http://www.math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 12 Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = 3x−2 x+ 1 (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Lời giải: Hàm số y = 3x−2 x+ 1 Bảng biến thiên Đồ thị −8 −6 −4 −2 2 4 6 −4 −2 2 4 6 8 10 0 Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos  BAI = 5 √ 26 Lời giải: Cách 1: Xét điểm M (x o ;y o ),x o = −1 thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến tại M : y−  3− 5 x o + 1  = 5 (x o + 1) 2 (x−x o ) Ptrình của ha i đường tiệm cận của (C) lần lượt là x = −1, y = 3 A là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng x = −1 ⇒A  −1; 3x o −7 x o + 1  B là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang y = 3 ⇒B(2x o + 1;3) Từ điều kiện giả thiết ta có phương trình 5 √ 26 = t √ 400+t 2 với t = 10 2 (x o + 1) 2 ,t > 0 ⇔t = 100 ⇔ 10 2 = 10 2 (x o + 1) 2 ⇔ x o = 0 hay x o = −2 Với x o = 0 ⇒ pt của d : y = 5x−2 Với x o = −2 ⇒ pt của d : y = 5x+ 2 Cách 2: Xét điểm M (x o ;y o ),x o = −1 thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến d tại M : y−  3− 5 x o + 1  = 5 (x o + 1) 2 (x−x o ) 1 vectơ pháp tuyến của d là −→ u =  5 (x o + 1) 2 ;−1  Ptrình của ha i đường tiệm cận của (C) lần lượt là d 1 : x = −1, d 2 : y = 3 Ta có: ∆BAI vuông tại I nên  BAI luôn nhọn vì vậy: cos(d;d 1 ) = | −→ u . −→ i | | −→ u .|.| −→ i | = 5 (x o + 1) 2  1+ 25 (x o + 1) 4 = cos  BAI = 5 √ 26 ⇔ 5 (x o + 1) 2 = 5 ⇔|x o + 1| = 1 1 http://www.math.vn ⇔  x o = 0 x o = −2 ⇒  d : y = 5x−2 d : y = 5x+ 2 Có 2 tiếp tuyến thoả mãn Cách 3: tan 2  BAI = 1 cos 2  BAI −1 = 1 25 Mà: tan  ABI là hệ số góc k của tiếp tuyến. tan  ABI = 1 tan  BAI = |5|. Từ đây có được 2 tiếp tuyến Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải bất phương tr ình: x−3 3 √ x+ 1+ x+ 3 > 2 √ 9−x x Lời giải: ĐK: 9 > x ≥−1;x = 0 bất phương trình ⇔ ( √ x+ 1−2)( √ x+ 1+ 2) ( √ x+ 1+ 2)( √ x+ 1+ 1) > 2 √ 9−x ( √ x+ 1+ 1)( √ x+ 1−1) ⇔ √ x+ 1−2 > 2 √ 9−x √ x+ 1−1 TH1: √ x+ 1−1 > 0 ⇔x > 0 bất phương trình ⇔ x+ 3−3 √ x+ 1 > 2 √ 9−x ⇔ (x−8) +(9−3 √ x−1) + (2−2 √ 9−x) > 0 ⇔ (x−8)(1− 9 9+ 3 √ x+ 1 + 8 2+ 2 √ 9−x ) > 0 ⇔8 < x < 9 (∗) TH2: √ x+ 1−1 < 0 ⇔x < 0 bất phương trình ⇔ x+ 3−3 √ x+ 1 < 2 √ 9−x ⇔ 0 > x ≥−1 (∗∗) Vậy nghiệm của bất phương tr ình là (∗) và (∗∗) Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình: √ 3(sin2x−3sinx) + 3 = 2cos 2 x+ 3cosx−2 Lời giải: Ptrình √ 3(sin2x−3sinx) +3 = 2cos 2 +3cosx−2 ⇔ √ 3sin2x−3cosx = 2(1−sin 2 ) + 3 √ 3sinx−5 ⇔ √ 3sin2x−3cosx = −2sin 2 x+ 3 √ 3sinx−3 ⇔ cosx  