Câu 1: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. a) Chứng minh tam giác SBC vuông. b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH). c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Câ u Ý Nội dung Điểm 4 0,25 a) SA ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ SA, BC ⊥ AB (gt)⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB 0,50 Vậy tam giác SBC vuông tại B 0,25 b) SA ⊥ (ABC) ⇒ BH ⊥ SA, mặt khác BH ⊥ AC (gt) nên BH ⊥ (SAC) 0,50 BH ⊂ (SBH) ⇒ (SBH) ⊥ (SAC) 0,50 c) Từ câu b) ta có BH ⊥ (SAC) ⇒ d B SAC BH( ,( )) = BH AB BC 2 2 2 1 1 1 = + 0,50 2 2 2 2 2 2 10 5 5 AB BC BH BH AB BC = = ⇒ = + 0,50 Câu 2: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC), SA = a 3 . a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SAM). b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Câ u Ý Nội dung Điểm b) x x x x y y x x 2 2 2 2 2 2 5 ' 2 1 (2 1) + − + + = ⇒ = + + 0,50 4 0,25 a) Tam giác ABC đều, ,M BC MB MC AM BC∈ = ⇒ ⊥ (1) 0,25 1 ( ) . .SAC SAB c g c SBC∆ = ∆ ⇒ ∆ cân tại S SM BC⇒ ⊥ (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAM) 0,25 b) (SBC) ∩ (ABC) = BC, ( ) ,SM BC cmt AM BC⊥ ⊥ 0,50 · SBC ABC SMA(( ),( ))⇒ = 0,25 AM = ( ) · 3 , 3 tan 2 2 a SA SA a gt SMA AM = ⇒ = = 0,25 c) Vì BC ⊥ (SAM) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM) 0,25 SBC SAM SM AH SAM AH SM AH SBC( ) ( ) , ( ), ( )∩ = ⊂ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 d A SBC AH( ,( )) ,⇒ = 0,25 a a SA AM a AH AH AH SA AM SA AM a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 . 1 1 1 . 3 4 5 3 3 4 = + ⇒ = ⇒ = = + + 0,25 Câu 3: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 . Gọi I là trung điểm của SO. a) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD). b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD). c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD. Câu Ý Nội dung Điểm 4 0,25 a) Gọi M, N lân lượt là trung điểm của CD và CB. S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên có: OM ⊥ CD, SM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SOM) Vẽ OK ⊥ SM ⇒ OK ⊥ CD ⇒ OK ⊥(SCD) (*) 0,25 I là trung điểm SO, H là trung điểm SK ⇒ IH // OK ⇒ IH ⊥ (SCD) (**) Từ (*) và (**) ta suy ra IH = 2 OK 0,25 a a OK d I SCD IH OK OM SO a 2 2 2 2 1 1 1 4 3 3 ( ,( )) 2 4 3 = + = ⇒ = ⇒ = = 0,25 b) SMC SNC c c c MQ SC NQ SC( . . )∆ = ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 · SCD SCB SC SCD SCB MQN( ) ( ) (( ),( ))∩ = ⇒ = 0,25 2 2 2 2 2 2 3 4SM OM SO a a a= + = + = SMC ∆ : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 5 4 4 a MQ MQ MS MC a a a = + = + = ⇒ = 0,25 2 · MQ NQ MN MQN MQ NQ 2 2 2 cos . + − ⇒ = = · 0 1 120 2 MQN− ⇒ = 0,25 c) AC ⊥ BD, AC ⊥SO ⊂ (SBD) (do SO⊥(ABCD)) ⇒AC⊥(SBD). Trong ∆SOD hạ OP ⊥ SD thì cũng có OP⊥ AC 0,50 a d AC BD OP OP SO OD a a a 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 30 ( , ) 5 3 2 6 = + = + = ⇒ = = 0,50 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA a 2= . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD. a) Chứng minh rằng MN // BD và SC ⊥ (AMN). b) Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. c) Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD). Câu Ý Nội dung Điểm 4 a) SAD SAB ∆ ∆ = , SN SM AN SD AM SB MN BD SD SB ,⊥ ⊥ ⇒ = ⇒ P 0,25 ( ) ( ) SC AN AC AS AN AD AB AS AN AD AN AB AN AS AN. . . . . .= − = + − = + − uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuur uuur uuur uur uuur ( ) AD AS AN SD AN SC AN. . 0= − = = ⇒ ⊥ uuur uur uuur uuur uuur 0,25 ( ) ( ) SC AM AC AS AM AD AB AS AM AD AM AB AM AS AM. . . . . .= − = + − = + − uur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuuruuuur uuur uuur uur uuur ( ) AB AS AM SD AM SB AM. . 