SỞ GD&ĐT LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức : x x y y xy P xy x y x y                     với điều kiện , 0,x y x y . a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm tất cả các số tự nhiên ,xy để 3P  . Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình 2 0x x m   . Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 12 ,xx sao cho 12 2xx . Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình 22 4 7 ( 4) 7x x x x     . Câu 4 (2,5 điểm) Gọi   O là đường tròn tâm O , đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa A và O , từ H vẽ dây CD vuông góc với AB . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB . a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp. b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn   O . c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn   O cắt đường thẳng NC tại E . Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH . Câu 5 (1,0 điểm) Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương. Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực , , ,a b c d sao cho 1 , , , 2a b c d và 6a b c d    . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 P a b c d    . Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với ,AB a AD b . Trên các cạnh , , ,AD AB BC CD lần lượt lấy các điểm , , ,E F G H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH . Gọi P là chu vi của tứ giác EFGH . Chứng minh: 22 2P a b . HẾT Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………….Số báo danh:…………….Chữ ký…… …… Chữ ký giám thị 1:……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN LONG AN NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN (Hướng dẫn chấm có 03 trang) Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm . CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1a (0,75 điểm)   2 x x y y xy x y xy      0,25 xy xy xy    0,25 P x y 0,25 Câu 1b (0,75 điểm) Vì P x y và 3P  nên 0 3;0 3xy    0,25 Suy ra 0 9;0 9xy    0,25 ,xy cần tìm là : 0 9 1 4 , , , 9 0 4 1 x x x x y y y y                     0,25 Câu 2 (2,0 điểm) 14m   0,25 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 4 m 0,25 1 1 1 4 2 m x   0,25 2 1 1 4 2 m x   0,25 Vì 12 2xx nên 1 1 4 2 2 m  0,25 Suy ra 1 4 3m 0,25 Suy ra 2m  0,25 Giá trị của m cần tìm là 1 2 4 m   0,25 Câu 3 (1,0 điểm) 22 4 7 ( 4) 7x x x x     2 2 2 7 7 4 4 7 0x x x x x        0,25     22 7 4 7 0x x x      0,25 2 2 7 4 0 70 x xx            0,25 3 3 x x       0,25 Câu 4a (0,75 điểm) I E N M C D B O A H Ta có : 0 90MNA  (giả thiết) 0,25 Ta có 0 90ACB  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Suy ra 0 90ACM  0,25 Vì tứ giác MNAC có 0 180ACM MNA nên nội tiếp 0,25 Câu 4b (0,75 điểm) Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ACN ADC (*) 0,25 Vì ADBC nội tiếp nên ADC ABC (**) 0,25 Từ (*) và (**) suy ra ACN ABC .Vậy NC là tiếp tuyến của   O 0,25 Câu 4c (1,0 điểm) Gọi I là giao điểm cùa BE và CH Ta có AB CD AC AD ECA ACD     Suy ra CA là phân giác trong của tam giác ECI 0,25 Ta có CB CA  CB là phân giác ngoài của tam giác ECI (1) BI CI BE CE  0,25 Ta có IH song song EA (cùng AB ) (2) IH BI AE BE  0,25 Mặt khác: AE CE (3) ( ,AE CE là tiếp tuyến ) Từ (1), (2) và (3) suy ra CI IH Vậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH . 0,25 Câu 5 (1,0 điểm) Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm 0,25 Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm) 0,25 Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa phương 0,25 Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng một địa phương 0,25 Câu 6 (1,0 điểm) Ta có 12a suy ra    1 2 0aa   0,25 Suy ra 2 32aa 0,25 Suy ra   2 2 2 2 3 8 10a b c d a b c d         0,25 Giá trị lớn nhất của P là 10 ( 10P  với 2, 2, 1, 1a b c d    hoặc các hoán vị ) 0,25 Câu 7 ( 1,0 điểm) K M I C A B D E F G H Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.  AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 1 . 2 EF Tương tự MC= 1 . 2 GH . 0,25 IK là đường trung bình của  EFG nên IK= 1 . 2 FG . Tương tự KM= 1 . 2 EH 0,25 P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) 0,25 Ta có: AI + IK + KM + MC  AC Suy ra P  2AC= 22 2 ab 0,25 HẾT . GD&ĐT LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . 5 (1,0 điểm) Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên. coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………….Số báo danh:…………….Chữ ký…… …… Chữ ký giám thị 1:……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN LONG