Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn thạc sĩ toán học: Phương pháp xác định phương trình dạng ẩn cho đường cong và mặt tham số hữu tỷ
Phl;t ll;tc A " " " "A? ? ,./' THU~TTOANTINHB~CANCUAD~NGTHAMSO Chung ta bier ding yoi m6i d~;lllgtham s6 hoa cua m~t huu ty se t6n t(;limOt s6 nguyen n ~ cho mOt diSm tren m~t tu'dng ling yoi n gia tri tham s6 s6 n du'QcgQi 1fts6 tu'dng ling cua d(;lngtham s6 boa Khi n = ta ~ noi d(;lng tham s6 hoa 1ft chinh qui, ngu'Qc l(;li 1ftkhong chinh qui Theo Dinh 19 Bezout [14], b~c cua da thlic f b~ng s6 giao diSm cua m~t d(;li s6 f =0 yft hai m~t ph~ng Nhu'ng giao cua hai m~t ph~ng 1ft mOt du'ong th~ng, y~y su dvng hai du'ong th~ng khac chung ta se Hnh du'Qcb~c cua da thlic f Thm}t toan A.I Tinh b~c in cua m~t tham s6 huu ty (1.3) [4] Nh4p: Cac da thlic a,b,c,d E k[s,t] Xudt: I Ia b~c in cua m~t tham s6 huu ty (1.3) Rude 1: TIm biSu di~n in cua mOt du'ong th~ng toy ca:t m~t tham s6 huu ty alx + (31Y+ "YlZ+ 81 = a2x Rude 2: + (32Y+ "f2Z + 82 = o Cac gia tri s tu'dng ling yoi cac giao diSm cua du'ong th~ng Rude yoi m~t tham s6 1ft nghi~m cua k~t thuc h(s) = Res(ala + (31b+ "flC+ 81d,a2a + (32b+ "f2C+ 82d,t) Rude 3: Neu m~t tham s6 co chlia cac diSm co so thl h(s) co cac nghi~m ngo(;li lai DS lo(;li bo chung, chung ta Hm biSu di~n in cua mOt du'ong th~ng toy Rude Ia alx khac + !31Y+ ilZ + 81= yoi du'ong th~ng a2x + !32Y + i2Z + 82 = o Rude 4: Tu'dng tv xac dinh da thlic co cling s6 nghi~m ngo(;lilai yoi 41 da thuc h(s) Budc Ia fi(s) = Res(ala + ,BIb+ "YIC + 81d, a2a + ,B2b + "Y2C+ 82d, i) Budc 5: Xua't l:= deg(h(s)) - deg(gcd(h(s),fi(s))) Ph1;t l1;tc B CACTHU!TTOANCOBANvtMATR!NDATHDc Trang ph§n chung toi se trinh bay tom tilt mQt s6 khai nit?m va cac thu~t roan Hnh roan cd ban vS ma tr~n da thuc lam cd sd cho vit?c xa~ dinh modun syzygy [14, 19] Ma tr~n F ca'p m x l voi cac ph§n td' thuQc k[xl' ,xIJ duQc gQi Ia ma tr~n da thuc, ky hit?u FE k1nXI[Xl"",Xn] Ma tr~n F co h~ng Ia T', ky hi~u rankF = T', ne'u tan t~i mQt dinh thuc ca'p T' khac khong va ta't ca cac dinh thuc ca'p T'+ dSu b~ng khong Ne'u rank(F) = min(m, l) ta noi F 1a h~ng d§y duo B~c cua F, ky hit?u deg(F), 1a gia tri IOn nha't cua b~c cua cac ph§n td' cua F Cho ME k1nX1n[Xl"",XIJ,khi dinh thuc cua M 1a mQt da thuc thuQc k[Xl"",Xn]' Ta noi M khong suy bie'n ne'u det(M) +=O Ne'u det(M) Ia mQt h~ng khac khong thuQc k ta noi M Ia ddn modun Djnh nghia B.l Cha FE k1nXI[Xl' ,xnJ,m < l Khi F dll(1CgQi [a: (1) Nghi~m nguyen ((5 trai (ZLP) ntu khong t6n tCfimQt n-bQ (zf, , z~) E kn [a nghi~m chung cila tat cd cac dinh thac can cap m cila F (2) Dinh thac nguyen t6 trai (MLP) ntu tat cd cac dinh thac can cap m cila F nguyen to' cung (3) Thaa s6 nguyen t6 trai (FLP) ntu F = ~F;, trangdo ~ dan modun Cac khai ni~m nghi~m nguyen t6 phdi (ZRP), dinh thac nguyen t6 phdi (MRP) va thaa s6 nguyen tlf phdi (FRP) dU:(lcdinh nghia tllang fT! 43 Vdi n = 1,2 thl MLP va MRP $ FLP Vdi n 2:: FLP va MRP FRP Vdi n 2:: thl MLP $ FLP thl MLP ~ FLP va