0= − = = ⇒ ⊥ uuur uur uuur uuur uuur 0,25 Vậy SC AMN( )⊥ 0,25 b) SA ABCD SA BD AC BD BD SAC BD AK SAC( ) , ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊂ 0,50 AK AMN( )⊂ ,MN // BD MN AK⇒ ⊥ 0,50 c) SA ABCD( )⊥ ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ ( ) · SC ABCD SCA,( ) = 0,50 · ( ) SA a SCA SC ABCD AC a 0 2 tan 1 ,( ) 45 2 = = = ⇒ = 0,50 Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD). b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC). c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD). CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 3 4 a) Vì SA ABCD SA BC BC AB BC SAB( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 SA ABCD SA CD CD AD CD SAD( ) , ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 b) SA ABCD SA a( ),⊥ = , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒ FE là đường trung bình tam giác SBD FE BD⇒ P 0,25 BD AC FE AC SA ABCD BD SA FE SA, ( )⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 FE SAC FE AEF SAC AEF( ), ( ) ( ) ( )⊥ ⊂ ⇒ ⊥ 0,25 c) SA ABCD( )⊥ nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) · SCA ϕ ⇒ = 0,50 SA a AC a 0 1 tan 45 2 2 ϕ ϕ ⇒ = = = ⇒ = 0,50 Câu 6: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). NỘI DUNG ĐIỂM Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 0,25 a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. ( ) SA AB SA ABCD SA AD  ⊥ ⊥ ⇒ ⇒  ⊥  các tam giác SAB, SAD vuông tại A 0,25 BC AB BC SB SBC BC SA  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại B 0,25 4 CD AD CD SD SDC CD SA  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại D 0,25 b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). SCD ABCD CD( ) ( )∩ = AD ABCD AD CD( ),⊂ ⊥ , SD SCD SD CD( ),⊂ ⊥ 0,50 ( ) · · AD a SCD ABCD SDA SDA SD a 3 21 ( ),( ) ; cos 7 7 = = = = 0,50 c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). AB SA AB SAD MN AB MN SAD AB AD ( ), ( )  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  P 0,25 MND SAD MND SAD DM SH DM SH MND d S MND SH ( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ,( )) ⇒ ⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0,25 · · 2 2 2 2 2 2 0 3 7 3 4 tan 3 2 60 SA AD a SA SD AD a a a MA a SMH AM a AMH = − = − = ⇒ = = ⇒ = = = ⇒ = 0,25 · · 0 3 : 90 .sin 2 a SHM SHM SH SM SMH∆ = ⇒ = = 0,25 Câu 7: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) . 3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . Câu Ý Nội dung Điểm 4 0,25 a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. SA AB SA ABCD SA AD ( )  ⊥ ⊥ ⇒ ⇒  ⊥  các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A 0,25 CD AD CD SD SDC CD SA  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại D 0,25 BC AB BC SB SBC BC SA  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆  ⊥  vuông tại B 0,25 b) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) . BD AC BD SAC BD SA ( )  ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  0,50 BD SBD BD SAC SAC SBD( ), ( ) ( ) ( )⊂ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . SA ABCD( )⊥ ⇒ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 0,25 ⇒ · · · SC ABCD SC AC SCA( ,( )) ( , ) ϕ = = = 0,25 5 SAC∆ vuông tại A nên , AC = ( ) · 0 2, 2 45a SA a gt SCA ϕ = ⇒ = = 0,50 Câu 8: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC). b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC). c) Cho SA = a 6 3 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 4 0,25 a) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SBC). BC AB BC SA,⊥ ⊥ BC SAB( )⇒ ⊥ 0,50 BC SBC SBC SAB( ) ( ) ( )⊂ ⇒ ⊥ 0,25 b) Chứng minh: BD ⊥ (SAC) BD AC BD SA,⊥ ⊥ 0,50 BD SAC( )⇒ ⊥ 0,50 c) Cho SA = a 6 3 . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) Vì SA ABCD( )⊥ ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) 0,25 ( ) · ( ) · · SC ABCD SC AC SCA,( ) ,= = 0,25 · ( ) · · SA a SCA SC ABCD SCA AC a 0 6 1 tan ,( ) 30 3 2 3 = = = ⇒ = = 0,50 Câu 9: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh tam giác SAD vuông. b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC). Câu Ý Nội dung Điểm 6 4 0,25 a) Chứng minh tam giác SAD vuông. SAB ABCD SAB ABCD AB SI AB SI ABCD( ) ( ),( ) ( ) , ( )⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 AD AB AD SI  ⊥  ⊥  AD SAB AD SA SAD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ vuông tại A 0,5 b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. *) BC AD BC SAD( )⇒P P *) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒ MN BQ AD MN BQ AD , 1 2    = =   P ⇒ MNQB là hình bình hành NQ MB⇒ P 0,25 AD SAB AD MB( )⊥ ⇒ ⊥ mà BC//AD, NQ//MB nên BC NQ⊥ 0,25 AD MB⊥ , MB SA MB SAD MB SD NQ SD( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD 0,25 Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB = 3 2 a a d BC SD NQ 3 ( , ) 2 ⇒ = = 0,25 c) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). Tính khoảng cách từ I đến (SFC). Tam giác SAB đều cạnh a nên 3 2 a SI = ¶ µ AID DFC cgc D C 1 1 ( )∆ = ∆ ⇒ = , µ µ ¶ µ 0 0 1 1 1 1 90 90C F D F ID CF+ = ⇒ + = ⇒ ⊥ mặt khác CF SI CF SIK SID SFC( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 Hạ IH SK d I SFC IH( ,( ))⊥ ⇒ = AD FD a a a a KFD AID KD IK ID KD ID . 5 5 5 3 5 , 5 2 5 10 ∆ ∆ ⇒ = = = − = − = : IK a IH SI IK a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 100 1 1 1 4 20 32 45 3 9 9 ⇒ = ⇒ = + = + = 0,50 7 a a IH IH 2 2 9 3 32 32 32 ⇒ = ⇒ = Câu 10: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = BC = a, AC = a 2 . a) Chứng minh rằng: BC ⊥ AB′. b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. Câu Ý Nội dung Điểm 4 0,25 a) Tam giác ABC có 2 2 2 2 2 2 ( 2)AB BC a a AC+ = = = ⇒ ∆ABC vuông tại B 0,25 , '( ) (AA' ' ) 'BC AB BC BB gt BC B B BC AB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). *) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC , '( ' ( )) (AA' ' )BM AC BM CC CC ABC BM C C⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 ( ' ) ( ' ) ( ' ')BM BC M BC M ACC A⊂ ⇒ ⊥ 0,50 c) Tính khoảng cách giữa BB′ và AC′. BB′ // (AA′C′C) ⇒ d BB AC d BB AA C C d B AA C C( , ) ( ,( )) ( ,( )) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = 0,50 AC a BM AA C C d B AA C C BM 2 ( ) ( ,( )) 2 2 ′ ′ ′ ′ ⊥ ⇒ = = = 0,50 Câu 11: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈ AA′). a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). Câu Ý Nội dung Điểm 4 0,25 a) Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK). ′ ′ ′ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥BC AC BC AA BC C C BC CK, (AA ) 0,25 8 ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥AB A B KH A B KH AB CH AB AB CHK, ' ', ' ' ( )P 0,50 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). Có ' ( ), ' ( ' ' ) ( ' ' ) ( )AB CHK AB AA B B AA B B CHK⊥ ⊂ ⇒ ⊥ 0,50 0 (( ' ' ),( )) 90AA B B CHK = 0,50 c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). Ta đ_ có ' ( )( )AB CHK cmt⊥ tại H nên ( ,( ))d A CHK AH= 0,25 ( ), ' ( : ) ( ' ' ) 'AC BC gt CC AC gt lt AC CC B B AC CB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 = + = + = = + 2 2 2 2 2 2 , ' 2 2 2AB AC BC a b AB AB a b 0,25 Trong ∆ACB’ vuông tại C: ′ ′ ⊥ ⇒ = 2 .CH AB AC AH AB 2 2 2 2 2 ' 2 2( ) AC a a AH AB AB a b ⇒ = = = + 0,25 9 . KH A B KH AB CH AB AB CHK, ' ', ' ' ( )P 0,50 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK). Có ' ( ), ' ( ' ' ) ( ' ' ) ( )AB CHK AB AA B. giác ABC cân tại B, MA = MC , '( ' ( )) (AA' ' )BM AC BM CC CC ABC BM C C⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 ( ' ) ( ' ) ( ' ')BM BC M BC M ACC A⊂ ⇒ ⊥ 0,50 c) Tính khoảng cách. 0,25 , '( ) (AA' ' ) 'BC AB BC BB gt BC B B BC AB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC′M) ⊥ (ACC′A′). *) Tam giác ABC cân tại B, MA = MC , '( '