2 √ 3sinx−3  = −  2sinx− √ 3  sinx− √ 3  ⇔  2sinx− √ 3  √ 3cosx+ sinx− √ 3  = 0 ⇔  2sinx− √ 3 = 0 √ 3cosx+ sinx = √ 3 ⇔     x = π 3 + k2 π x = k2 π x = 2 π 3 + k2 π , k ∈Z Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tính tích phân: I =  π 4 0 cos2x+ 2 √ 2sin  x+ π 4  2sin 2  x+ π 4  + 2 √ 2cos  x+ π 4  + 1 dx. Lời giải: Đặt x = π 4 −t ⇒ dx = − dt Lúc đó : I =  π 4 0 sin2t −2 √ 2sint 2sin 2 t +2 √ 2cost + 1 dt =  π 4 0 2sint(cost − √ 2) −2cos 2 t +2 √ 2cost + 3 dt Đặt u = cost ⇒ du = −sint dt. Lúc đó I = 2  1 √ 2 2 u− √ 2 −2u 2 + 2 √ 2u+ 3 du = −  1 √ 2 2 u− √ 2  u+ √ 2 2  u− 3 √ 2 2  du ⇔ I = − 1 4  1 √ 2 2  3 √ 2 u+ √ 2 2 + 1 u− 3 √ 2 2  du = − 1 4  3 √ 2ln √ 2+1 2 + ln 3−2 √ 2 2  Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = a √ 3, tam giác ASO cân tại S và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD cùng khoảng cách giữa SB và AC. Lời giải: 2 http://www.math.vn Gọi I trung điểm AO Vẽ SH ⊥ AD;(H ∈ AD) và vì (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có: SA = SO ⇒AH = HO ⇒∆AHO cân tại H nên H thuộc BI là đtrung trực của AO 1. Tính thể tích: Ta có: ∆AOB đều ⇒ AI = AO 2 = a 2 AH = AI cos30 o = a √ 3 ⇒ HD = AD−AH = a √ 3− a √ 3 = 2a √ 3 SH = HDtan60 o = 2a √ 3 · √ 3 = 2a V S.ABCD = 1 3 ·SH ·S ABCD = 1 3 ·2a·a·a √ 3 = 2a 3 √ 3 3 2. Tính khoảng cách: Gọi E trung điểm SA Ta có: BH = √ AB 2 + AH 2 =  a 2 + a 2 3 = 2a √ 3 1 HE 2 = 1 BH 2 + 1 SH 2 = 3 4a 2 + 1 4a 2 = 1 a 2 ⇒ HE = a Ta có: AC ⊥ BH;AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SBH) Vẽ IK ⊥ SB;(K ∈ SB) ta có ngay đoạn vuông góc chung của SB và AC là IK hình vẽ A D B C O I H S K E Ta có: IK HE = IB BH ⇒ IK = HE. IB BH = a. a √ 3 2 2a √ 3 = 3a 4 Vậy d(SB;AC) = 3a 4 Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm các số thực m để phương trình 4x 2 −2mx+ 1 = 3 √ 8x 3 + 2x có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Lời giải: Phương trình ⇔ 4x 2 + 1−3  (4x 2 + 1)2x = 2mx Đk: x ≥ 0 Với x = 0 không thỏa phương trình. Với x > 0 pt đã cho ⇔ 4x 2 + 1 2x −3  4x 2 + 1 2x = m ⇔2x+ 1 2x −3  2x+ 1 2x = m (∗) Đặt t =  2x+ 1 2x ,t ≥ √ 2. Khảo sát hàm t =  2x+ 1 2x cho ta nhận xét: - Miền giá trị của t là [ √ 2;+∞) - Ứng với mỗi t = √ 2 có 2 giá trị x - Ứng với t = √ 2 có duy nhất 1 giá trị x = 1 2 Do đó: Yêu cầu bài toán tương đương đthẳng g(t) = m cắt đồ thị hàm số f(t) = t 2 −3t, (t ∈ [ √ 2;+∞)) tại đúng 1 điểm có hoành độ khác t = √ 2 ⇔    m = f  3 2  ; t = √ 2 m > f( √ 2) = f  3− √ 2  ; t = √ 2 ⇔  m = − 9 4 m > 2−3 √ 2 Câu VIa. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1;14) và đường tròn (S) tâm I(1;−5) bán kính R = 13. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt (S) tại M, N mà khoảng cách từ M đến AI bằng một nửa khoảng cách từ N đến AI Lời giải: Nhận xét: A nằm ngoài đường tròn. Khoảng cách từ M đến AI bằng 1 nửa khoảng cách từ N đến AI ⇒ AM = 1 2 AN (vẽ hình sẽ thấy) Pt đường thẳng qua A:  x = −1+ mt y = 14+nt ⇒ M(−1+ mt 1 ;14+ n 1 ), N(−1+ nt 2 ;14+ nt 2 ) 3 http://www.math.vn −→ AM = (mt 1 , nt 1 ) −→ AN = (mt 2 , nt 2 ) −→ AM = 1 2 −→ AN ⇔ t 1 = 1 2 t 2 Phương trình giao điểm của ∆ và đương tròn: (−2+ mt) 2 + (19+ nt) 2 = 169 ⇔ (m 2 + n 2 )t 2 + (−4m+ 38n)t + 196 = 0 Áp dụng viet:            t 1 +t 2 = 4m−38n m 2 + n 2 t 1 t 2 = 196 m 2 + n 2 t 1 = 1 2 t 2 Từ đó tính ra m = −n hoặc m = 281 433 n Với m = −n. Chọn m = 1, n = −1. Ta có phương trình đường thẳng: x+ y−13 = 0 Với m = 281 433 n. Chọn m = 281, n = 433. Ta có phương trình đường thẳng : 433x−281y+ 4767 = 0 Câu VIa. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) : 2x + y −2z + 8 = 0 tại A(−1;−2;2) và khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến điểm B(−2;3;0) bằng 5. Lời giải: Do (S) tiếp xúc với (P) tại A nên tâm I của (S) thuộc đường thẳng (∆) đi qua A và vuông góc với (P). Có −→ a ∆ = −→ n P = (2;1;−2). Từ pt tham số của (∆)      x = −1+ 2t y = −2+t z = 2−2t t ∈ R ⇒ I (−1+ 2t;−2+ t;2−2t). Mà IB 2 = 25 ⇔9t 2 −14t + 5 = 0 ⇔t = 1 hay t = 5 9 Với t = 1 ⇒I(1;−1;0), R = IA = 3. Lúc đó pt mặt cầu (S):  x−1 2  +  y+ 1 2  + z 2 = 9 Với t = 5 9 ⇒ I  1 9 ;− 13 9 ; 8 9  , R = IA = 5 3 . Lúc đó pt mặt cầu (S):  x− 1 9  2 +  y+ 13 9  2 +  z− 8 9  2 = 25 9 Câu VIIa. (1 điểm) ———————————————————————————————— Chín học sinh gồm 5 nam và 4 nữ rủ nhau vào rạp chiếu phim. Tạ i đó, người soát vé yêu cầu các học sinh này phải xếp hàng sao cho không có bất kì 2 nữ nào đứng liền nhau. Hỏi xác suất của sự kiện đó là bao nhiêu? Lời giải: +) đầu tiên thì ta vẫn có 9! cách xếp vị tr í cho 9 người +) xếp cố định cho 5 thằng con trai thì vẫn có 5! cách xếp +) còn lại 4 cô nữ và có 6 vị trí nên sô cách xếp sẽ là A 4 6 còn có thể xếp tới 2 vị trí đầu tiên kẹp 4 thằng con trai vào giữa nên ta có P = 5!A 4 6 9! Câu VIb. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng Oxy cho d : x+ 2y−1 = 0;d ′ : 3x+ y+ 7 = 0 cắt nhau tại I và điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d,d ′ lần lượt tại A và B sao cho AI = √ 2AB Lời giải: Cách 1: Ta có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình  x+ 2y−1 = 0 3x+ y+ 7 = 0 ⇔  x = −3 y = 2 ⇒ I(−3;2) Lấy điểm H (1;0) ∈d(H = A); K ∈ d ′ (K = B) sao cho √ 2HK = HI. Do K ∈ d ′ ⇒ K(a : −3a−7) Có −→ HI = (−4;2), −→ HK = (a−1;−3a−7) Mà HI = √ 2HK ⇔ HI 2 = 2HK 2 ⇔ 20 = 2[(a−1) 2 + (3a+ 7) 2 ] ⇔ (a+ 2) 2 = 0 ⇔a = −2. 