MRP ~ FRP [18] B.I Phan tich nhan tii'ma tr~n da thuc ~ Thu~t tmin B.l Phan tich nhan tii' tnii cho ma tr~n da thuc hai bie'n h~ng d~y du [12, 16] < l Nhljp: Ma tr~n FE kmXI[XpX2Jco h~ng d~y du, m Xudt: Hai ma tr~n L E kmxm[xpx2J, R E kmXI[XpX2JsaD cho F = LR va det L = vdi E k[XIJIa dung cua tide chung ldn nha't cua cae dinh thuc ca'p m cua F BucJe 1: TIm da thuc E k[XIJIa dung cua tide chung ldn nha't cua cac dinh thuc ca'p m cua F Phan tich tich cua cae da thuc ba't kha guy trang k[XIJ L = 1m;R = F Bude 2: Ne'u da: xet he't cae ph~n ba't kha guy thl de'n Rude NgtiQc I~i, vdi ph~n ba't kha guy p E k[XIJ i Rude 3: = 1; j Trang ma tr~n = 1; R = R (mod p ) R, ne'u t6n t~i mQt hang io, vdi i < io < m, ma ta't ca cae ph~n tii' deu b~ng kh6ng thl Do = diag(l, ,p, ,l) Ia mQt tidc trai cua F L = LDo; R = D;;lR Quay I~i Bude vdi ph~n ba't kha guy ke'tie'p 44 BUdC 4: R, tlm cQt jo d~u tien, vdi j < jo < l, co it nha't Trang ma tr~n mQt ph~n ta khac kh6ng cac hang tu i de'n m = )0' ) BUdC 5: Trang cQt j cua ma tr~n R, tu hang i de'n m Hmph~n ta co ~ b~c theo x2 nho nha't, gQi la Rj~' D~t D1 la ma tr~n co du l Nhqp: Ma tr~n P E k1nXl[Xp X2]co h(;lng dfiy du, m Xudt: Hai ma tr~n L E k1nXl[X1' X2]' R E k1Xl[X1' X2] cho P = LR va det R = g voi g E k[X1]la dung cua uoc chung IOn nha't cua cac dinh thuc ca'p l cua P RUdC 1: Di;it p' = pT E k1X1n[X1' X2]' dung Thu~t roan B.1 tlm hai ma tr~n L' E k1Xl[X1' X2] va R' E k1X1n[xp X2]sao cho p' RUdC 2: Ta co (pT)T = pIT = (L'R')T hay P = R'TLff = LR Di;it L = R'T;R = Lff RUdC 3: = L'R' Xua't L, R B.2 Tim d~ng Hermite 46 Cho ma tr;%n F E k1nXI[Xl'X2]' d,.lllg Hermite cua F la ma tr;%n H = UF vdi hij = nSu i > j va degx2 hii > degx2hij nSu i < j, U E k1nX1n[xl' X2] va ddn modun Sa dl;lllgky thu;%tkha Gauss de tim d~ng Hermite cho tru'ong hQp mQt biSn [12], ta co thu;%ttoan sau Thu~t toan B.3 Tim d~ng Hermite cho ma tr;%nda thti'c hai biSn h~ng d~y du [12, 14, 19] Nhqp: Ma tr;%nF E k1nXI[Xl' X2]co h~ng d~y duo Xudt: Ma tr;%nHermite HE k1nXI[Xl'X2]cua F Bu(]c 1: Xem F E k1nX\Xl)[X2]'sa d\lng ky thu;%tkha Gauss ta tim du'Qc ma tr;%nHermite II E k1nXI(Xl)[X2]cua F va ma tr;%n E k1nX1n( Xl)[X2] cho II = OF Bu(]c 2: GQi hi vdi i = 1, , m la bQi chung nho nha't cua cae m§:uthti'c hang thti' i D~t D = diag(~, ,h1n)' H=DH;U=DU Bu(]c 3: Xua't H B.3 Rut trich tide chung IOn nha't A, B la hai ma tr;%nda thti'c cung sO'hang (cQt) A, B du'QcgQi la nguyen to' cung trai (phai) nSu t6n t~i hai ma tr;%n A, B va ma tr;%nda thti'c ddn modun C cho A = CA,B = CB (A = AC,B = BC) 47 Ma tr;%nda thuc vuong D duQc gQi la uoc chung tnii (phiii) IOn nha't cua A va B ne'u tan t~i hai ma tr;%nda thuc 1, cho A 13nguyen to' cung trai (phiii) = DA,B = DB (A = AD,B = BD) Thu~t tmin B.4 TIm uoc chung phiii Ion nha't cua hai ma tr;%nda thuc [12, 16] ~ Nhqp: Hai ma tr;%n da thuc A E kmXI[Xl'X2] va B E knXI[XpX2] cho (AT,BT)T E k(m+n)xl[Xl,X2]la h~ng d~y duo Xu{{t: Ma tr;%nda thuc DE kIXI[Xl,X2]la uoc chung Ion nha't phiii cua A