Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn tiến sĩ:: Phân hoạch xích đối xứng trên một vành Bool hữu hạn
Phân hoạch xích đối xứng trên một vành Bool hữu hạn: Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành đại số và lý thuyết số Tống Minh Hải LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn luận văn TS Trần Huyên, vì sự động viên tinh thần trong suốt quá trình nghiên cứu, cũng như những tri thức mới mẻ trong nhiều lónh vực, đặc biệt là lối tư duy độc đáo, sắc sảo khi xem xét một vấn đề dù trong lónh vực toán học hay ngoài cuộc sống. Kế tiếp tôi vô cùng biết ơn PGS.TS Bùi Tường Trí vì sự hiểu biết và cảm thông sâu sắc, đã động viên và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này . Qua những bài giảng trên lớp tôi xin bày tỏ sự khâm phục trước tài năng và lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi có ấn tượng rất sâu sắc với phong cách làm việc cởi mở, gần gũi, nghiêm túc và khoa học của TS Bùi Xuân Hải. Cuối cùng tôi xin chân thành cám người bạn tốt và thông minh, Ths Lê Cao Tú vì những nhận xét sâu sắc về một số vấn đề liên quan tới đề tài và sự động viên tinh thần trong lúc khó khăn. Tác giả luận văn Tống Minh Hải LỜI MỞ ĐẦU Kể từ khi Spenner đưa ra kết quả nghiên cứu về số cực đại các phần tử của một đơn xích trên tập P (X) (X hữu hạn) thì rất nhiều những khám phá trong lónh vực lý thuyết tổ hợp được các nhà toán học tìm ra. Trong đó có một cấu trúc rất đẹp là cấu trúc đối xứng trong P (X). Đặc biệt cấu trúc này có thể được ứng dụng để giải quyết một số vấn đề khác của lý thuyết tổ hợp. Bản luận văn này gồm hai chương. Chương I trình bày một số tính chất cơ bản của vành bool, xây dựng quan hệ thứ tự, chứng minh sự tồn tại của các phần tử tối tiểu từ đó chỉ ra sự đẳng cấu của giữa vành bool hữu hạn B(n) với vành Z 2 xZ 2 x…xZ 2 Chương II chúng tôi khảo sát một cấu trúc khá đẹp trên một số các poset đó là cấu trúc đối xứng. Nhờ tính chất đối xứng trong các xích, mà ta có thể dễ dàng kiểm tra được số lượng của các antichain trong một poset tính được số lượng của một họ các tập hợp thỏa tính chất bao hàm chứa trong, rời nhau . Chúng tôi sẽ xây dựng các phân hoạch xích đối xứng cho các poset thường gặp là (hay P(S)), poset các ước của một số nguyên dương in cho trước và tích trực tiếp của các poset với nhau. Ngoài ra, với một phân hoạch xích đối xứng của một poset P, chúng tôi đi sâu vào tìm hiểu cấu trúc của phân hoạch này ở khía cạnh này ở khía cạnh số xích đối xứng, các độ dài các xích, số lượng các xích cùng chiều dài i. Sau đó là một số bài toán giải quyết bằng xích đối xứng kết thúc phần này bằng một cách xây dựng khác của phân hoạch xích đối xứng BCO và những ứng dụng của cách xây dựng này để tính số antinh trong P(S) và tính số đường trong mặt phẳng tọa độ. 1 MỤC LỤC CHƯƠNG 1 : CẤU TRÚC THỨ TỰ TRÊN VÀNH BOOL HỮU HẠN §1.1Các khái niệm về vành bool……………… 3 1.1.1Đònh nghóa vành bool……………………………………………. 