng tốn đại số hình học như: Tính tỉ lệ, tính diện tích, tính thể tích, giải phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn, thực hành tính tốn đời sống Nhưng học sinh lại lúng túng giải phương trình vơ tỉ Trong chương trình tốn THCS, SGK khơng đưa lí thuyết cụ thể phương pháp giải phương trình vơ tỉ, hệ thống tập lại có đề cập đến Các tốn dạng có nhiều loại sách phát triển, nâng cao, đề thi học sinh giỏi, đề thi vào trường chuyên PTTH Do cần phải hướng dẫn cho học sinh Lớp biết cách giải tập dạng Do trình giảng dạy, giáo viên cần thông qua hệ thống tập để học sinh nắm khái niệm phương trình vơ tỉ, có kỹ thành thạo, vận dụng kiến thức học giải chúng, đặc biệt giúp em tránh sai lầm giải toán loại Để giúp học sinh có kiến thức, có kĩ giải thành thạo dạng tốn giải phương trình vơ tỉ, q trình giảng dạy thân tơi hệ thống lại phương pháp tập để vận dụng Rất mong quan tâm, đóng góp ý đồng nghiệp để đề tài mang lại hiệu cao việc ứng dụng vào thực tế giảng dạy II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 1, Thực trạng: - Đa số HS lớp em gia đình nơng, ngồi học lớp em cịn phải lao động phụ giúp gia đình Do em thời gian tự học nhà - Một số học sinh coi nhẹ việc học, lười học dẫn đến hổng kiến thức lớp không nắm vững kiến thức lớp - Một số phụ huynh chưa quan tâm mức đến việc học em - Một số em gia đình có hồn cảnh kinh tế khó khăn, khơng có tài liệu, sách nâng cao để nghiên cứu Do có ảnh hưởng nhiều đến việc học em - Đa số học sinh chưa nắm vững khái niệm kiến thức để giải phương trình vơ tỉ Học sinh vận dụng kiến thức học vào giải phương trình vơ tỉ cịn hạn chế, chưa nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ - Với tốn giải phương trình vơ tỉ, nhiều học sinh không xác định cách làm, áp dụng phương pháp - Một số học sinh nắm phương pháp giải vài dạng tập phương trình vơ tỉ q trình thực cịn hay nhầm dấu, sai điều kiện khơng có điều kiện Dẫn đến giải chưa hoàn chỉnh 2, Kết thực trạng trên: Qua khảo sát 34 học sinh lớp 9A trường THCS Phúc Thịnh - Ngọc Lặc giải phương trình vơ tỉ, thu kết sau: Tổng số 34 Giỏi SL % Khá SL Trung bình SL % 11 32,35 % 5,88 Yếu SL 21 % 61,77 Từ thực trạng trên, để việc giảng dạy đạt kết tốt hơn, mạnh dạn hệ thống lại dạng tập phương trình vơ tỉ phương pháp giải dạng để học sinh tiếp thu dễ dàng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: - Sử dụng phương pháp để giải toán cụ thể - Kết hợp SGK, SBT, SGV tài liệu tham khảo để giải tiết dạy - Thông qua tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo, phân tích so sánh, vận dụng thực nghiệm tiết dạy Từ rút phương pháp dạy phù hợp với việc đổi SGK II CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN: Có nhiều phương pháp giải phương trình vơ tỉ, phương pháp thường phù hợp với dạng định Tuy nhiên khơng loại trừ khả phương trình chứa thức giải theo nhiều cách khác Để giúp học