WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net ? LUYỆN THI VÀO LỚP 10 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 1 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A. biến đổi đẳng thức I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab +b 2 ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + + ab n-2 + b n-1 ), mọi n là số tự nhiên a n + b n = (a + b)(a n-1 - a n-2 b + - ab n-2 + b n-1 ), mọi n lẻ II. Bài tập Bài 1 So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005 2 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005 2 - 1 < 2005 2 =B. Vậy A < B. Bài 2 So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) và B = 2 32 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) = 2 32 -1 < 2 32 = B. Vậy A < B. Bài 3 So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) và B =3 32 -1 Giải Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) = 3 32 - 1 = B. Vậy A < B. Bài 4 Chứng minh rằng: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 , với mọi m. Giải VT: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = m 4 + m 2 + 1 + 2m 3 - 2m 2 - 2m + 4m 2 + 4m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 4m + 1. VP: (m 2 + m + 1) 2 = m 4 + m 2 + 1 +2m 3 + 2m 2 + 2m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 2m +1. Bài 5 Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 -3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab -ac -bc). Giải Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) thay vào VT VT = (a + b) 3 - 3ab(a + b) + c 3 -3abc = [(a + b) 3 + c 3 ] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) 2 + c 2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a 2 + b 2 + c 2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) = VP. Bài 6 Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a 5 + b 5 = (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) Giải (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) = a 5 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + b 5 - (a - b)= a 5 + b 5 +a 2 b 2 (a + b) - (a - b) = a 5 + b 5 Bài 7 Cho a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 2 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Hỡng dẫn Từ: a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b) 2 +(a - c) 2 + (b - c) 2 = 0 a = b = c.(đpcm) Bài 8 Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 1 (1 a )(1 b )(1 c ) Hỡng dẫn Ta có: 1 + a 2 = ab + bc + ca +a 2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). Tơng tự: 1 + b 2 = (b + a)(b + c). 1 + c 2 = (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm). Bài 9 Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a 2 + 3b 2 =10ab. Chứng minh rằng: = + a b 1 a b 2 . Giải Đặt P = ba ba + thì P > 0 nên P = 2 P . Ta có P 2 = + + = = = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 . Vậy P = 1/2. Bài 10 Cho a + b + c = 1 và + + = 1 1 1 0 a b c . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 =1. Giải Từ: a + b + c = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1- 2(ab + ac + bc) . Mặt khác: + + + + = = + + = 1 1 1 ab ac bc 0 0 ab ac bc 0 a b c abc . Vậy: a 2 + b 2 + c 2 =1. Bài 11 Cho + + = 1 1 1 2 a b c (1) và a + b + c = abc. Chứng minh rằng: + + = 2 2 2 1 1 1 2 a b c Giải (1) + + + + + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2( ) 4 2( ) 4 a b c ab ac bc a b c abc . Thay a + b + c = abc vào ta có + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c . Bài 12 Cho + + = x y z 1 a b c (1) , và + + = a b c 1 x y z (2) . CMR: = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z A 1 a b c Giải + + + + + + + = = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz 2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 3 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net (2) : + + = cxy bxz ayz 0 xyz . Vậy A = 1. Bài 13 Cho + + = 1 1 1 0 a b c . (1) Chứng minh rằng: + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Giải . (1) = + = + + + = + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a Vậy + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Bài 14 Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 =14. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 98. Giải Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 = b 2 + c 2 +2bc a 2 - b 2 - c 2 = 2bc (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 - 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 = 4b 2 c 2 a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 - 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 14 2 =196. Vậy a 4 + b 4 + c 4 = 98. Bài 15 Cho xyz = 1, Chứng minh rằng: + + = + + + + + + 1 1 1 1. 