Các chú ý và lời giảI cho một số bài toán cơ bản A. toán rút gọn biểu thức I. Ví dụ : Rút gọn biểu thức 2 x x 3x 3 2 x 4 P : 1 x 9 x 3 x 3 x 3 = + ữ ữ ữ ữ + ( với x 0,x 1,x 9 ) Giải : Với x 0,x 1,x 9 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x 3 x x 3 3x 3 2 x 4 x 3 P : x 3 x 3 x 3 + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x 6 x x 3 x 3x 3 2 x 4 x 3 3 x 3 x 1 : : x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 x 1 x 3 3 x 3 x 3 x 3 x 1 + + + + + = = + + = = + + II. Chú ý : Khi rút gọn các biểu thức là các phép tính giữa các phân thức ta thờng tìm cách đa biểu thức thành một phân thức sau đó phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ớc những thừa số chung của cả tử và mẫu. Trờng hợp đề bài không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm điều kiện cho biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng và các thừa số đã đợc giản ớc để tìm điều kiện. Ví dụ với bài này : + Biểu thức cuối cùng cần x 0 + Các thừa số đợc giản ớc là : x 1và x 3 cần x 1và x 9 Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa là x 0,x 1,x 9 B. phơng trình bậc hai và định lí viét I. Ví dụ Đề bài 1: Cho phơng trình x 2 (2m-1)x + m 1 = 0 a. Giải phơng trình với 5 m 3 = b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1 j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2 1 2 x x 1+ = k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x 2 của phơng trình l. Tìm GTNN của 1 2 x x m. Tìm GTLN của ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 x 1 x x 1 4x + n. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m 1 2 2 2 1 2 2 1 x 1 x 1 x x x x = +B Giải : a. Giải phơng trình với 5 m 3 = 1 Với 5 m 3 = ta có phơng trình : 2 2 7 2 x x 0 3x 7x 2 0 3 3 + = + = ( ) 2 7 4.3.2 49 24 25 0; 5 = = = > = phơng trình có hai nghiệm phân biệt : 1 2 7 5 1 7 5 x ; x 2 6 3 6 + = = = = Vậy với 5 m 3 = phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là 1 và 2 3 b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ( ) ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1< < < < Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi { ( ) 2 2m 2 1 0( luôn dúng ) 0 m 1 0 m 1 ac 0 m 1 0 + > > > > Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu. e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi ( ) { 2 0 2m 2 1 0 m 1 m 1 1 ac 0 m 1 0 m 1 2m 1 m b 2m 1 0 2 0 a + > > > > > > > > > Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng. f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi ( ) { ( ) 2 0 2m 2 1 0 m 1 m 1 1 ac 0 m 1 0 vô nghiệm 2m 1 m b 2m 1 0 2 0 a + > > > > < < < < Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm. g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau : Phơng trình có một nghiệm dơng và một nghiệm bằng 0 Thay x = 0 vào phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vào phơng trình ta đợc x 2 - x = 0 ( ) x x 1 0 x 0 hoặcx 1 = = = ( thỏa mãn ) Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện là : 2 ( ) { 2 0 2m 2 1 0 m 1 m 1 1 ac 0 m 1 0 m 1 2m 1 m b 2m 1 0 2 0 a + > > > > > > > > > Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện là : ( ) ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1< < < < Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có x 1 .x 2 = c m 1 a = Phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x 1 .x 2 = 1 m 1 1 m 2 = = Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m Theo định lí Viet và đề bài ta có : 1 2 1 2 1 2 x x 2m 1 (1) x .x m 1 (2) 2x 5x 1 (3) + = = + = Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc : 5x 1 + 5x 2 2 x 1 5x 2 = 10m 5 + 1 1 1 10m 4 3x 10m 4 x 3 = = (4) Thay (4) vào (1) ta có : 2 2 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m x 2m 1 x 2m 1 3 3 3 3 + + = = = = (5) Thay (4) và (5) vào (2) ta đợc phơng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 10m 4 1 4m . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16m 9m 9 3 3 40m 17m 5 0 17 4.40. 