3 1.1 .2Các tính chất cơ bản của vành bool ………………………… . 5 1.1.3 Quan hệ thứ tự trên vành bool…………………………………………………………. 6 §1.2Vành bool hữu hạn……………………………………………………………………………. 7 1.2.1 Sự tồn tại của các phần tử tối tiểu…………………………………………… 7 1.2.2 Sự đẳng cấu giữa vành B(n) với vành Z 2 xZ 2 x…xZ 2 …………. 11 §1.3Một số đònh nghóa liên quan đến xích đối xứng 1.3.1 Đònh nghóa quan hệ thứ tự trên P…………………………………………… 12 1.3.2 Hàm hạng r(x)……………………………………………… ……………………………… 12 1.3.3 Đònh nghóa xích đối xứng …………………………………………………………… 12 CHƯƠNG 2 : PHÂN HOẠCH XÍCH ĐỐI XỨNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG §2.1Một số đònh nghóa……………………………………………………………………………… 13 2.1.1 Đònh nghóa xích trong B(n)………………………………………………………… 13 2.1.2 Ví dụ về xích đối xứng……………………………………………………………………. 14 §2.2 Cấu trúc đối xứng của một số poset thường gặp…………………… 14 §2.3 Cấu trúc của một xích đối xứng……………………………………………………… 26 §2.4 Xây dựng trực tiếp phân hoạch xích đối xứng cho P (S) …… 33 2.4.1 Ứng dụng của cấu trúc xích đối xứng……………………… …………. 42 2 Chương I CẤU TRÚC THỨ TỰ TRÊN VÀNH BOOL HỮU HẠN T rong chương này, chúng ta xét một lớp vành đặc biệt, lớp các vành Bool hữu hạn. Cho một vành Bool hữu hạn B bất kỳ (có 2 n phần tử). Chúng ta chỉ ra rằng B đẳng cấu với vành Bool Z 2 xZ 2 x…x Z 2 (có n thừa số). Hơn nữa, P(X) gồm tất cả các tập con của tập X với phép giao và tổng đối xứng cũng là một vành Bool có 2 n phần tử, nên P(X) đẳng cấu với B mặt khác các đẳng cấu này bảo toàn quan hệ thứ tự do đó để thuận tiện cho việc trình bày. Trong một số trường hợp, chúng tôi chọn vành Bool Z 2 xZ 2 x…x Z 2 để làm việc. Kế tiếp, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết liên quan đến quan hệ thứ tự trên B cần thiết cho chương sau. §1. Các khái niệm về vành Bool Đònh nghóa 1.1. Một vành B có đơn vò được gọi là vành Bool nếu mọi phần tử x ∈ B thỏa x 2 = x. Một ví dụ quen thuộc về vành Bool là tập P(X), tập tất cả các tập con của tập X khác rỗng, cùng với hai phép toán ∩ và Δ ; trong đó ∩ là phép giao thông thường của hai tập hợp và Δ là phép cộng đối xứng xác đònh như sau: ∀ A, B ∈ P(X) AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A). Và để thuận tiện cho việc trình bày về sau ta viết ∩ theo lối nhân (.) và Δ theo lối cộng (+). Bây giờ ta chứng minh (P(X),+ .) là một vành Bool. Ta cần kiểm tra các tiên đề của vành: • Phép toán cộng có tính kết hợp : ∀A, B, C ∈ P(X), ta cần kiểm tra: (A + B) + C = A + (B + C) i) Chứng minh (A + B) + C ⊂ A + (B + C) Lấy x ∈ (A + B) + C, khi đó ta có: x ∈ C \ [(A \ B) ∪ (B \ A)] hoặc x ∈ [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ C + Nếu x ∈ [(A \ B) ∪ (B \ A)] \ C thì x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A) và x ∉ C tức là x ∈ A \ B ; x ∉ C hoặc x ∉ B \ A ; x ∉ C + Trong trường hợp thứ nhất ta có : x ∈ A ; x ∈ B ; x ∈ C do đó x ∈ A và x ∉ (B \ C) ∪ (C \ B) 3 tức là: x ∈ A \ [(B \ C) ∪ (C \ B)]. + Trong trường hợp thứ hai, ta có x ∈ B, x ∉ A, x ∉ C do đó : x ∈ (B \ C) ∪ (C \ B) và x ∉ A tức là : x ∈ [(B \ C) ∪ (C \ B)] \ A nên x ∈ A + (B + C) Vậy (A + B) + C ⊂ A + (B + C) ii) Chiều ngược lại: A + (B + C) ⊂ (A + B) + C. Chứng minh tương tự. Vậy (A + B) + C = A + (B + C). • Phép toán cộng có tính giao hoán : Với mọi A, B ∈ P(X) ta có : A + B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (B \ A) ∪ (A \ B) = B + A • Phép cộng có phần tử không là tập φ vì ∀A ∈ P(X), ta có : A + Φ = (A \ φ ) ∪ ( φ \ A) = A • Phần tử đối của phần tử A là phần tử A vì : ∀ A ,A + A = (A\A) ∪ (A\A) ∈ (A\A) = φ • Tính kết hợp của phép nhân : ∀A, B, C ∈ P(X) ta có : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) nên (AB)C = A(BC) • Phép toán nhân phân phối với phép toán cộng : ∀A, B, C ∈ P(X) ta có : A(B + C) = A [(B \ C) ∪ (C \ B)] = [A (B \ C)] ∪ [A (C \ B)] = [A B \ AC] ∪ [AC \ AB] = AB + AC và (B+C)A = [(B \ C) ∪ (C \ B)] A = [(B \ C) A] ∪ [(C \ B) A] = (BA \ CA) ∪ (CA \ BA) = BA + CA • Phép toán nhân có phần tử đơn vò là X vì ∀ A ∈ P(X) XA = A ∩ A = A AX = A ∩ X = A 4 Vậy P(X) là vành Bool. Nhận xét : Trong vành Bool P(X), ta đã chứng minh A ∈ P(X) thì phần tử đối là A và P(X) là một vành giao hoán. Ta cũng mở rộng tính chất này lên cho vành Bool tổng quát, cụ thể ta có : Đònh lý 1.2. Trong vành Bool B, mọi phần tử đều có phần tử đối là chính nó, nghóa là : ∀x ∈ B -x = x Chứng minh : Do B là vành nên ∀x ∈ B ⇒ -x ∈ B Theo đònh nghóa vành Bool : (x+x) 2 = x+x hay x 2 +x 2 + x 2 + x 2 = x + x ⇔ x + x + x+ x = x+x ⇔ x+x =0 x =-x ⇔ Nhận xét : Do kết quả này, vành Bool là vành có đặc số 2. Đònh lý 1.3. Mọi vành Bool đều giao hoán Chứng minh : ∀x, y ∈ B ta có : x 2 + y 2 = x + y = (x + y) 2 = x 2 + xy + yx + y 2 nên xy + yx = 0 Suy ra : xy = -yx = (-y)x = yx (do -y = y) đònh lý 1.1) Vậy B là vành Bool giao hoán. Ta biết rằng, trong vành Bool P(X) có quan hệ thứ tự tự nhiên như sau : A ⊆ B ⇔ AB = A, ∀A, B ∈ P(X) Quan hệ này cũng được tổng quát lên cho mọi vành Bool như sau : Đònh lý 1.4. Trong vành Bool B, đònh nghóa quan hệ : ∀x, y ∈ B : x ≤ y ⇔ xy = x. khi đó : ≤ là một quan hệ thứ tự trên B. Chứng minh : + ∀x ∈ B ta có : x.x = x nên x ≤ x, tức có tính chất phản xạ. + ∀x, y ∈ B sao cho : x ≤ y và y ≤ z, ta có : xy = x và yz = y. Do vành Bool giao hoán nên xy = yx hay x = y tức quan hệ ≤ có tính phản đối ứng. + Với x, y, z ∈ B sao cho x ≤ y và y ≤ z ta có : xy = x và yz = y Suy ra : xz = (xy)z = x(yz) = xy = x, tức là : x ≤ z 5 Nên ≤ có tính chất bắc cầu. Vậy ≤ là một quan hệ thứ tự của B. Chú ý : 1. Khi x ≤ y ta nói : x nhỏ hơn hoặc bằng y hay y lớn hơn hoặc bằng x. 2. Với x, y ∈ B ta nói : x, y so sánh được với nhau nếu x ≤ y hoặc y ≤ x. Trở lại vành Bool P(X), ta biết P(X) có phần tử đơn vò là X và phần tử