1 x xy 1 y yz 1 z zx Giải Ta có: + + = + + = + + + + + + + + + + + + 1 1 1 z x 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx = + + + + = + = + + + + + + + + + + + + + + + z x 1 z 1 x z 1 xz z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z + + + = + = = + + + + + + z 1 xz z 1 xz 1. 1 x xz xz 1 z 1 x xz B. Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 Phân tích tam thức bậc hai x 2 - 6x + 8 thành nhân tử. Giải Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng. x 2 - 6x + 8 =(x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2). Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4). Bài 2 Phân tích đa thức x 3 + 3x 2 - 4 thành nhân tử. Giải WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 4 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử x - 1. C 1 : x 3 + 3x 2 - 4 =x 3 -x 2 +4x 2 - 4=x 2 (x - 1)+4(x 2 -1)=(x-1)(x 2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2) 2 . C 2 : x 3 +3x 2 - 4 =x 3 -1+3x 2 - 3 = (x-1)(x 2 +x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x 2 + 4x + 4). Bài 3 Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử. Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x 2 +8x+7)(x 2 +8x +15) +15 Đặt: t = x 2 +8x+7 x 2 +8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t 2 + 8t +15 =(t + 4) 2 - 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3). Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 6x + 2x + 12)(x 2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x 2 + 8x + 10). BTVN. Bài 1 Cho x > y > 0 và 2x 2 + 2y 2 = 5xy, Tính: x y P x y + = . (tơng tự bài 9) Bài 2 Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. (tơng tự bài 13) Bài 3 Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 . (tơng tự bài 14) Bài 4 Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0. a b c b c a a c b Từ: a + b + c = 0 a = - (b + c) a 2 = (b + c) 2 a 2 =b 2 + c 2 + 2bc b 2 + c 2 - a 2 = - 2bc Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ 4x 2 - 3x - 1 b/ x 3 + 6x 2 + 11x +6 c/ (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 5 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A. Bất đẳng thức I. Một số tính chất của bất đẳng thức 1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số) 3/ a > b > > < < ac bc nếu c 0 ac bc nếu c 0 (t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng) 4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều) 5/ > > > > > a b 0 ac bd c d 0 (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều) 6/ a > b > 0 > > n n n n a b a b (n nguyên dơng) 7/ + > + + + a a a,b, c R a b a b c 8/ + + > > > + a c a a c c a,b,c,d R b d b b d d 9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có: */ a > 0, b > 0, c > 0. */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ Nếu a > b > c thì A > B > C II. Bài tập Bài 1 Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a( b + c + d + e) (1) . Giải (1) 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a - 2b) 2 + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 + (a - 2e) 2 0. (đpcm) Bài 2 Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a 2 + b 2 1/2, b/ a 3 + b 3 1/4, c/ a 4 + b 4 1/8 Giải a/ Từ (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1. Vậy a 2 + b 2 1/2. b/ Ta có a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 2 - ab + b 2 2(a 3 + b 3 ) = 2a 2 - 2ab + 2b 2 = (a - b) 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 mà a 2 + b 2 1/2 2(a 3 + b 3 ) 1/2 a 3 + b 3 1/4. (đpcm) c/ Từ (a 2 - b 2 ) 2 0 a 4 + b 4 2a 2 b 2 2(a 4 + b 4 ) a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 a 4 + b 4 1 2 (a 2 + b 2 ) 2 (1) . WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 6 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1 a 2 + b 2 1/2 (a 2 + b 2 ) 2 1/4 thay vào (1) ta có a 4 + b 4 1 8 . Bài 3 Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng: a/ + + 1 1 (1 )(1 ) 9 a b ; b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 Giải a/ + + + + + + + + 1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2 (1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9 a b a b ab ab 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm). b/ + + + 1 1 4 a 1 b 1 3 3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab đúng (đpcm) Bài 4 Cho a, b, c R + . Chứng minh rằng: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Giải > + + + > + + + > + + + a a a b a b c b b b c a b c c c c a a b c + + > + + + a b c 1 a b b c c a . Mặt khác: + < < + + + + + < < + + + + + < < + + + + a c a a c a b c a b a b c b a b b a b c a b c a b c c b c b c c a b c a a b c + + < + + + a b c 2 a b b c c a . Vậy: < + + < + + + a b c 1 2 a b b c c a Bài 5 Cho a, b, c, d R + . CMR: < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Giải WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 7 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + a a a a b c d a b c a c c c c 1 a b c d c d a c a b b b 2 a b c d b c d b d d d d a b c d d a b d b < + + + < + + + + + + + + a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Bài 6 Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Giải */ CM: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 , nhân cả hai vế với 2 ta có: 2ab + 2bc + 2ca 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 0, đúng (đpcm) */ CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c a 2 < ab + ac b < a + c b 2 < ab + bc c < a + b c 2 < ac + bc a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Vậy: ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Bài 7 Chứng minh rằng: + 4 2 ab ab a b với a > 0, b > 0. Giải ( ) + + + 2 4 4 4 4 4 2 1 2 ab a b 0 a b 2 ab ab a b ab a b . III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân) */ Với 2 số thực a, b không âm ta có: + a b ab 2 , dấu bằng xảy ra a = b. */ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có: + + 3 a b c abc 3 , dấu bằng xảy ra a = b = c. */ Với n số thực a 1 , a 2 , a n không âm ta có: + + + 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n , dấu bằng xảy ra a 1 = a 2 = = a n . IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki */ với 4 số thực a, b, c, d ta có: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ), dấu bằng xảy ra = a c b d . */ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có: WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 8 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net (ab + cd + ef) 2 (a 2 + c 2 + e 2 )(b 2 + d 2 + f 2 ), dấu bằng xảy ra = = a c e b d f . */ với n cặp số thực a 1 , a 2 , a n , b 1 , b 2 , b n ta có: (a 1 b 1 +a 2 b 2 + + a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + + a n n )(b 1 2 + b 2 2 + + b n n ). Dấu bằng xảy ra = = = 1 2 n 1 2 n a a a b b b . Bài 8 Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + 1 1 4 x y x y . c/ + + + + 1 1 1 9 x y z x y z . Giải a/ + + + x y 2 xy y z 2 yz z x 2 xz (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz. b/ + + + + 1 1 4 1 1 (x y)( ) 4 x y x y x y mà + + x y 2 xy 1 1 2 x y xy + + 1 1 (x y)( ) 4 x y . c/ + + + + + + + + 1 1 1 9 1 1 1 (x y z)( ) 9 x y z x y z x y z . (làm tơng tự) B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất của: P = + + 2 2 2x 4x 5 x 2x 2 Giải Ta có: P = + + + = = + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1 2 2 x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 P lớn nhất + + 2 1 2 (x 1) 1 lớn nhất, muốn vậy (x - 1) 2 + 1 phải nhỏ nhất mà (x - 1) 2 + 1 1 (x - 1) 2 + 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3 Vậy P max = 3 x = 1. Bài 2 Cho x 2 + y 2 = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y Giải Từ (x - y) 2 0 x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 9 WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net VËy 2 ≥ (x + y) 2 ⇔ − ≤ + ≤ 2 x y 2 ⇒ P max = 2 ⇔ x = y = 2 2 ; P min = - 2 ⇔ x = y = - 2 2 Bµi 3 Cho x, y > 0 vµ x + y = 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = − − 2 2 1 1 (1 )(1 ) x y Gi¶i P = − − − + − + + + − − = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1) (1 )(1 ) x y x y x y x y = + + + + + + + = = = + 2 2 xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2 1 x y xy xy xy . (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x) ⇒ ta cã P nhá nhÊt ⇔ xy 2 nhá nhÊt ⇔ xy lín nhÊt. Mµ xy = x(1 - x) = - x 2 + x = -(x - 1/2) 2 + 1/4 ≤ 1/4 ⇒ xy lín nhÊt = 1/4 khi x = 1/2 ⇒ y = 1/2 VËy P min = + = 2 1 9 1 1 . 