5 1089 0; 33 17 33 1 17 33 5 m ; m 80 5 80 8 = = + = = = = > = + = = = = Vậy với 1 5 m hoặc m 5 8 = = thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài. j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2 1 2 x x 1+ = Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : { 1 2 1 2 x x 2m 1 (1) x .x m 1 (2) + = = Theo đề bài : ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 x x 2x x 2x x 1 x x 2x x 1 (3)+ = + + = + = Thay (1) và (2) vào (3) ta có (2m 1) 2 2(m 1) = 1 2 2 2 2 (2m - 1) - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 6m 2 0 2m 3m 1 0 + + = + = + = 3 Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là m 1 = 1 ; m 2 = c 1 a 2 = Vậy với 1 m 1 hoặc m 2 = = thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài. k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x 2 của phơng trình Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : { 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 x x 2m 1 m 2 x .x m 1 m x .x 1 + + + = = = = + 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 x .x 1 x x 2x .x 1 2 + + = + + = Vậy hệ thức cần tìm là 1 2 1 2 x x 2x .x 1+ = l. Tìm GTNN của 1 2 x x Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : { 1 2 1 2 x x 2m 1 (1) x .x m 1 (2) + = = Đặt A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x x 0 A x x x x x 2x x x x x 4x x = = = + = + Thay (1) và (2) vào ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 A 2m 1 4 m 1 4m 4m 1 4m 4 4m 8m 4 1 2m 2 1 1= = + + = + + = + với mọi m (3) Mà A 0 nê n từ (3) A 1với mọi m Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2) 2 = 0 m 1 = Vậy GTNN của 1 2 A x x= là 1 xảy ra khi m = 1 m. Tìm GTLN của ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 x 1 x x 1 4x + Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : { 1 2 1 2 x x 2m 1 (1) x .x m 1 (2) + = = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A x 1 x x 1 4x x x 5x x x x 2x x 5 x x= + = + = + (3) Thay (1) và (2) vào (3) ta đợc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2 2 m 4m 4 2 m 2 = = + + + = + = + = Vì ( ) ( ) 2 2 m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m = Dấu bằng xảy ra khi (m 2) 2 = 0 hay m = 2 Vậy GTLN của ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 A x 1 x x 1 4x= + là 2 khi m = 2 n. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m : 1 2 2 2 1 2 2 1 x 1 x 1 x x x x = +B Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 4 ( ) ( ) 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 = = + + ( ) 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1= + + = + Vì ( ) ( ) 2 2 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m = + > nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : { 1 2 1 2 x x 2m 1 (1) x .x m 1 (2) + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x 1 .x x 1 .x x 1 x 1 Ta có: x x x x x x x x x x x x 2x x 2m 1 2m 1 2 m 1 x x m 1 4 m 1 4m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4 4 m 1 m 1 m 1 + + + = + = = + + = = + + + + = = = = B Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m. Đề bài 2. Cho phơng trình (m+1)x 2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0 a. Giải phơng trình với m = -5 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 3x 2 = 4 h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1 i. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 .Tính theo m giá trị của 2 2 1 2 A x x= + j. Tìm m để A = 6 k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm là 1 2 . Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm là 1 2 2 1 6x 1 6x 1 và 3x 3x + + Giải : a. Giải phơng trình với m = -5 Thay m = -5 vào phơng trình ta có : -4x 2 + 6x = 0 ( ) x 0 2x 0 3 2x 2x 3 0 2x 3 0 x 2 = = = = = Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm là 0 và 3 2 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . Phơng trình có một nghiệm x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có nghiệm khi 1 2m 1 0 m 2 Tóm lại phơng trình có nghiệm khi 1 m 2 c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = 5 Phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 2m 1 0 m 2 = = ( thỏa mãn ) Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 m 1 hoặc m 2 = = Chú ý : Trờng hợp phơng trình bậc hai có 0 = cũng đợc coi là có nghiệm duy nhất d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 2m 1 0 m 2 > < Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 m và m 1 2 < e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ( ) ( ) { { { { m 1 0 m 1 (vô nghiệm) m 5 0 m 5 m 1 m 5 0 5 m 1 m 1 0 m 1 m 5 0 m 5 + > > + < < + + < < < + < < + > > Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu Chú ý : Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau : Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi { { m + 1 <0 m <-1 5 m 1 m + 5 >0 m >-5 < < Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ ngoài cùng trong khác và dịch nh sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái ) Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m 2 + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 ) ( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1 Một số ví dụ minh họa : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 3 m 7 0 m 7 hoặc m 3; 2m 4 3m 9 0 3 m 2 2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4 hoặc m 5 + > < > + < < < f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 m m 1 2m 1 0 0 2 2 ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I b 2 m 2 m 2 m 1 0 m 2 hoặcm 1 3 0 0 a m 1 1 m 5hoặc 1 m 2 > + + > + + > < > + + + > < > > > + < < < Chú ý : Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó và lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung và kết luận. Việc làm đó diễn tả nh sau : ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt là các đờng lấy nghiệm của các bất ph- ơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < 1 2 là các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó là tập nghiệm của hệ bất phơng trình (I) g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 3x 2 = 4 Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó là phơng trình bậc hai có 0 Tức là { m 1 m 1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo đề bài và định lí Viet ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 m 2 b x x 1 a m 1 c m 5 x .x 2 a m 1 x 3x 4 3 + + = = + + = = + + = Từ (1) và (3) ta có hệ phơng trình 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2m 4 2m 4 2m 4 m m 4 2m 4 x x x x x x x m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 2m 4 m m x 3x 4 2x 4 x x m 1 m 1 m 1 + + + + + + = = = = + = + + + + + + + + = = = = + + + Thay vào (2) ta có phơng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m 4 m m 5 . m 4 .m m 5 m 1 do m 1 m 1 m 1 m 1 5 m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn 2 + + = + = + + + + + + = + + + + = = 7 -5 -2 -1 1 2 (1) (2) (2) (3) (3) Vậy 5 m 2 = là giá trị cần tìm. h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1 Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó là phơng trình bậc hai có 0 Tức là { ( ) m 1 m 1 1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo định lí Viet ta có x 1 .x 2 = m 5 m 1 + + Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) và ( ) m 5 1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn m 1 + = + = = + Vậy m = -3 là giá trị cần tìm. i. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 .Tính theo m giá trị của 2 2 1 2 A x x= + Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó là phơng trình bậc hai có 0 Tức là { ( ) m 1 m 1 1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo định lí Viet : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 m 2 b x x 1 a m 1 c m 5 x .x 2 a m 1 + + = = + + = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 5 2m 4 Ta có A x x x 2x x x 2x x x x 2x x m 1 m 1 2m 4 2 m 5 m 1 4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6 m 1 m 1 m 1 + + = + = + + = + = ữ + + + + + + + + + = = = + + + ( ) 2 2 2m 4m 6 1 Vậy A với m 1và m 2 m 1 + + = ữ + j. Tìm m để A = 6 ( ) 2 2 2m 4m 6 1 Ta có A với m 1và m 2 m 1 + + = ữ + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2m 4m 6 Với m 1và m ta có A 6 6 2m 4m 6 6 m 1 2 m 1 2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0hoặcm 2 + + = = + + = + + + + = + + + = + = = = Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 là giá trị cần tìm. k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm là 1 2 . Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm là 1 2 2 1 6x 1 6x 1 và 3x 3x + + 8 Với m = -1 phơng trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 = . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình là phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 ( ) ( ) ( ) 2 ' 2 2 m 2 m 1 m 5 m 4m 4 m 6m 5 2m 1 = + + + = + + = Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó là phơng trình bậc hai có 0 Tức là { ( ) m 1 m 1 1 1 2m 1 0 m 2 Thay x = 1 2 vào phơng trình đã cho ta có (m+1).( 1 2 ) 2 - 2(m+2). 