sinh nắm vững kiến thức giải phương trình vơ tỉ, q trình giảng dạy, tơi cho học sinh nắm số phương pháp giải phương trình vơ tỉ thơng qua nhiều dạng tập Để phù hợp với đối tượng học sinh lớp giới thiệu phương pháp giải thông qua hệ thống tập xếp từ dễ đến khó đặc biệt phải cho học sinh nắm vững kiến thức sau: - A có nghĩa ⇔ A ≥ - Hằng đẳng thức - ( A) A2 = A = A với A ≥ - A = A A ≥ - A Nếu A < - Các đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) (A - B)2 = A2 + 2AB + B2 (2) A2 - B2 = (A -B)(A + B) (3) (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) (A - B = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) (6) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) (7) 1, Phương trình dạng ( f (x) ) = g(x) ( f (x) ) + ( h(x) ) = g(x): Cách giải: Đưa phương trình dạng chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối * ( f (x) ) = g(x) ⇔ * ( f (x) ) + ( h(x) ) = g(x) f (x) = g(x) (Phương trình học lớp 8) ⇔ f ( x) + h( x ) = g(x) Ví dụ 1: ( x − 2) = (1) Giải phương trình: ( x − 2) = Giải: ⇔ x−2 = x − = x = ⇔ ⇔  x − = −4  x = −2 Tập nghiệm phương trình (1) là: S = { − 2;6} Hình thành cho học sinh phương pháp giải phương trình chứa thức mà biểu thức dấu có dạng đẳng thức A đưa phương trình có ẩn giá trị tuyệt đối giải tiếp làm lớp Để học sinh giỏi phát huy khả mình, tơi thêm tập sau: Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x + = 3x - (2) Trong đòi hỏi học sinh phải biến đổi biểu thức dấu thành dạng bình phương nhị thức tiếp tục giải tập trước Giải: x + x + = 3x - ⇔ ( x + 3) = 3x - ⇔ x + = 3x - * Nếu x + ≥ ⇔ x ≥ - 3, ta được: x + = 3x - ⇔ x = (TMĐK) * Nếu x + < ⇔ x < - 3, ta được: - x - = 3x -1 ⇔ x = - 0,5 khơng thỗ mãn x < - nên nghiệm Tập nghiệm phương trình (2) là: S = { 2} Ví dụ 3: Giải phuơng trình : x − x − = x − (3) Giải: ĐK x ≥ ⇔ ( ⇔ x − x −1 = x −1 ) x −1 −1 x −1 −1 = x −1 = x −1 (3’) * Nếu x − − ≥ ⇔ x > phương trình (3’) trở thành: x −1 −1 = x −1 * Nếu ≤ x ≤ ⇔ -1 = phương trình vơ nghiệm phương trình (3’) trở thành : 1− x −1 = x −1 ta được: x - = x −1 ⇔ x −1 = Hai vế khơng âm, bình phương hai vế 10 ⇔ x= Thoã mãn ≤ x ≤ 9 10  9 Tập nghiệm phương trình (3) là: S =   Để giải phương trình (3) địi hỏi học sinh phải sáng tạo việc biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương biểu thức thêm bớt lượng Cũng qua tập lưu ý học sinh việc đặt điều kiện cho biểu thức có nghĩa Ví dụ 4: Giải phương trình : x − + 2x − + x − − 2x − = (4) Yêu cầu học sinh nhận xét phương trình (4), có giống khác với phương trình (3) Có thể áp dụng cách giải phương trình (3) để giải không ? Việc biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương có khó khăn ? Nếu học sinh không tự giải giáo viên giúp đỡ em gợi ý Nhân hai vế phương trình (2 ) với Giải: Với x ≥ ta có (3) ⇔ ⇔ 2x − + + x − − = 14 x − + 2 x − + x − − 2 x − = 14 (4' ) * Nếu x > phương trình (3' ) ⇔ 