4 http://www.math.vn Vậy K(−2;−1). Có:  HI = √ 2HK AI = √ 2AB ⇒ IH AI = HK AB ⇒ HKAB. Vậy đường thẳng d đi qua M và có véctơ chỉ phương −→ KH = (3;1) ⇒ pt d : x−1 3 = y−2 1 Cách 2: Theo điều kiện AI = √ 2AB gợi ý cho ta nghĩ đến tam giác vuông AIB cạnh huyền AI. Thật may mắn khi góc  AIB = 45 ◦ thế nên AB ⊥ BI. Vậy ∆ đi qua M(1;2) và vuông góc với (d ′ ) và do đó ta có phương tr ình x −3y+ 5 = 0 Câu VIb. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian Oxyz cho (S) : (x−1) 2 + (y+2) 2 + (z−3) 2 = 25 vàM(2;−4;1) . Trong tất cả các đường thẳng d qua M cắt mặt cầu theo dây cung AB, viết phương tr ình tham số của đường thẳng cắt tr ục Ox và thỏa mãn độ dài AB nhỏ nhất. Lời giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1;−2;3) và bán kính R = 5 Có M nằm trong mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (d). Lúc đó IH ≤ IM ⇒ ABmin ⇔(d)⊥IM. Gọi N (t;0;0) ∈Ox là giao điểm của (d) và Ox. Có −−→ MN = (t −2;4;−1) Do IM ⊥ (d) ⇔ −→ IM. −−→ MN = 0 với −−→ MN = (t −2;4;−1), −→ IM = (1;−2;−2) ⇒t = 8 ⇒N(8;0;0) Vậy đường thẳng (d) cầ n tìm đi qua 2 điểm M, N và nhận −−→ MN = (6;4;−1) làm véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số:      x = 2+ 6t y = −4+ 4t z = 1−t , t ∈ R Câu VIIb. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm các số phức w để phương trình bậc hai (ẩn z): z 2 + wz+8i−6 = 0 có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Lời giải: Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm của phương tr ình. Lúc đó theo giả thiết bài toán có :  z 1 = 2z 2 z 2 = 2z 1 ⇔ (z 1 −2z 2 )(z 2 −2z 1 ) = 0 ⇔9z 1 z 2 = 2(z 1 + z 2 ) 2 ⇔ 9(4i−3) = w 2 Gọi w = x+ yi.x, y ∈ R. Lúc đó có x 2 −y 2 + 2xyi = −27+ 36i ⇔  x 2 −y 2 = −27 xy = 18 ⇔  x = 3 y = 6 hay  x = −3 y = −6 Vậy có 2 số phức thõa yêu cầu bài toán: w = 3+6i; w = −3−6i 5 . http://www .math. vn DIỄN ĐÀN MATH. VN http://www .math. vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 12 Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = 3x−2 x+. thị (C) của hàm số đã cho. Lời giải: Hàm số y = 3x−2 x+ 1 Bảng biến thiên Đồ thị −8 −6 −4 −2 2 4 6 −4 −2 2 4 6 8 10 0 Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Gọi I là giao của 2 đường. 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos  BAI = 5 √ 26 Lời giải: Cách 1: Xét