không là rỗng và ta cũng có : mỗi A ∈ P(X) thì tồn tại CA = X + A thỏa : CA + A = X và (CA) A = Φ CA : gọi là phần bù của A. Đối vành Bool bất kỳ ta cũng có điều tương tự. Cụ thể là : Đònh lý 1.5. Cho B là vành Bool, với mỗi x ∈ B luôn tồn tại duy nhất phần tử x* ∈ B thỏa : x + x* = 1 xx* = 0 Chứng minh : • Sự duy nhất : với mỗi x ∈ B, giả sử có y ∈ B cũng thỏa : x + y = 1 xy = 0 khi đó : y = 1 - x = x*∈ B Nên x* là duy nhất. • Sự tồn tại : Với mọi x ∈ B, xét x* = 1 + x Khi đó : x + x* = x + (1 + x) = x + x + 1 = 1 và xx* = x (1 + x) = x + xx = x + x =0 Chú ý : Phần tử x* trong đònh lý cũng gọi là phần tử bù của phần tử x ∈ B và x* = 1 + x. Khái niệm phần bù có một số tính chất đơn giản là : 1* = 0 và 0* = 1 và (x*)* = x, ∀x ∈ B Thực ra là sự mở rộng các kết quả trong P(X): CX = Φ, CΦ = X và C(CA) = A, ∀A ∈ P(X) 6 §2. Vành Bool hữu hạn Trong mục này ta sẽ mô tả vành Bool hữu hạn thông qua các phần tử cực tiểu. Vì thế trước tiên ta nghiên cứu các phần tử cực tiểu của vành Bool hữu hạn. Ta có đònh nghóa sau : Đònh nghóa 2.1. Cho vành Boll hữu hạn B với quan hệ thứ tự ≤ được đònh nghóa trong mục 1, phần tử a ∈ B \ {0} gọi là phần tử cực tiểu của B nếu mọi phần tử x ∈ B \ {0} mà x ≤ a thì x = a. Chẳng hạn, đối với vành Bool P(X), với X = {x 1 , x 2 , .x n } có hữu hạn phần tử là 2 n và với phép toán bao hàm là quan hệ thứ tự thì các phần tử cực tiểu là {x 1 }, i=1, n. Bây giờ trong vành Bool hữu hạn B ta chứng minh sự tồn tại của phần tử cực tiểu. Đònh lý 2.1. Trong vành Bool hữu hạn thì tồn tại phần tử cực tiểu. Chứng minh : Xét x ∈ P(X) \ {0} + Nếu x là phần tử cực tiểu của B thì x là phần tử cần tìm. Nếu không x có phần tử x 1 ∈ B \ {0} sao cho x 1 < x. + Nếu x 1 là phần tử cực tiểu của B thì x 1 là phần tử cần tìm. Nếu không x 1 có phần tử x 2 ∈ B \ {0} sao cho x 2 < x 1 . + Nếu x 2 là phần tử cực tiểu của B thì x 2 là phần tử cần tìm. Nếu không x 2 có phần tử x 3 ∈ B \ {0} sao cho x 3 < x 2 . Do B hữu hạn và các phần tử x 1 , x 2 , . đôi một khác nhau, quá trình sẽ dừng lại sau hữu hạn bước, khi đó tồn tại x 0 là phần tử cực tiểu của B. Như vậy, tập hợp tất cả các phần tử cực tiểu của vành Bool hữu hạn là khác rỗng. Để tiện lợi cho việc trình bày, từ đây về sau ta giả sử B là vành Bool hữu hạn có tập các phần tử cực tiểu là M = {x 1 , x 2 , x n }. Bằng cách chứng minh tương tự đònh lý 2.1, ta có kết quả sau : Đònh lý 2.2. Mọi x ∈ B \ {0} thì tập N các phần tử cực tiểu của B nhỏ hơn hoặc bằng x là khác rỗng. Chúng ta xét các đặc trưng của phần tử cực tiểu của B, dựa vào từ tổng quát của vành Bool hữu hạn P(X). Trong P(X), tập các phần tử cực tiểu là : X = {x 1 x 2 , . x n }. Khi đó ta có {x i } ∩ {x j } = Φ hay {x i } , {x j } = 0. Và mọi A ∈ P(X) thì A là hợp của các phần tử cực tiểu tức A = , m ≤ n thì A = }x x,x{ m kkk 21 7 }x{ i k ∪ ∪ = Δ Δ . , với chú ý trong P(X) : Nếu A, B ∈ P(X) và A ∩ B = Φ thì AΔB = A ∪ B. Điều này sẽ được tổng quát cho vành Bool bất kỳ như sau : }x{ m k }x{ i k }x{ k 2 }x{ m k Đònh lý 2.3. Nếu x i, x j là hai phần tử cực tiểu phân biệt của B thì x i x j = 0 Chứng minh : Giả sử x i x j ≠ 0 tức x i x j ∈ B \ {0} Ta có : x i x j ≤ x i và x i x j ≤ x j (Do x i (x i x j ) = (x i x i )x j = x i x j và x i (x i x j ) = (x i x j ) x j = x i x j ) Vì x i x j là các phần tử cực tiểu nên x i x j = x i và x i x j = x j Nên x i = x j , điều này mâu thuẫn. Vậy x i x j = 0 Đònh lý 2.4. Mọi ∀ x ∈ B \ {0} đều có thể viết dưới dạng : x = trong đó : , i = 1, . m là các phần tử cực tiểu của B thỏa : ≤ x. m kkk x xx +++ 21 i k x i k x Chứng minh : Do ∀x ∈ B \ {0} nên theo đònh lý 2.2, tồn tại phần tử cực tiểu x k ≤ x và gọi tập là các phần tử cực tiểu của B nhỏ hơn hoặc bằng x là tập khác rỗng. }x x,x{ m kkk 21 Đặt y =x+ ( m kkk x xx +++ 21 ). Giả sử y 0 . Khi đó tồn tại phần tử cực tiểu a ≠ ≤ y Mặt khác ,ta có y ≤ x Thật vậy : yx =xx+ ( m kkk x xx +++ 21 ) x = x+ xx xxxx m kkk +++ 21 = x+( m kkk x xx +++ 21 ) = y (do ≤ x ⇔ x = ) i k x i k x i k x Suy ra a x, do đó tồn tại i sao cho a = ≤ i k x là cực tiểu của x Khi đó: ya = y i k x = i k x ≠ 0 (do i k x là phần tử cực tiểu) Va øy i k x =x i k x +( m kkk x xx +++ 21 ) i k x = i k x + i k x =0 (tính chất vành bool) 8 [...]... < (1111, 2232) III CẤU TRÚC CỦA MỘT XÍCH ĐỐI XỨNG : III.1 Số xích đối ứngvà chiều dài của xích đối xứng trong 1 phân hoạch xích đối xứng 26 Giả sử P là một poset có phân hoạch xích đối xứng, trong mỗi xích đối ⎡ r (P ) ⎤ xứng của P phải chứa phần tử ở chính giữa có hạng là : ⎢ Nếu gọi Nα - là số ⎣ 2 ⎥ ⎦ phần tử có hạng α thì số xích đối xứng trong phân hoạch xích đối xứng của P là : ⎡ r (P ) ⎤ N⎢ do... từ xích đó (như xây dựng trên) Cứ như vậy ta có được 1 phân hoạch xích đối xứng cho poset M(m) Vậy M(m) có phân hoạch xích đối xứng, ∀m Để minh họa cho ý tưởng của đònh lý 2.1 ta xét ví dụ sau : 2.3 Ví dụ : Xây dựng 1 phân hoạch xích đối xứng cho M(800) = M(22.32.52) Để xây dựng một phân hoạch xích đối xứng cho M(22.32.52), ta phải xây dựng trước các phân hoạch xích đối xứng cho M(22) , M(22.32) • Đối. .. 2.1 Nếu P là một poset có phân hoạch xích đối xứng và M(P) = n thì độ dài các xích đối xứng trong phân hoạch xích đối xứng có dạng : n + 1 - 2k, ∀k = 0, [n/2] Phân hoạch xích đối xứng của poset tích trực tiếp Po x x Pn là : Từ mệnh đề trên, ta có ngay hệ quả Hệ quả III.2.2 Cho P là một poset có phân hoạch xích đối xứng và r(P) = n (a) Nếu n = 2b + 1 - lẻ thì chiều dài của các xích đối xứng là các số... có một phân hoạch xích đối xứng thì trong phân ⎡ r (P ) ⎤ hoạch xích đối xứng đó có N ⎢ xích đối xứng ⎣ 2 ⎥ ⎦ r(P ) ⎡ r (P ) ⎤ Ngoài ra khi r (P) chẵn thì ⎢ ⎥ = 2 và do tính chất đối xứng của xích ⎣ 2 ⎦ đối xứng nên kích thước của xích đối xứng phải là 1 số lẻ Ngược lại khi M(P) lẻ thì kích thước của xích đối