2 x − = 14 ⇔ x = 27 thoả mãn x > * Nếu ≤ x ≤ (3' ) ⇔ x − = 12 ⇒ Vô nghiệm Tập nghiệm phương trình (4) là: S = {27} Qua ví dụ lưu ý học sinh cần linh hoạt trình biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương biểu thức đơi phải thêm bớt nhân hai vế với số khác Ví dụ 5: Giải phương trình: x − x + + + x + x = ĐK : x ≥ (5) ⇔ x−2 + 2+ x = ⇔ x − + + x = (5’) * Nếu x ≥ (5’) ⇔ x − + x = Đến học sinh giải phương trình cách đặt ẩn phụ x = X ≥ để đưa phương trình bậc hai phân tích vế trái thành tích đưa phương trình tích giải x = ( loại ) * Nếu ≤ x < (5’ ) ⇔ − x + x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình (5) vơ nghiệm 2, Phương trình dạng f (x ) + g (x) = f (x) = g(x); f (x) + g (x) = h(x) h(x) : Cách giải: Nâng lên luỹ thừa *  g ( x) ≥ f (x ) = g(x) ⇔   f ( x ) = [ g ( x )] * f (x) + g (x) = h(x) f (x) + g (x) =  f ( x) ≥  phương trình:  g ( x) ≥ h ( x ) ≥  h(x) Tìm điều có nghĩa Giải phương trình đối chiếu với điều kiện để loại nghiệm khơng thích hợp Nghiệm thích hợp nghiệm phương trình cho Ví dụ 6: Giải phương trình: 2( x + 2) = (6) Giải: ĐK: x ≥ - 2( x + 2) = ⇔ 2(x + 2) = 62 ⇔ x = 16 TMĐK Tập nghiệm phương trình (6) là: S = {16} Đây phương trình có chứa thức dấu căn, khơng có dạng bình phương biểu thức nên ta biến đổi chúng cách bình phương hai vế phương trình Khi bình phương hai vế cần ý đặt điều kiện để thức có nghĩa điều kiện để bình phương hai vế khơng âm Có thể khắc sâu điều ví dụ sau: Ví dụ 7: Giải phương trình: (7) x−3 = x−5 Nếu đặt điều kiện cho thức có nghĩa tức x ≥ Sau bình phương hai vế giải ta : x - = ( x - )2 ⇔ x − 11x + 28 = ⇔ x1 = 7; x = Nhưng x2 = khơng phải nghiệm phương trình (7) Thật : Với x = , vế trái vế phải -1 Do để tránh sai lầm ta làm theo hai cách Thử lại kết tìm đặt điều kiện để hai vế khơng âm bình phương Đối với học sinh nên cho học sinh tìm hiểu xuất nghiệm ngoại lai x2 = ? Phương trình phương trình hệ ? Bài tập nên giải sau : x −3 = x −5 (7) Điều kiện để thức có nghĩa với x ≥ phương trình (7) ⇔ ( x − 3) = ( x − 5) giải ta được: x1 = thoả mãn ĐK x ≥ ` x2 = không thoả mãn ĐK x ≥ nên bị loại Tập nghiệm phương trình là: S = { 7} Sau khắc sâu cho học sinh vấn đề trên, cho học sinh luyện tập ví dụ khác mức độ khó Ví dụ 8: Giải phương trình x + − x + = ĐK x ≥ −1 (8) Nếu tiến hành bình phương vế học sinh vấp phải khó khăn đặt điều kiện cho vế không âm tương đối phức tạp để đơn giản nên chuyển − x + sang vế phải, lúc ta có phương trình với hai vế không âm: (8) ⇔ x + = + x + ⇔ 2x + = + x + + x + ⇔ x + = x + đk: x ≥ −1 ⇔ x + x + = 4( x + 1) x2 - 2x - =  x = −1 ⇔ x = Tập nghiệm phương trình là: S = {-1; 3} Ví dụ 9: Giải phương trình: x + − x − = x (9) Giải: 2 x + ≥  ĐK: 2 x − ≥ ⇔ x ≥ x ≥  2x + − 2x − = x ⇔ 2x + = 2x − + x ⇔ 2x + = 2x - + x + 2( x − 7) ⇔ - x = 2(2 x − 7) (9’) * Nếu - x < hay x > phương trình vơ nghiệm * Nếu 7/2 ≤ x ≤ hai vế (9’) khơng