Đề số 1: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: a) n 16 = 2n ; b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài a) Tìm x biết: 2x + = x + b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa A = x − 2006 + 2007 x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau Ýt kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n + + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A b) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC Ht Đáp án đề 1toán Bài Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm) a) n 16 = 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 − (12.50 + 25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài (4 điểm câu điểm) a) T×m x biÕt: 2x + = x + Ta cã: x + ≥ => x ≥ - + NÕu x ≥ - th× 2x + = x + => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - ≤ x < - Th× 2x + = x + => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + Nếu - > x Không có giá trị x thoả mÃn b) Tìm giá trị nhỏ A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ≤ x ≤ 2007 Bµi HiƯn hai kim ®ång hå chØ 10 giê Sau Ýt kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim giê 10giê ®Õn lóc kim ®èi đờng thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x 12 x y x−y 1 = => = = = : 11 = y 12 11 33  x= 12 ( vòng) => x = (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ĩ kim ®ång hå tõ 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diện đờng thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F · AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID ⊥ AC I Vµ FAI = CIA (so le trong) A (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) B H Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA C M (AI chung) => IC = AC = AF D (3) (4) E FA = 1v Mặt khác EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phơ ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC Đề số 2: đề thi học sinh giỏi huyện Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bi 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) c) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A d) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC d) AM = BC Ht Đáp án đề toán Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 10 212.35 − 212.34 510.73 − A= − = 12 12 − 9 3 125.7 ) + 59.143 + + ( 3) + ( 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 10 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = b) (2 điểm) 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n + − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (2 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n + − 2n+ + 3n − 2n M 10 với n số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x− = 2⇔   x−1 =−2    x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3   b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 x +11 =0 1 − ( x − ) 10  =   ⇔ ( x − 7) ( x +1) 1 − ( x − ) 10  =     x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0    ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x=8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = Từ (1) ⇒ = k ⇒ a = k ; b = k ; c = 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b A Bài 4: (4 điểm) I M B a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : C H K E AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · Suy · AMI = EMK o · Mà · AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) µ · Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o · · ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 o o o · · · ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 A · BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) 20 Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên A · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 M D B C Xét tam giác ABM BAD có: · · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 AB cạnh chung ; BAM = · Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ị sè 3: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Câu Cho đa thức 9 nhỏ 10 11 P ( x ) = x + 2mx + m vµ Q ( x ) = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y a/ = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = x + +5 B= x + 15 x2 + Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a Chứng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE b Gäi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lÊy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA BC Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyên a biÕt a ≤ 0≤ a ≤ => a = 0; 1; 2; ; * a = => a = * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 9 nhỏ 10 11 −9 63 63 63 < < < < => => -77 < 9x < -70 V× 9x M9 => 9x = -72 10 x 11 −70 x −77 => x = Vậy phân số cần tìm Câu Cho đa thức P ( x ) = x + 2mx + m vµ Q ( x ) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ĩ P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 C©u 4: Tìm cặp số (x; y) biết: x y x y xy 84 a/ = ; xy=84 => = = = =4 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = ± 