Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz hoctoancapba.com MỤC LỤC Trang Mục lục A PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Ý nghĩa việc thực đề tài Bản đồ tư B PHẦN NỘI DUNG: I/Các kiến thức bản: II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳngr thường gặp: 2 4 Viết PT mp qua A có VTPT n Viết pt mp (P) qua Avà // mp (Q) Viết pt mp(P) qua Avà vng góc với đường thẳng (d) Viết pt mp (P) qua A vng góc với mp(Q) , mp(R) Viết pt mp (P) qua điểm A,B,C không thẳng hàng Viết pt mp (P) qua A,B vng góc mp (Q) Viết pt mp (P) qua A ;vuông góc mp(Q) song song với dt (d) Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song Viết pt mp (P) trung trực AB Viết pt mp (P) chứa (d) qua A Viết pt mp (P) chứa (d) song song dt (d’) Viết pt mp(P) chứa (d) vuông (Q) Viết pt mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h Viết pt mp (P) chứa (d) d(A,(P))=h Viết pt mp(P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 Viết pt mp (P) chứa (d) hợp với ( ∆ )một góc α ≠ 900 Cho A (d), viết pt mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn Viết pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) Viết pt mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi) cho trước Dạng 21: Viết pt mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) Dạng 22: Viết pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến làđường trịn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trước) Dạng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính nhỏ 4 5 6 8 9 10 11 12 12 C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI D.KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 16 16 Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Dạng 4: Dạng 5: Dạng 6: Dạng 7: Dạng 8: Dạng 9: Dạng 10: Dạng 11: Dạng 12: Dạng 13: Dạng 14: Dạng 15: Dạng 16: Dạng 17: Dạng 18: Dạng 19: Dạng 20: 13 13 14 15 1.Đề tài: Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz cho học sinh khối 12 Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz hoctoancapba.com 2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Khi học đến chương phương pháp tọa độ khơng gian học sinh thường gặp khó khăn gặp tốn viết phương trình mặt phẳng dạng phương trình mặt phẳng có nhiều dạng Để giúp học sinh giải tốt tập viết phương trình mặt phẳng thường gặp chương trình lớp 12 nên chọn đề tài “Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz” II Ý nghĩa việc thực đề tài: Do đặc điểm lớp 12 năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức học tập trang bị kiến thức cần thiết cho kỳ thi vào cuối năm học Nhằm giúp em giải tốt dạng tập viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz chương trình học lớp 12 Qua trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm thấy học sinh thường lúng túng trước tốn viết phương trình mặt phẳng, khơng định hướng giải quyết, tơi hệ thống số dạng tập yêu cầu học sinh phải nắm vững từ viết phương trình mặt phẳng chương trình TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào cao so với trường tỉnh chất lượng lại khơng đều, số lượng học sinh yếu năm cịn chiềm tỉ lệ 5% Với đề tài “Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz” giúp học sinh không bị lúng túng trước tốn viết phương trình mặt phẳng chương trình BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com B PHẦN NỘI DUNG I/Các kiến thức bản: Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ kiến thức sau: + Sự liên hệ cặp vectơ phương (VTCP) vectơ pháp tuyến (VTPT): r r r r r r mặt phẳng (P) có cặp vectơ phương a; b vectơ pháp tuyến n n =[ a; b ] + Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ r pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trinh mặt phẳng (P ) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = (A +B2 +C2 ≠ 0) Để viết phương trình mặt ta sử dụng hai cách sau: r + Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vả vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) ta sử dụng công thức: (α) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = + Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (A +B2 +C2 ≠ 0) dựa vào giả thiết toán xác định hệ số A; B; C; D II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp: Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ; y ; z0 ) r vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) +Cách 1: (P) : A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = + Cách 2: (P): Ax + By + Cz + D = ; M ∈ (P) ⇒ D trả lời phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) vng góc với đường thẳng qua hai điểm A(3;1; −2) : B(4; −3;1) Giải: r uu ur - VTPT n = AB = (1; −4;3) - Cách 1: (P): 1( x + 2) − 4( y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ) : x − y + 3z + 11 = - Cách 2: (P): x − y + 3z + D = ; M (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P): x − y + 3z + 11 = Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ; y ; z0 ) song song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = uu ur r +Cách 1: (P)//(Q) ⇒ VTPT n( P ) = VTPT n(Q ) = ( A; B; C ) (P) : A(x − x ) + B(y − y ) + C(z − z ) = + Cách 2: (P) // (Q) ⇒ (P) : Ax + By + Cz + D ' = 0(D ' ≠ D) ; M ∈ (α) ⇒ D ' ⇒ phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) song song với mặt phẳng (Q): x − y + 3z − = Giải: uu ur r (P) // (Q) ⇒ VTPT n( P ) = VTPT n(Q ) = (4; −2;3) + Cách 1: (P) : 4(x + 2) − 2(y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P) : 4x − 2y + 3z + 11 = Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com + Cách 2: (P ) // (Q) ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + D = 0(D ≠ −5) M (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + 11 = Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với đường thẳng(d)ur uu uu ur + (P) ⊥ (d ) ⇒ VTPT n( P ) = VTCPu( d ) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm x +1 y − z + M (−2;3;1) vng góc với đường thẳng (d): = = −2 Giải: uu ur uu ur (P) ⊥ (d ) ⇒ VTPT n( P ) = VTCPu( d ) = (−2;1;3) ( P ) : −2( x + 2) + ( y − 3) + 3(z − 1) = ⇔ (P ) : −2z + y + 3z − 10 = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai mặt phẳng (P)&(Q) uu ur uu ur uu ur u u u u ur ur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q)   uu ur u u  ⇒ VTPTn (P) =  n(Q) , n(R)  ur +   (P) ⊥ (R) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R)   Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M (−2;3;1) vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0 Giải: uu ur uu ur uu ur uu uu ur ur (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q) = (1; −3;2)   ⇒ VTPTn(P) =  n(Q) , n(R)  = (1;5;7) uu ur uu ur    (P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R) = (2;1; −1)   (P) : (x + 2) + 5(y − 3) + 7(z − 1) = ⇔ (P) : z + 5y + 7z − 20 = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; zB ); C ( xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng: uu ur uu ur uu uu ur ur  AB  ur + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  AB, AC     AC  Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; 0; −1); B(1; −2;3); C (0;1;2) Giải: uu ur uu ur uu uu ur ur  AB = (−1; −2; 4)  ⇒ VTPT n( P ) =  AB, AC  = (−10; −5; −5) ur Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u    AC = (−2;1;3)  Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com (P ) : −10( x − 2) − 5( y − 0) − 5(z + 1) = ⇔ (P) : x + y + z − = Dạng 6: Viết ptmp (P) qua A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; z B ) ⊥ (Q) uu ur  AB uu ur u u u u ur ur  ur (α)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  AB, n(Q )  + Cặp VTCP mặt phẳng    n(Q )  Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; 0; −1); B(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + = Giải: uu ur  AB = (−1; −2; 4) uu ur u u u u ur ur  ur ⇒ VTPT n( P ) =  AB, n(Q )  = (2;5;3) Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u   n(Q ) = (1; −1;1)  (P ) : 2( x − 2) + 5( y − 0) + 3(z + 1) = ⇔ (P ) : x + 5y + 3z − = Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A( x A ; y A ; z A ) ; ⊥ (Q) // với đt (d) uu ur n uu ur uu uu ur ur  (Q ) u u ⇒ VTPT n( P ) =  n(Q ) , u( d )  ur + Cặp VTCP mặt phẳng (P)    u( d )  Áp dụng hai cách viết phương trình mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x + y − z + = song song với đường thẳng (d): Giải: x +1 y − z + = = −2 uu ur n = (1;2; −1) uu ur u u u u ur ur  (Q ) ⇒ VTPT n( P ) =  n(Q ) , u( d )  = (7;1;5) uu ur Cặp VTCP mặt phẳng (P)    u( d ) = (−2;1;3)  ( P ) : 7( x − 1) + ( y + 2) + 5(z − 3) = ⇔ ( P ) : x + y + 5z − 20 = Dạng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt uu ur u uu ur u u u u ur u r  (d ) u u ⇒ VTPT n( P ) =  u( d ) , u( d ')  ur + Cặp VTCP mặt phẳng (P)    u( d ')  + Lấy điểm M0∈ (d) M0 ∈ (d’) Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường x = − t  x − y + z − 12 = = thẳng cắt (d): (d’):  y = + 2t −1 −3 z =  Giải: u ur uu uu ur d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (−1;2; 0) uuu u ur uu uu ur ur MM ' = (0;3; −9); u( d ) , u( d ')  = (6;3;1)   (d ) & (d ') cắt uu uu uuu ur ur u ur u , u  MM ' =  ( d ) (d ')  uu ur u uu ur uu uu ur ur  (d )  u , u  = (6;3;1) ur Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  ( d ) ( d ')  u( d ')   ( P ) : 6( x − 1) + 3( y − 2) + (z − 3) = ⇔ ( P ) : x + 3y + z − 15 = Dạng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song + M1 ∈ (d) , VTCP r r ; , M ∈ (d ') VTCP u d’ ud u u ur uuu M M uu ur u u ur u u u u u ur  M M ,u  ur u u ⇒ VTPT n( P ) = ur + Cặp VTCP mặt phẳng (α)  u u  (d )  ë u( d ) (hoac u( d ') )  Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường x = + t  x − y + z − 12 = = thẳng song song với (d): (d’):  y = − t −1 −3 z = − 3t  Giải: u ur uu d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) uu ur d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (1; −1; −3) uuu u ur uuu uu u ur ur r  MM ', u  = (−18; −9; −3) ≠ MM ' = (0;3; −9); (d )   ⇒ (d ) P(d ') Cặp VTCP mặt phẳng (P) u u ur uuu  M M = (0;3; −9) uu ur u u ur u u u u u ur  ur ⇒ VTPT n( P ) =  M1M , u( d )  = (−18; −9; −3) u u   u( d ) = (1; −1; −3)  ( P ) : −18( x − 1) − 9( y − 2) − 3( z − 3) = ⇔ ( P ) : x + 3y + z − 15 = Dạng 10: Viếtu u r u u trung trực AB u ptmp (P) ur VTPT n( P ) = AB + Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com + Tìm tọa độ trung điểm M0 đoạn AB Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB biết A(1;1; −1); B(5;2;1) Giải: uu uu ur ur VTPT n( P ) = AB = (4;1;2) Trung điểm M0 đoạn AB: M (3; ; 0) 27 (P) : 4(x − 3) + (y − ) + 2(z − 0) = ⇔ (P) : 4x + y + 2z − =0 2 Dạng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A + (d) ∋ M , VTCP r ud u uu uu r M A uu ur u uu u u u u ur r u u u0 ⇒ VTPT n( P ) =  M A, u( d )  r + Cặp VTCP mặt phẳng (P)    u( d )  Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường x − y + z − 12 thẳng (d): = = qua điểm A(1;1; −1) −1 −3 Giải: u ur uu u uu uu r d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; M A = (0;2; −13) Cặp VTCP mặt phẳng (P) u uu uu r  M A = (0;2; −13) uu ur u uu u u u u ur r  ur ⇒ VTPT n( P ) =  M A, u( d )  = (−19; −13; −2) u u   u( d ) = (1; −1; −3)  ( P ) : −19( x − 1) − 13( y − 1) − 2(z + 1) = ⇔ ( P ) :19 x + 13y + 2z − 30 = Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) // ( ∆ ) + Tìm điểm M0∈ (d) uu ur u uu ur u u u u ur ur  (d ) u , u  ur + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  ( d ) ( ∆ )  u( ∆ )   Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng (d): x y z = = ; (∆ ) 1 x + y z −1 = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) song song với (∆) −2 1 Giải: uu ur u = (1;1;2) uu ur uu uu ur ur  (d ) ⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , u( ∆ )  = (−1; −5;3) ur Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u   u( ∆ ) = (−2;1;1)  Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - hoctoancapba.com Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz uu ur (d) ∋ M = (0; 0; 0) Mặt phẳng (P) qua M0 có VTPT n( P ) = (−1; −5;3) ⇒ (P) : −1(x − 0) − 5(y − 0) + 3(z − 0) = ⇔ (P) : x + y − 3z = Dạng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) ⊥ (Q) + Tìm điểm M0∈ (d) uu ur u uu ur uu uu ur ur  (d ) u , n  ur + Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) = ( d ) (Q )   n(Q )   Áp dụng hai cách viết phương trình mp (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = mặt −3 phẳng (Q) : 2x + y + z − = Viết phương trình mp (P) chứa (d) vng góc với mp (Q) Giải: uu ur (d) ∋ M(1; 0; −2) VTCP u (d) = (2;1; −3) uu ur u = (2;1; −3) uu ur u u u u ur ur  (d ) u , n  = (4; −8; 0) ⇒ VTPT n( P ) = ( d ) (Q ) ur Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u   n(Q ) = (2;1;1)   (P) : 4(x − 1) − 8(y − 0) + 0(z + 2) = ⇔ (P) : 2x − 4y − = Dạng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 