âm, bình phương hai vế ta có: 64 - 16x + x2 = 4x(2x - 7) ⇔ 7x2 - 12x - 64 = Giải phương trình ta được: x1 = thoả mãn đk x ≥ x2 = - 16 không thoả mãn đk x ≥ (loại) Vậy phương trình (9) có nghiệm nhất: x = Qua hai tập học sinh thấy, nâng lên luỹ thừa hai lần khử hết Cần lưu ý nâng luỹ thừa phải đặt điều kiện để hai vế phương trình khơng âm Cần lưu ý học sinh có đặt điều kiện cho thức có nghĩa tương đối phức tạp, trường hợp ta cần giải điều kiện kết hợp chúng trục số Ví dụ 10: Giải phương trình: x + x + + x − = x + (10) Điều kiện giá trị x thoả mãn hệ : 2 x + x + ≥  x − ≥ 2 x + ≥   x ≤ −1   x ≥ −3  x ≤ −1  ⇔   x ≥  x ≥ −1    Bình phương hai vế đưa phương trình : 2( x + 1) ( x + 3)( x − 1) = x − ⇔ 8( x + 1) ( x + 3)( x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) 2 ⇔ ( x + 1)2(x - 1)(7x + 25) = ⇔ x ≥ x = -1  x =  ⇔  x = −1 ;  25 x = −  x=- 25 loại khơng thoả mãn x ≥ 1; x = −1 (loại) Tập nghiệm phương trình (10) là: S = {-1; 1} 3, Một số dạng phương trình vơ tỉ khác thường gặp: Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa dạng giải hệ phương trình kết hợp hai cách Ví dụ 11: Giải phương trình: ( y − 5) − y − = (11) Giải: y ≤ − Điều kiện : y ≥ ⇔  y ≥  Nếu đặt y − = x ≥ phương trình (11) có dạng :  x = −1 ; x = x2 - 5x - = ⇔  Với x = ta có x = - loại ĐK x ≥  y = 41 y2 − = ⇔   y = − 41  Tập nghiệm phương trình (11) là: S = { 41 ; - 41 } Trên sở học sinh có khái niệm phương pháp đặt ẩn phụ, cần cho học sinh làm số tập khác đòi hỏi sáng tạo qua trình đặt ẩn phụ Ví dụ 12: Giải phương trình: 2x2 - 8x - x − x − = 12 (12) Giải: Ta viết phương trình (12) dạng: 2(x2 - 4x - 5) - x − x − - = Đặt t = x − x − ≥ Ta có phương trình: 2t2 - 3t - = Giải phương trình ta được: t1 = (TMĐK), t2 = - 1/2 (loại) Với t1 = 2, ta giải phương trình: x − x − = ⇔ x - 4x - = 10 Phương trình có hai nghiệm: x1 = + 13 , x2 = - 13 Ví dụ 13: Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = (13) Giải: ĐK : x + x + ≥ Đặt x + x + = y ≥ ⇒ y = x + x + Phương trình (12) trở thành 3y2 + 2y - = y = ⇔ y = − ;  y= − < loại  x = −1 x + 7x + = ⇔ x + 7x + = ⇔   x = −6 Với y = ta có Bây ta phải kiểm tra xem giá trị x = - ; x = - có thoả mãn đk thức có nghĩa hay khơng Cách kiểm tra : * Với x = - ta có x2 + 7x +7 = (-1)2 + 7(-1) + = > (TMĐK) * Với x = - ta có x2 + 7x +7 = > (TMĐK) Tập nghiệm phương trình (13) là: S = {- 6; -1} Ví dụ 14: Giải phương trình: x − + x +1 = (14) Giải: Điều kiện : x ≥ Đặt x − = X ; x + = Y ≥ ⇔ x − = X x + = Y2 ⇒ Y − X = x +1− x + = Phương trình (13) trở thành hệ phương trình: X + Y = Y = − X   3 Y − X = ⇔ Y − X = Y ≥ Y ≥   ⇒ X − X + 6X − = 11 ( ) ⇔ ( X − 1) X + = Do X2 + > với x, nên X = ⇒ Y = thoả mãn ĐK Y ≥ * Với Y = ta có x + = ⇔ x = thoả mãn x ≥ −1 Tập nghiệm phương trình (14) là: S = {3} Ngồi cách giải tập cịn có cách giải phương pháp bất đẳng thức tức sử dụng tính đối nghịch hai vế phương