1 2 + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa mãn (1)) Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm là 1 2 . Thay m = -13 phơng trình trở thành -12x 2 + 22x - 8 = 0 6x 2 - 11x + 4 = 0 Theo định lí Viet : 1 2 1 2 11 4 2 x x : x x 6 6 3 + = = = . Khi đó : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 11 2 11 6. 12. 6 x x 12x x x x 6x 1 6x 1 6x x 6x x 14 6 3 6 7 2 3x 3x 3x x 3x x 2 3. 3 + ữ + + + + + + + + + = = = = = ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 11 36. 6. 1 36x x 6 x x 1 6x 1 6x 1 36 3 6 . 6 2 3x 3x 9x x 6 9. 3 + + + + + + + = = = = Do đó phơng trình cần tìm có dạng y 2 - 7y + 6 = 0 (2) Chú ý : Phơng trình (2) không nên lấy ẩn là x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình của đề bài II. Chú ý : Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng là m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp này có thỏa mãn yêu cầu của đề bài hay không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng định đó là phơng trình bậc hai rồi mới đợc tính . C. hàm số và đồ thị I. Ví dụ Đề bài 1: Cho hàm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m 5 2 có đồ thị là đờng thẳng d Tìm giá trị của m để a. Góc tạo bởi (d) và và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến, nghịch biến) b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4 d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0 f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2 g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm) h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có hoành độ âm (hoặc ở bên trái trục tung) i. (d) cắt đờng thẳng y = 5x 3 tại điểm có tung độ dơng ( hoặc ở trên trục hoành) j. Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung Giải : Hàm số có a = 2m 5 ; b = 3 9 a. Góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc nhọn, góc tù Góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi đờng thẳng d có hệ số a > 0 2m 5 >0 m > 5 2 ( thỏa mãn) Góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc tù khi đờng thẳng d có hệ số a < 0 2m 5 <0 m < 5 2 ( thỏa mãn ) Vậy góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc nhọn khi m > 5 2 góc tạo bởi đờng thẳng d và và trục Ox là góc tù khi m < 5 2 b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vào phơng trình đờng thẳng d ta có -1 = 2. ( 2m - 5) + 3 4m 10 + 3 = -1 m = 3 2 ( thỏa mãn) Vậy với m = 3 2 thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Chú ý : Phải viết là Thay x = 2 ; y = -1 vào ph ơng trình đ ờng thẳng d , không đợc viết là Thay x = 2 ; y = -1 vào đ ờng thẳng d c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4 (d) song song với đờng thẳng y = 3x - 4 { { 2m 5 3 m 4 m 4 3 4 3 4 = = = ( thỏa mãn) Vậy m = 4 là giá trị cần tìm d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 Ta có 3x + 2y = 1 3 1 y x 2 2 = + (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 (d) song song với đờng thẳng 3 1 y x 2 2 = + 3 7 2m 5 m 7 2 4 m 1 1 4 3 3 2 2 = = = ( thỏa mãn) . Vậy 7 m 4 = là giá trị cần tìm e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0 Ta có 2x - 4y - 3 = 0 1 3 y x 2 4 = (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0 (d) luôn cắt đờng thẳng 1 3 y x 2 4 = 1 11 2m 5 m 2 4 . Kết hợp với điều kiên ta có m 5 2 và 11 m 4 là giá trị cần tìm. f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có hoành độ là -2 Thay x = -2 vào ph ơng trình đ ờng thẳng 2x + y = -3 ta đợc 2. (-2) + y = -3 y = 1 (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ). Thay x = -2 ; y = 1 vào ph ơng trình đ - ờng thẳng d ta có 1 = ( 2m 5 ). (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa mãn). Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. g. (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung ( có hoành độ âm) Thay y = 0 vào phơng trình đờng thẳng d ta có 0 = (2m - 5)x + 3 x = 3 2m 5 (d) cắt trục hoành tại điểm ở bên trái trục tung 3 5 0 2m 5 0 m 2m 5 2 < > > ( thỏa mãn). 10 [...]... 5 = 1 + 209 10 10 10 Với x = x2 = 1 + 209 ta có y = (1 5 1 + 209 ) : 5 = 1 209 10 10 10 10 Kết luận : Hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) là : ( 1; 1) , ( 2;2 ) 1 209 1 + 209 1 + 209 1 209 , 10 ; 10 ữ , 10 ; 10 ữ ữ ữ Chú ý : Nếu hệ đối xứng bậc 3 thì cách làm vẫn thế nhng lời giải dài và khó hơn rất nhiều cần quan sát kĩ xem ở bớc thứ hai có cách nào đơn giản không 3 x 2 + 2... 