d(A;(P))=h A(x A ; y A ; zA ) cho trước + Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong D’ ≠ D) + Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D’ Kết luận pt mặt phẳng (P) Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = điểm A(3; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) d(A;(P))=2 Giải: Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = ( D ≠ - 3) d(A;(P))=2 ⇔ 3+ D  D = −9(n) = ⇔ 3+D = ⇔   D = 3(n) Vậy (P1 ) : x − 2y + 2z − = 0;(P2 ) : x − 2y + 2z + = Dạng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) d(A,( P))=h; A( x A ; y A ; z A ) r + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d uu uu ur ur + Vì (d) nằm (P) ⇒ n (P) ⊥ u(d) r ⇔ u d r n ( P ) = (1) + PT mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz hoctoancapba.com + d(A,( P)) = h (2) + Giải (1); (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ, ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d): x −1 y z + = = điểm −3 A(3;1;1) Viết pt mp (P) chứa (d) d (A,( P))= Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uu ur (d) ∋ M (1; 0; −2) VTCP u (d) = (2;1; −3) uu uu ur ur Vì d ⊂ (P)d ⇒ n (P) ⊥ u(d) ⇔ 2A + B − 3C = ⇒ B = 3C − 2A ( ) () (P): A(x − 1) + B(y − 0) + C(z + 2) = ⇔ Ax + By + Cz − A + 2C = d(A,( P))= ⇔ 2A + B + 3C 2 A +B +C = ⇔ 2A + B + 3C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ C = 5A − 12AC + 10C2   A = C 2 ⇔ 5A − 12AC + 7C = ⇔  A = C   *A = C choïn A=C=1 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y+z+1=0 *A = C choïn C=5;A=7 ⇒ B = ⇒ (P):x+y+z+3=0 Dạng 16: Viết Pt mp (P) chứa r hợp với mp (Q) góc α ≠ 900 (d) + Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r + Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = (1) + cos ((P),(Q))= cos α (2) + Giải (1) ; (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = x +1 y − z + = = Viết phương trình mp (P) chứa (d) hợp với −1 −1 mp (Q) góc α thỏa cos α = đường thẳng (d): Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uu ur (d) ∋ M (−1;2; −3),VTCP u(d) = (1; −1; −1) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 10 - hoctoancapba.com Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz r Vì d ⊂ (P) ⇒ u d cos r n ( P ) = ⇔ A − B − C = ⇒ A = B + C (1) uu uu ur u r ,n (Q) ) = ⇔ (P) α ( ( P ) , ( Q ) ) = cos  ⇔ cos(n A + 2B + C A + B2 + C2 = ⇔ A + 2B + C = A + B2 + C2 (2)  B = −C (1)Λ(2) ⇒ 4C − 3B = A + B + C ⇔ 8B + 11B + 3C = ⇔     B = −3 C   2 2 *B = −C choïn B=1;C=-1 ⇒ A=0 ⇒ (P):(y-2)-(z+3)=0 ⇔ (P):y-z-5=0 −3 C choïn B=3;C=-8 ⇒ A=-5 ⇒ (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0 ⇔ -5x+3y-8z-35=0 Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) hợp với đth( ∆ )một góc α ≠ 900 r α ) n ( P ) = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ + Gọi VTPT mp ( *B = r + (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r r + Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = (1) + sin ((P),( ∆ )) = sin α (2) +Giải (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) (∆) có x−2 z+5 = y −3= Viết phương trình −1 mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với (∆) góc 300 phương trình: (d): x = y−2 = z −1 (∆) : Giải: r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ uu ur uu ur ∋ M1 (0;2; 0) VTCP u(d) = (1; −1;1) ; (∆) ∋ M (2;3; −5) VTCP u = (2;1; −1) d) (∆) r r Vì d ⊂ (P) ⇒ u d n ( P ) = ⇔ A − B + C = ⇒ B = A + C (1) uu uu ur ur sin ((P),( ∆)) = sin30   cos(n (p); u ( ∆ ) ) = sin 30 ⇔ ⇔ 2A + B − C A + B2 + C2 = ⇔ 2A + B − C =   A + B2 + C2  (2)    A = C (1)Λ(2) ⇒ 3A = A + (A + C) + C ⇔ 2A − AC − C = ⇔     A = −1 C   2 2 *A = C choïn A=C=1 ⇒ B=2 ⇒ (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 ⇔ (P):x + 2y + z − = *A = −1 C choïn C=-2;A=1 ⇒ B=-1 ⇒ (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x − y − 2z + = Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 11 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com Dạng 18: Cho A (xA; yA; zA) (d), viết PT mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn + Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) + Ta có: d (A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H u u ur + Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT  x = −1 − 2t  Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d):  y = t z = 1+ t  điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) cho d (A, (P)) lớn hoctoancapba.com Giải: Gọi H hình chiếu ⊥ A lên (d) Ta có: d (A, (P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A, (P)) max ⇔ AK ur AH ⇔ K ≡ H u= u Mp (P) qua H nhận AH làm VTPT uu ur H ∈ (d) ⇒ H(−1 − 2t; t;1 + t) ⇒ AH = (−2 − 2t; t − 2; t − 2) uu uu ur ur Vì H=hc(d) (A) ⇒ AH ⊥ u (d) = ( −2;1;1) ⇔ 6t = ⇔ t = uu uu ur ur ⇒ H(−1; 0;1) ⇒ VTPT n (p) = AH = (2;2;2) ⇒ (P) : 2(x + 1) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = ⇔ (P) : x + y + z = Dạng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = (D’ ≠ D) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R ⇒ tìm D' + Từ ta có pt (P) cần tìm Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải: (S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 ⇒ I(−1;2;1) BK R=5 Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x - 2y + 2z + D = (D ≠ -3) D−3  (P)tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ d I, ( P ) = R ⇔ = ⇔ D − = 15  D = 18 ⇒ P1 : x − 2y + 2z − 12 = ⇔  D = −12 ⇒ P2 : x − 2y + 2z + 18 =  ( ) ( ) ( ) Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 12 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com +Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r + d(I,(P)) = R − r (1) + Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' ≠ D) + Suy d (I,(P)) (2) ⇒ ( 1) Λ ( )  ⇒ D' ⇒ pt (P)   Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + = mặt cầu (S): x + y + z − x + y + z − = Viết pt mp(P) // (Q cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r = Giải: (S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 ⇒ Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x+y-2z+D = (D ≠ 4) ( d I, ( P ) )  D = −1 + 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − + 30 = = R − r   + D = 30 ⇔  ⇔  D = −1 − 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − − 30 =  2 Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)không cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) r + (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d r n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ + Gọi VTPT mp (P) =>pt mp (P) qua M0: A(x-x0)u uB(y-y0) + C(z-z0) = u u ur ur + + (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n (P) = (1) + Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) + Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) hoctoancapba.com+Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + = x −1 y z + ( d ) : Viết pt mp (P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) = = −1 Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z ur = ⇒ tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3) u-u (d) ∋ M (1; 0; −2),VTCP u (d) = ( −1;1;4) r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ ⇒ mp(P) qua điểm M0: (P): A(x -1) + ur u–r0) + C(z +2) = ⇔ Ax + By + Cz -A +2C = uB(y u u u ⊂ (P) ⇒ u(d) n(P) = ⇔ − A + B + 4C = ⇒ A = B + 4C (1) (d) (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇔ 5C − 2B = A + B2 + C2 (2) Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 13 - Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz hoctoancapba.com (1)Λ(2) ⇒ 5C − 2B = 2B2 + 8BC + 17C2 ⇔ 14B2 + 92BC + 128C2 =    B = −2C ⇔  B = −32 C   *B = −2C choïn B=-2; C=1 ⇒ A=2 ⇒ (P):2x-2y+z=0 *B = −32 C choïn B=32;C=-7 ⇒ A=4 ⇔ (P): 4x+32y-7z-18=0 Dạng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi) cho trước + Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) hoctoancapba.com + Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r diện tích S = π r tính r r +(d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d r + Gọi VTPT mp (P) n (P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ 0, =>pt mp (P) qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = ur r u + Vì d ⊂ (P) ⇒ ud n ( P )=0 (1) + Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) +Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C ⇒ pt mp (P) Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x−3 y z−4 x + y + z − x + y + z − = ( d ) : Viết pt mp (P) chứa = = −1 (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r = Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z u = ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = u +1) ur (d) ∋ M (3; 0;4),VTCP u(d) = (3; −1;1) r Gọi VTPT mp (P) n ( P ) = (A; B; C) với đk A2 + B2 + C2 ≠ =>pt mp (P) qua M0 (P): A(x - 3) +ur u u0) + C(z - 4) = ⇔ Ax + By + Cz –3A – 4C = u B(yur u (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) n (P) = ⇔ 3A – B + C = ⇒ B = 3A + C (1) Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r ⇔ 2A + 2B + 5C = A + B2 + C2 (2) (1)Λ(2) ⇒ 8A + 7C = 10A + 6AC + 2C2 ⇔ 4A + 76AC + 37C2 =    −1  A = C choïn A=1; C=-2 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y-2z+5=0 ⇔  B = −37 Cchoïn A=37;C=-2 ⇒ B=109 ⇔ (P): 37x+109y-2z-103=0   Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 14 - hoctoancapba.com Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz Dạng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính nhỏ ((d) cắt mặt cầu) +Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) + Bán kính r = R − d (I,(P)) +Để r ⇒ d(I,(P)) max + Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) +Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) +Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK ur AH ⇔ K ≡ H = u + Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT ⇒ pt mp(P) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x −1 y +1 z x + y + z − x + y + z − = ( d ) : = = Viết pt mp (P) chứa (d) −1 cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có bán kính r nhỏ Giải: (S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = uu ur u ur uu u ur u u u u ur IM , u  = (2;2; −2) (d) ∋ M (1; −1;0),VTCP u (d) = (2; −1;1); IM = (0;1;1);  (d)  u ur u u u u ur  IM , u   (d)  d(I,(d)) = = < R ⇒ (d) cắt mặt cầu uu ur u(d) Bán kính r = R − d (I,(P)) = − d (I, (P)) hoctoancapba.com Để r ⇒ d(I,(P)) max Gọi H hình chiếu ⊥ I lên (d) ; K hình chiếu ⊥ I lên (P) Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc đường xiên) Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AKu= AH ⇔ K ≡ H u r Mp(P) qua H nhận IH làm VTPT Gọi (Q) làrmặt phẳng qua điểm I vng góc vơi (d) ⇒ VTPT n ( Q ) =(2;-1;1) ⇒ (Q) 2x –y +z – 3=0; H hình chiếu ⊥ I lên (d); tọa độ điểm H lả x =  x −1 y +1 z = =   ⇔  y = −1 ⇒ H(1; −1;0) −1 nghiệm hệ phương trình:  2x – y + z – = z =   r ur u ⇒ VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1) (P): (y + 1) + (z – 0) = ⇔ y + z + = C KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: Lớp Điểm TB Sĩ số (5 đến 6,4) 12A10 35 SL % 13,2 Người thực hiện: Điểm (6,5 đến 7,9) Điểm giỏi Đạt yêu cầu (từ trở lên) SL SL 29 % 10,5 % 76,3 Nguyễn Bá Tường - Trang 15 - SL 35 % 100,0 Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng không gian Oxyz hoctoancapba.com D KẾT LUẬN: Các tập Viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz, thường học sinh giả thiết nào?, giảng dạy xong đề tài học sinh thấy việc tìm lời giải tốn viết phương trình mặt phẳng, giải nhiều tốn viết phương trình mặt phẳng Đồng thời đứng trước tốn khó cho dù dạng viết phương trình mặt phẳng học sinh có hướng suy nghĩ tập tính tốn, em có tự tin giải tốn viết phương trình mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng chủ đề khơng khó, để giúp học sinh phát triển tư sáng tạo đề tài cịn tiếp tục phát triển sang việc tìm lời giải tốn viết phương trình mặt phẳng nhờ dạng toán hoctoancapba.com E.TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa lớp 12 THPT hoctoancapba.com Phương pháp giải tốn hình học giải tích khơng gian Trần Đức Hun Hướng dẫn giải tốn hình học giải tích Nhóm giáo viên trung học phổ thông Người thực hiện: Nguyễn Bá Tường - Trang 16 - ... tài ? ?Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz? ?? giúp học sinh không bị lúng túng trước tốn viết phương trình mặt phẳng chương trình BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG. .. tốn viết phương trình mặt phẳng dạng phương trình mặt phẳng có nhiều dạng Để giúp học sinh giải tốt tập viết phương trình mặt phẳng thường gặp chương trình lớp 12 nên chọn đề tài ? ?Rèn luyện kỹ viết. .. % 76,3 Nguyễn Bá Tường - Trang 15 - SL 35 % 100,0 Rèn luyện kỹ viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz hoctoancapba.com D KẾT LUẬN: Các tập Viết phương trình mặt phẳng khơng gian Oxyz, thường