trình Cụ thể : Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Bây ta chứng minh x > -1 ≤ x < khơng phải nghiệm phương trình Thật : Với x > x − > x + > suy vế trái lớn vế phải suy phương trình vơ nghiệm Với -1 ≤ x < x − < x + < suy vế trái nhỏ 3; vế phải Vậy phương trình vơ nghiệm Do x = nghiệm phương trình (14) Phương pháp tương đối khó học sinh, ta cho em làm thêm vài tập tương tự để giúp học sinh hiểu rõ phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hệ phương trình dùng để giải nhiều dạng phương trình vô tỉ dạng dạng nêu Vì vậy, giảng dạy, giáo viên nên khuyến khích học sinh lựa chọn cách giải nhanh gọn Ví dụ 15: Giải phương trình: (15) x − + 2x − = Ngoài cách giải nâng lên luỹ thừa dạng 2, ta giải sau: Giải: Đặt u = x −1 ≥ v = 2x −1 ≥ Phương trình (14) trở thành: u + v = Ta lại có: v2 - 2u2 = u + v = Vậy ta có hệ phương trình:  2 v − 2u = 12 Giải hệ, ta được: u1 = (TMĐK), u2 = - 12 (loại) Với u1 = ta giải phương trình: x − = (x ≥ 1) ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm nhất: x = C KẾT LUẬN I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau nghiên cứu áp dụng giảng dạy mơn Tốn 9, thân đồng nghiệp thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt Học sinh nhận dạng thành thạo phương trình chứa thức đứng trước phương trình chứa thức em biết lựa chọn phương pháp giải phù hợp Mức độ đạt cụ thể là: Tổng số 34 Giỏi SL % 8,8 Khá SL Trung bình SL % 20 58,8 % 20,6 Yếu SL % 11,8 II KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT: Với kiến thức phương trình vơ tỉ đề cập SGK Tốn khơng đáp ứng đầy đủ nhu cầu em Vì vậy, để HS học tốt phần này, cần phải kết hợp tài liệu, sách báo tham khảo Đặc biệt hình thành cho HS thói quen nhìn nhận tốn, từ có phương pháp giải phù hợp Do đó, thân tơi có số kiến nghị đề xuất sau: - Thư viện cần tăng cường bổ sung thêm sách tham khảo, sách nâng cao để đáp ứng nhu cầu học tập HS - Cung cấp đầy đủ tranh ảnh, đồ dùng trực quan, dụng cụ đo đạc mơn tốn nói riêng mơn khác nói chung - Lắp đặt hệ thống máy chiếu sử dụng tiết dạy để đạt hiệu tốt 13 Do lực thân có hạn số khó khăn mang lại, chắn đề tài tơi nghiên cứu cịn nhiều thiếu xót hạn chế Rất mong đóng góp ý kiến chân thành đồng nghiệp cấp lãnh đạo Tôi xin chân thành cảm ơn ! 14 ... thức để giải phương trình vô tỉ Học sinh vận dụng kiến thức học vào giải phương trình vơ tỉ cịn hạn chế, chưa nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ - Với tốn giải phương trình vơ tỉ, nhiều... nghiệm phương trình (10) là: S = {-1; 1} 3, Một số dạng phương trình vơ tỉ khác thường gặp: Cách giải: Đặt ẩn phụ đưa dạng giải hệ phương trình kết hợp hai cách Ví dụ 11: Giải phương trình: (... giải phương trình vơ tỉ, q trình giảng dạy, tơi cho học sinh nắm số phương pháp giải phương trình vơ tỉ thơng qua nhiều dạng tập Để phù hợp với đối tượng học sinh lớp giới thiệu phương pháp giải