va B RUdC1: Dung Thu;%ttoan B.2 phan tfch nhan tu phiii ma tr;%n = [~]R [~] RUdC 2: Dung Thu;%ttoan B.3 tlm d~ng Hermite cua ma tr;%n (iF, IF)T u[~J = [~J RUdC3: Dung Thu;%ttoan B.l phan tich nhan tu trai ma tr;%n Rv RUdc 4: Xua't D = LR = RR B.4 Dc) phuc t~p Hnh toaD BQ phuc t~p cua Thu;%ttoan BA phl;1thuQc vao dQ phuc t~p cua Thu;%t toan B.l d RUdC1 va va dQ phuc t~p cua Thu;%ttoan B.3 d RUdC2 Cac Thu;%t toan B.l va B.3 d€u duQc xay d1.,1'ng d1.,1'a tren cach tie'p c;%nc6 dien la phuong phap khii' Gauss Banh gia dQ phuc t~p cua Thu;%ttoan B.l khong don giiin 48 nhrtng chUng ta co th€ thiy cd ban no se g6rn di) ph",c taP d€ Hnh (7] dinh thuc ca'p m d Budc va dQ phuc t""p cua cac bu'oc khii' Gauss I""i Nhu' v~y dQ phuc t""p cua Thu~t roan B.I cling Ia mQt ham da thuc theo m, Z DQ phuc t~p , cua Thu~t roan B.3 Ia O(mZ2d2)[20], d Ia b~c cua ma tr~n da thuc V~y dQ phuc t""pcua Thu~t roan BA Ia mQt ham da thuc Phl;t ll;tc C A "" ? THU~T TOAN XAC DJNH JL-COSO Trang ph~n chung Wi trlnh bay thu~t toan tim f.L-cdsd cua duong cQng ph~ng va m~t thalli s6 hull ty duqc sa d1;lllgtrong Thu~t toan 3.3 va 3.4 Chuang c.t Thn~t toaD Om p,-cd sO'cua du'ong cong tham s(f hun ty phdng Cd sd de xay dl;1'ngthu~t toan xac dinh f.L-cd sd cua duongcong thalli s6 hull ty ph~ng la cac ke't qua sau Dinh Iy C.t Cho p, q E Syz(a,b,c) la hai dudng thdng di d(}ng sinh dudng Gong tham sf;' (1.2) bfjc n Gid sii deg(p) < deg( q), p va q tCJothanh f.L-casO cua dudng Gong(1.2) niu va chi niu m(}t cac ddu ki~n sau thoa (1) M(}t dudng thdng di d(}ng L sinh dudng Gongtham s{f (1.2) co thi duf/c biiu diln boi (2.3) wii deg(~p) :::;deg(L) va deg(h2q) < deg(L) (2) M(}t dudng thdng di d(}ng L sinh dudng Gong tham s{f (1.2) co thi duf/c bilu diln boi (2.3) va hai vectd LV(p) va LV(q) d(}c lfjp tuyin tinh tren JR (3) M(}t dudng thdng di d(}ng L sinh dudng Gong tham s{f (1.2) co thi duf/c bilu diln boi (2.3) va deg(p) + deg(q) = n Chung minh: xem [2, tr 374] M~nh d~ C.2 (1) Modun syzygy Syz(a,b,c) cua dudng Gong tham s{f hilu ty phdng (1.2) duf/c 50 sinh biJi ba duilng thling di dQng VI = (-b, a,0), V2= (-c, 0,a) va V3= (D,c, -b) (2) rank(vI,v2,V3)=2 (3) rank(LV(vI)' LV(V2)'LV(vJ) = Chung minh: xem [2, tr 376 - 377] Thu~t toaD C.l Tim p,-ed sa eua dttong eong tham s6 huu ty phing [2] Nh(jp: Cae da thlie a,b,c E k[t] Xudt: Hai da thlie p, q E k[x, y, t] 13.p,-ed sa eua dttong eong tham s6 huu ty phing Rude 1: Df;it VI = (-b,a,D), V2= (-c,D,a), V3= (D,c,-b); mI = LV(VI)' m2=LV(v2)' m3=LV(v3)' Rude 2: Df;it ni = deg(vi)' vdi i = 1,2,3 Khong ma't tinh tang quat, ta siip xe'p 1~i cae Vi theo thli t1! giam d~n eua cae ni Rude 3: Tim cae s6 th1!e aI' a2' a3 (co it nha't s6 khae thong) eho aImI + a2m2 + a3m3 Rude 4: Ne'u al -:;r: V1 Ne'u al = D D thi a 1V1 + a 2tnl-n2v ~ = LV(VI); nI = deg( + a tnl-n3v 3' VI)' = D a2,a3 -:;r: thi V2 r" V "'2 + a3 t n2-n3V3'' 51 m2 n2 Buac 5: = LV(V2); = deg( V2) Ne'u mQt cac Vi = 0, gia SITla VI= 0, thl d~t p = V2va q = V3 Ia hai da thuc t