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = Do x,y dấu nên: ã x = 6; y = 14 • x = -6; y = -14 10 Đề số 47: đề thi học sinh giỏi Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị biĨu thøc (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3   2,5 + − 1,25   0,375 − 0,3 + + 11 12  P = 2005 :   − 0,625 + 0,5 − − 1,5 + − 0,75    11 12   b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh với số nguyên dơng n th×: 3n + + 3n +1 + 2n + + 2n + chia hÕt cho b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2004 − x + 2003 − x C©u 3: (2 điểm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia ®ã lÊy ®iĨm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM DE Câu 5: (1 điểm) Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chøng minh r»ng nÕu x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hết cho 61 Đề số 48: đề thi học sinh giỏi Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị cđa biĨu thøc: (Thêi gian lµm bµi 120 phót)    81,624 : − 4,505  + 125   A=  11  13     : 0,88 + 3,53 − (2,75)  :     25   25    b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x tho¶ m·n 2005 = x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? v× ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + TÝnh M = c+d d +a a+b b+c Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) Tính góc DIE gãc A = 600 b) Gäi giao ®iĨm cđa BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt lµ M vµ N Chøng minh BM > MN + NC Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z số dơng x y z Chứng minh rằng: x + y + z + y + z + x + z + x + y 62 Đề số 49: đề thi học sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iĨm) 2 a) T×m x biÕt: x + x − = x + b) T×m tỉng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc: A(x) = (3 − x + x ) 2004 (3 + x + x ) 2005 Bµi 2: (2 ®iĨm) Ba ®êng cao cđa tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét số tự nhiên Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t Cho y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: P= x+ y y+ z z+t t + x + + + z+t t + x x+ y y+ z Bµi 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho gãc EBA= α Trªn tia ®èi cđa tia EB lÊy ®iĨm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED tam giác cân Bài 5: (1 điểm) Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a + 3a + = 5b vµ a + = 5c 63 Đề số 40: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) TÝnh A = − 32 + 33 − 34 + + 32003 − 32004 b) T×m x biÕt x − + x + = Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c Th× x + y + z = x + y − z = x − y + z Nếu Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h Tính quÃng đờng ngời đà Biết họ đến C lúc Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao ®iĨm cđa DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o góc AIC AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức: x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + − 2006 x + 2006 x 64 Đề số 50: đề thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) a b c = = b c d C©u ( 2®) Cho: a+b+c a Chøng minh:  = b+c+d d Câu (1đ) T×m A biÕt r»ng: a c b = = b+c a+b c+a Câu (2đ) Tìm x Z ®Ĩ x+3 a) A = x−2 A= C©u (2đ) Tìm x: A Z tìm giá trị b) A = − 2x x+3 a) x − = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyÕn AM E ∈ BC, BH,CK ⊥ AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân Đề thi học sinh giỏi toán lớp Câu 1: (2®) Rót gän A= x x−2 x + x 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc ®Ịu nh C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 102006 + 53 số tự nhiên Câu : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh a, K trung điểm cđa AC b, BH = AC c, VKMC ®Ịu Câu (1,5 đ) 65 Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hÃy xác định thứ tự giải cho bạn §Ị sè 51: ®Ị thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4    Bài 2: (4 điểm): Cho a) a2 + c2 a = b2 + c b a c = chứng minh rằng: c b b2 − a2 b − a b) 2 = a +c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x + − = −2 b) − 15 x+ = x− 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây µ Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: g) Tia AD phân giác góc BAC h) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009)2 - 66 ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm 2 3     ÷ 18 − (0, 06 : + 0,38)  : 19 − 4  =   15 17 38   19  109 =  − ( : + )  : 19 − ÷ 0.5đ 100 100   4  109  17 19    38  =  −  + ÷ : 19 − ÷ 1đ    50 15 50    109 323  19   + =  − ÷ :   250 250   0.5  109 13  − ÷ =  10  19 506 253 = = 30 19 95 = 0.5đ 0.5đ Bài 2: a) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 + c2 a b2 + c2 b = ⇒ 2 = b2 + c b a +c a 2 2 b +c b b +c b từ 2 = ⇒ 2 − = − a +c a a +c a 2 2 b +c −a −c b−a = hay 2 a +c a 2 b −a b−a 2 = a +c a b) Theo câu a) ta có: 0.5đ 1đ 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x+ − = −2 = −2 + 0.5đ 1 x + = ⇒ x + = x + = −2 5 x+ 1đ 67 1 hay x = 5 1 11 Với x + = −2 ⇒ x = −2 − hay x = − 5 Với x + = ⇒ x = − 0.25đ 0.25đ b) 15 x+ = x− 12 x+ x = + 13 ( + )x = 14 49 13 x= 20 14 130 x= 343 − 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x = y = 3.z x + x + y + z = 59 Ta có: 1đ x y z x + x + y + z 59 = = = = = 60 hay: 1 1 + + + 59 5 60 0.5đ Do đó: x = 60 = 12 ; x = 60 = 15 ; x = 60 = 20 0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên A A 20 D · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 M B C 68 Xét tam giác ABM BAD có: · · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 AB cạnh chung ; BAM = · Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 − y = 8(x − 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) Vì y2 ≥ nên (x-2009)2 ≤ 0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ∈ ¥ ) 0.5đ Từ tìm 0.5đ (x=2009; y=5) §Ị số 52: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bµi 120 phót) 1 1 + + + + Bµi TÝnh 1.6 6.11 11.16 96.101 1 + = Bài Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho: x y Bài Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140 Bài Tìm x, y thoả mÃn: x − + x − + y − + x − = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 50 ; góc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC Đề số 52: đề thi học sinh giỏi (Thời gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: 69 A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) x +1 − ( x − 7) x +11 =0 Bài 3: (4 điểm) e) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A f) Cho a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Bài 5: (4 điểm) µ Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: i) Tia AD phân giác góc BAC j) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… 70 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 212.35 − 46.9 510.73 − 255.49 10 212.35 − 212.34 510.7 − A= − = 12 12 − 9 3 ( 3) + ( 125.7 ) + 14 + + 0,5 điểm 212.34 ( − 1) 510.7 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 0,5 điểm 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.73.9 −10 = − = 10 0,5 điểm 0,5 điểm b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n + − 2n + + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 n n = 10( -2 ) n+2 n+2 n n Vậy − + − M 10 với n số nguyên dương 0,5 điểm điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5  x −1 =2 ⇔ x− = 2⇔   x−1 =−2    x=2+ = 3 ⇔  x=−2+1 = −5 3   0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 71 b) (2 điểm) ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +11 =0 1 − ( x − )  =   10 ( x +1) 1 − ( x − )  = ⇔ ( x − 7)   x +1 10 0,5 điểm 0,5 điểm   x −7  x +1=0  ÷  ⇔  1−( x −7)10 =0   0,5 điểm  ⇔  x −7=0⇒ x =7 10  ( x −7) =1⇒ x=8 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c = : : (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k = = Từ (1) ⇒ = k ⇒ a = k ; b = k ; c = 6 Do (2) ⇔ k ( + + ) = 24309 25 16 36 ⇒ k = 180 k = −180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = −180 , ta được: a = −72 ; b = −135 ; c = −30 Khi ta có só A = −72 +( −135 ) + ( −30 ) = −237 b) (1,5 điểm) Từ a c = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 72 Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm 0,5 điểm Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB · · Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒ MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · MAI = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy · · AMI = EMK o · Mà · AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) µ · Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o o o o o · · ⇒ HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 0,5 điểm 73 o o o · · · ⇒ HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 · BME góc ngồi đỉnh M ∆HEM · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 20 M D B C -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) nên · ABC = (1800 − 200 ) : = 800 A · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ·ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: · · AB cạnh chung ; BAM = · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt im ti a 74 Đề số 53: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu ( ®iĨm) Thùc hiƯn phÐp tÝnh :   2  1  a 6. −  − 3. −  + 1 : (− −  3    3   ) 2  3 2003    −  ( − 1) 3  4 b 2      −   12 Câu ( điểm) a2 + a + a Tìm số nguyên a để số nguyên a +1 b Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y = Câu ( điểm) a Chứng minh a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) a c = với b, d khác b d b Cần số hạng tổng S = + + + để đợc số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B b»ng 45 , gãc C b»ng 1200 Trªn tia ®èi cđa tia CB lÊy ®iĨm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2- 2y2 = 75 ... B1 c) 4100 = 44 *50 =( ( 4) 2 )50 = (16 )50 = C d) 71 00 = 74 *25 =( ( ) 4)25 = 240125 = D1 e) 8100 = 84*25 = ( ( 8) 4)25 = 409625 = E 37 f) 9100 = 92 *50 = ( ( 9) 2 )50 = 8 150 = F1 Bµi toán : tìm chử... chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1