xứng phải là 1 số chẵn Tóm lại ta có mệnh đề sau : Mệnh đề III.1.2 : Poset P có một phân hoạch. .. có phân hoạch xích đối xứng là : 3.5 < 2 3 5 có 2 xích đối xứng 32 < 32 5 có chiều dài 2 5 < 2.5 < 22 5 < 22 3 5 3 < 2.3 < 2 32 < 2 32 5 có 2 xích đối xứng chiều dài 4 1 < 2 < 22 < 22 3 < 22 32 5< 22 32 5 có 1 xích đối xứng chiều dài 6 Bây giờ, một câu hỏi đặt ra là : Có bao nhiêu xích đối xứng trong một phân hoạch xích đối xứng của poset P mà có chiều dài k ? Ta có : phần tử hạng k bắt đầu một xích. .. có được phân hoạch xích đối xứng của M(Pn) x M(qm) nhờ vào M(Pn.qm) Bây 21 giờ hiện cho P, Q là 2 poset có phân hoạch xích đối xứng thì P x Q có phân hoạch xích đối xứng hay không ? và nếu có thì chúng có thể được xây dựng như thế nào ? Mệnh đề 3.4 Nếu P, Q là 2 poset có hàm hạng tương ứng là r, r’ và đều có phân hoạch xích đối xứng thì poset tích trực tiếp P x Q cũng có phân hoạch xích đối xứng Chứng... ⎥⎟ i =1 i =1 ⎝⎣ 2 ⎦⎠ V XÂY DỰNG TRỰC TIẾP PHÂN HOẠCH XÍCH ĐỐI XỨNG CHO P(S) VÀ ỨNG DỤNG 1 Xây dựng trực tiếp phân hoạch xích đối xứng cho P(S) Như ta đã thấy, cấu trúc đối xứng có khá nhiều ứng dụng trong các bài toán tập hợp Đối với một poset P(S) có phân hoạch xích đối xứng Để thu được phân hoạch xích đối xứng của P(S) ta đã có một cách xây dựng đã trình bày trên là cách xây dựng bằng phương pháp quy... của các poset với nhau Ngoài ra, với một phân hoạch xích đối xứng của một poset P, chúng tôi đi sâu vào tìm hiểu cấu trúc của phân hoạch này ở khía cạnh này ở khía cạnh số xích đối xứng, các độ dài các xích, số lượng các xích cùng chiều dài i Sau đó là một số bài toán giải quyết bằng xích đối xứng kết thúc phần này bằng một cách xây dựng khác của phân hoạch xích đối xứng BCO và những ứng dụng của cách... n = k, tức là trong B(n) có một phân hoạch ra thành các xích đối xứng Xét vành Bool B(n) + a, ta chỉ ra B(n) + 1) cũng có phân hoạch xích đối xứng bằng thủ tục như sau : lấy một xích đối xứng bất kỳ trong phân hoạch xích đối xứng của B(n) là : a1 < a2 < < ah Ta xét hình chữ nhật dạng sau: ai0 < a20 < ah-10 < ah 0 ai1 < a21 < ah-11 < ah 1 Và sinh ra 2 xích trong vành Bool B(n)+1 như chỉ dẫn trong hình... bắt đầu một xích đối xứng có chiều dài là (n + 1 - 2k) tr phân hoạch xích đối xứng của P Hơn nữa trong P có Nk - phần tử hạng k Ta xét trong Nk-1 - phần tử hạng (k-1) trong P, một phần tử có hạng (k-1) thì phần nằm trong một xích đối xứng và phải có một phần tử hạng k trước nó Vậy số xích đối xứng bắt đầu bởi k bằng Nk - Nk-1 Nên ta được một mệnh đề sau : Mệnh đề III.2.3 Số xích đối xứng có chiều dài . TRÚC THỨ TỰ TRÊN VÀNH BOOL HỮU HẠN T rong chương này, chúng ta xét một lớp vành đặc biệt, lớp các vành Bool hữu hạn. Cho một vành Bool hữu hạn B bất. có một phân hoạch ra thành các xích đối xứng. Xét vành Bool B(n) + a, ta chỉ ra B(n) + 1) cũng có phân hoạch xích đối xứng bằng thủ tục như sau : lấy một