2 2 khi x = y = 1/2. Bµi 4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = + + 2 2 4 (x 1) x 1 Gi¶i P = + + + = = + + + + 2 2 4 2 2 4 4 4 (x 1) x 2x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 Do (x 2 - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 4 + 1 ≥ 2x 2 ⇒ ≤ + 2 4 2x 1 x 1 ⇒ P ≤ 2 ⇒ P max = 2 ⇔ x = ± 1. Do 2x 2 ≥ 0, x 4 + 1 ≥ 1 ⇒ ≥ + 2 4 2x 0 x 1 ⇒ P ≥ 1 ⇒ P min = 1 ⇔ = + 2 4 2x 0 x 1 ⇔ x = 0. Bµi 5 Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P = + + (x a)(x b) x , víi x > 0. Gi¶i Ta cã: P = + + + + + = = = + + ⇒ ≥ + + 2 (x a)(x b) x ax bx ab ab a b x P a b 2 ab x x x . VËy P min = + + a b 2 ab , dÊu b»n x¶y ra ⇔ = ⇔ = ab x x ab x . Bµi 6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = + + + − + 2 2 1 4x 4x 4x 12x 9 Gi¶i WWW.ToanTr ungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 10 [...]... x + x + 1 Bài 6 Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên = a/ A = b/ B = 4 + 5 3 + 5 48 10 7 + 4 3 ( 3 1) 6 + 2 2 3 2 + 12 + 18 128 c/ C = 2 3 + 5 13 + 48 6 2 Giải a/ Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 10 7 + 4 3 = 10( 2 + 3) = 20 10 3 48 10 7 + 4 3 = 48 20 10 3 = 28 10 3 = (5 3)2 5 48 10 7 + 4 3 = 5(5 3) = 25 5 3 Vậy A = 4 +5 = 3 b/ Ta có: 18 128 = 18 8 2 = (4 2 )2 2 + 12 +... giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x2 b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x2 - 4x + 11 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = x - 5 + x- 10 Hỡng dẫn Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5 áp dụng a + b = a + b ab 0 Vậy Pmin = 5 (x - 5) (10 - x) 0 5 x 10 Bài 2 Cho x, y R, Chứng minh rằng: x2 + y2 + 1 xy + x + y Bài 3 Cho a, b, c, d R+ Chững minh rằng : 2 < a +b b +c c +d d... mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 m = 1 Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0 x = 2 x = -2 c/ x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10 4m2 -8m + 4 + 2m + 6 10 4m2 - 6m 0 m(2m - 3) 0 m 3/2 m 0 d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 = (2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4 Bài... có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34 Giải a/ Khi m = 2 PT x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x1 = 1, x2 = 3 b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3 c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m 3 Khi đó: x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 d/ Để phơng trình có 2 nghiệm... ( 5 + 3)2 = 5 3 ( 5 + 3) = 2 3 c/ C = 4+ 7 4 7 = ( 7 + 1)2 ( 7 1)2 = = 2 2 d/ Do D > 0 nên D = 8+2 7 82 7 7 + 2 7 +1 7 2 7 +1 = 2 2 2 2 7 +1 2 7 1 2 = 2 D2 2 D = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 = 8 + 2 (4 + 10 + 2 5 )(4 10 + 2 5 ) ữ 2 = 8 + 2 6 2 5 = 8 + 2 5 2 5 + 1 = 8 + 2 ( 5 1)2 = 8 + 2 5 2 = 6 + 2 5 Vậy: D = 6 + 2 5 = ( 5 + 1)2 = 5 + 1 e/ Ta có: 49 + 20 6 = 25 + 20 6 + 24 = (5 + 2... WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 7 Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình I/ Các bớc để giải một bài toán bằng cách lập phơng trình, Hệ phơng trình B1: Lập phơng trình - Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn - Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn - Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phơng trình hoặc hệ phơng trình B2: Giải phơng trình hoặc giải hệ... x + 1 x b/ (5 2 6)x + (5 + 2 6)x = 10 Giải a/ 3x 2 + 2x = 2 x 2 + x + 1 x ĐK: x2 + x 0 x 0 x -1 PT 3x 2 + 3x 1 = 2 x 2 + x 3(x 2 + x) 1 = 2 x 2 + x Đặt: 2 x 2 + x = t (t 0) ta có: 3t - 2t - 1 = 0 t = 1 t = -1/3 (loại) t=1 x2 + x = 1 x2 + x 1 = 0 x = b/ Do: (5 2 6)(5 + 2 6) = 1 đặt: 1 5 2 (5 2 6)x = t (t > 0) PT 1 t + = 10 t t = 5 2 6 t 2 10t + 1 = 0 t = 5 + 2 6 Với t = 5... trình hoặc giải hệ phơng trình B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời Chú ý: - Quảng đờng = vận tốc x thời gian (toán chuyển động) - Sản lợng = năng suất x thời gian (toán năng suất) - Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp đôi khi ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng trình đơn giản hơn II/ Bài tập */ Toán chuyển động Bài 1 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B... x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9 Bài 2 Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m Trang 22 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 ,... a + a +1 a 1 2 1 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Rút gọn biểu thức chứa căn: a/ A = 15 6 6 + 33 12 6 b/ B = 8 2 15 8 + 2 15 c/ C = 4+ 7 4 7 d/ D = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 e/ E = f/ F = Giải a/ A = 49 + 20 6 + 4 49 20 6 4 1 1+ 5 + 1 5+ 9 + 1 9 + 13 + + 1 2001 + 2005 15 6 6 + 33 12 6 = 9 6 6 + 6 + 9 12 6 + 24 = = (3 + 6 )2 + (3 2 6 )2 = 3 + 6 + 2 6