2) (2; 3),( 3;2),(1 + 10; 1 10) ,(1 10; 1 + 10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) (3; 2),( 2;3),(2 + 10 10 10 10 ; 2 ),( 2 ; 2 + ) 2 2 2 2 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) Bài 2 Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau ( đẳng cấp bậc hai ): 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 1) 2 2 x + 2 xy + 5y = 25 2 2 6 x xy 2 y = 56 2) 2 5 x xy y 2 = 49 3) 2 x 3 + 3 x 2 y = 5 3 2 y + 6 xy = 7 Bài 3 Cho hệ phơng trình: x... đã cho vô nghiệm Nếu m = -7 hệ phơng trình đã cho có vô số nghiệm x = 4 2t , y = t với t R Nếu m 5 và m 7 hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất: x= 24 12 ,y= m+5 m+5 Chú ý : Khi tìm đợc x = 24 m+5 ta không nên thay vào (1) để tìm y vì khi đó hệ số của y vẫn còn m và ta lại phải xét các trờng hợp hệ só đó bằng và khác 0 để tìm y c Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho. .. nằm bên dới trục hoành f (d1) cắt (d2) tại điểm ( 1 ; -2 ) g Chứng tỏ khi m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định , đờng thẳng (d2) luôn đi qua một điểm cố định Giải : Để các hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất ta phải có : m m { 2m+3 0 0 { m 03 Chú ý : Điều kiện trên luôn đợc dùng so sánh trớc khi đa ra một kết luận về m a (d1) và (d2) song song với nhau , cắt nhau , trùng nhau... Chú ý : Nếu trong hệ có các biểu thức cần điều kiện thì trớc khi giải ta phải tìm điều kiện của biến trớc, sau đó dùng điều kiện này để so sánh trớc khi kết luận về nghiệm của hệ ) Đề bài 2: Cho hệ phơng trình: m (1 x + 12y = 24 ( ) 3x + m 1 y = 12 a Giải hệ phơng trình với m = 2 b Giải và biện luân hệ phơng trình c Tìm m để hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất ( x ; y ) sao cho x < y d Tìm m để hệ... y không phụ thuộc vào m Giải : a Giải hệ phơng trình với m = 2 ( tự làm ) b Giải và biện luân hệ phơng trình 36x + 12 ( m 1) y = 144 3x + ( m 1) y = 12 ( 1) m 1 x + 12y = 24 2 ) ( ) ( m 1) 2 x + 12 ( m 1) y = 24 ( m 1) ( Trừ từng vế của hai phơng trình trên ta có : ( m 1) x 36x = 24 ( m 1) 144 ( m 1) ( m 7 ) ( m + 5) x = 24m 168 ( 3) 2 2 36 x = 24m 24 144 Nếu m = 7 thay vào. .. đã cho có 4 nghiệm là : ( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) , ( 1 10 ;1 + 10 ) , ( 1 + 10 ;1 10 ) 2 x 2 + y = 3 y 2 2 f) 2 2 2 y + x = 3 x 2 ( 1) ( 2) Trừ từng vế hai phơng trình của hệ ta có : 2(x 2 - y 2 )-(x-y ) = 3(y 2 -x 2 ) 2 ( x y ) ( x + y ) ( x y ) + 3 ( x y ) ( x + y ) = 0 ( x-y ) ( 2x + 2y 1 + 3x + 3y ) = 0 ( x y ) ( 5x + 5y 1) = 0 x-y=0 5x + 5y 1 = 0 Nếu x - y = 0 x = y thay vào. .. Vậy (d ) luôn đi qua một điểm cố định trên trục tung có tọa độ là ( 0 ; 3 ) Chú ý đề bài 1: * Ta luôn so sánh m tìm đợc với điều kiện của đề bài là m 5 ( 2 điều này rất rất hay quên) * Nếu đề bài chỉ Cho phơng trình bậc nhất mà không cho điều kiện ta vẫn phải đặt điều kiện để phơng trình là phơng trình bậc nhất ( tức là phải có a 0 và lấy điều kiện đó để so sánh trớc khi kết luận) Đề bài 2: Cho đờng... x 2y = 3 m 2x + y = 3(m + 2) a) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1 b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất ( a + 1) x + y = 4 (a là tham số) ax + y = 2a Bài 4 Cho hệ phơng trình a) Giải hệ khi a = 1 22 b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2 Bài 5 Tìm các giá trị của m và n để các hệ phơng trình 2 ( m + 1) x ... 16 102 5y 2 = 6400 y 2 = y= hoặc y = 41 41 41 16 15 16 15 x= = Với y = 16 41 41 41 16 15 16 15 x = Với y = ữ= 16 41 41 41 x 1 1 1 Với t = t2 = = x = y Thay vào phơng trình (2) ta có : y 2 2 2 2 y = 2 1 1 y ữ + 2 y ữy + 5y 2 = 25 y 2 + 4 y 2 + 20 y 2 = 100 25y 2 = 100 y 2 = 4 2 2 y = 2 1 Với y = 2 x = 2 = 1 2 1 Với y = -2 x = ( 2 ) = 1 2 Tóm lai hệ phơng trình đã cho có . với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc : 5x 1 + 5x 2 2 x 1 5x 2 = 10m 5 + 1 1 1 10m 4 3x 10m 4 x 3 = = (4) Thay (4) vào (1) ta có : 2 2 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m x 2m. 209 x ; x 50 10 50 10 + + = = = = Với x = x 1 = 1 209 10 ta có y = (1 5. 1 209 10 ) : 5 = 1 209 10 + Với x = x 2 = 1 209 10 + ta có y = (1 5. 1 209 10 + ) : 5 = 1 209 10 Kết luận. đã cho có 4 nghiệm ( x ; y ) là : ( ) ( ) 1 209 1 209 1 209 1 209 1; 1 , 2;2 , ; , ; 10 10 10 10 + + ữ ữ ữ ữ Chú ý : Nếu hệ đối xứng bậc 3 thì cách làm vẫn thế nhng lời giải