Trường THPT Lam Kinh THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề). Câu 1 (4.0 điểm). Cho hàm số 21 2 x y x    (1). a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu 2 (2.0 điểm). a. Giải phương trình cosx cos3x 1 2sin 2x 4         . b. Giải phương trình 1 2 1 log 1 log 6xx   Câu 3 (1.0 điểm). Giải bất phương trình 2.14 3.49 4 0 x x x    Câu 4 (4.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, 120 o ACB  . Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30 0 . Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a. Câu 5 (1.0 điểm). Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x        2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC   . Câu6 (2.0 điểm). Tính nguyên hàm   xdxe x )2015( Câu 7 (2.0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. Câu 8 (2.0 điểm). Giải hệ phương trình: 22 22 14 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y            ( , )xyR . Câu 9 (2.0 điểm). Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 bc a a b a c a b c a c a b               HẾT… Họ tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015) Câu Đáp án Điểm Câu 1 (4.0đ) a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 21 2 x y x    . i/ TXĐ: D = R\{-2} ii/ Sự biến thiên + Giới hạn- tiệm cận Ta có:     22 lim;lim;2limlim xx xx yyyy Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2. 0,5 + Chiều biến thiên. Có Dx x y    0 )2( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )2;(  và );2(  0,5 + Bảng biến thiên x  -2  y’ + +  2 y 2  0,5 iii/ Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 2 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( 2 1  ;0) Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 2 1 0,5 b. (2.0 đ) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình         )1(021)4( 2 2 12 2 mxmx x mx x x 0.5 Do (1) có mmmvam  0321)2).(4()2(01 22 nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. 0.5 Ta có: y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) mà AB ngắn nhất khi AB 2 nhỏ nhất, đạt được khi m = 0 ( khi đó 24AB ). 1.0 x y O 2 -2 2 Câu2 (2.0đ) a. (1.0đ) Giải phương trình cosx cos3x 1 2sin 2x 4         . cosx cos3x 1 2sin 2x 4 2cosxcos2x 1 sin2x cos2x              2 2cos x 2sinxcosx 2cosxcos2x 0   0.25    cosx cosx sinx 1 sinx cosx 0     0.25 cosx 0 cosx sinx 0 1 sinx cosx 0             0.25 xk 2 xk 4 x k2 3 x k2 2                            k  Vậy, phương trình có nghiệm: xk 2 xk 4 x k2                      k  0.25 b. (1.0 đ) Giải phương trình 1 2 1 log 1 log 6xx   ĐK: x > 0 và x  1; x  10 1 0.25 Đặt t = logx, được phương trình theo ẩn t là: t 2 - 5t + 6 = 0 (với t  0 và t  -1) 2 3 t t       0.5 Với t = 2 thì ta có x = 100 (t/m) Với t= 3 thì ta có x = 1000 (t/m) Vậy phương trình có hai nghiệm là x =100 và x = 1000 0.25 3 Câu3 (1.0đ) Giải bất phương trình sau 2.14 3.49 4 0 x x x    Chia cả hai vế của bpt cho 4 x được bpt 2 77 2 3 1 0 22 xx                 0.25 Đặt 7 2 x t     (với t > 0 ) Bpt trở thành 3t 2 + 2t – 1  0 1 1 1 3 3 t t t          0.5 71 23 x     7 2 log 3x   KL: BPT có tập nghiệm         ;3log 2 7 S 0.25 Câu 4 (4.0đ) 0.5 Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CH  AB ;CH  AA’ suy ra CH  (ABB’A’),Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc 0 ' 30CA H  0,5 Ta có 2 0 13 . .sin120 22 ABC a S CACB   Trong tam giác ABC : 2 2 2 0 2 2 . . os120 7 7AB AC BC AC BC c a AB a      0,5 +) 2 3 1 3 . 2 2 7 ABC a S ABCH CH a      0,5 30 0 M H C / B / A / C B A 120 0 2a a 4 +) 0 3 ' .sin30 ' 2 7 CH A C A C a   +) 22 5 '' 7 AA A C AC a   0,5 +) 3 ' ' ' 15 '. 27 ABCA B C ABC a V AA S   0,5 +)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))= 3 7 a 1.0 Câu 5 (1.0đ) Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x        2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC   . Ta có 3),2)(1()1( 6 )1(()1( .424 323 1     nnnnnn nnn ACC nnn 0,25 11 )2(33)1(2   n nn 0,25 Khi đó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2                     k kkk k k kk xC x xC x x Số hạng chứa 7 x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322  kk Suy ra hệ số của 7 x là .14784)2.( 55 11 C 0,5 Câu 6 (2.0đ) Tính nguyên hàm   xdxe x )2015( Đặt      dxedv xu x )2015(       xev dxdu x 2015 0,5 Khi đó   xdxe x )2015( =   dxxexex xx )2015()2015( 0,5 ) 2 .2015(2015 2 2 x exxe xx  + C 0,5 Cxexe xx  2 2 2015 0,5 5 Câu 7 (2.0đ) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. Ta có:   1;2 5AB AB    . Phương trình của AB là: 2 2 0xy   . 0,5     :;I d y x I t t   . I là trung điểm của AC và BD nên ta có:     2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t . Gọi CH là đường cao kẻ từ đỉnh C của hình bình hành Theo giả thiết D .4 ABC S ABCH 4 5 CH . 0,5 Ta có:       4 5 8 8 2 ; , ; | 6 4| 4 3 3 3 3 3 ; 55 0 1;0 , 0; 2 t C D t d C AB CH t C D                            Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 CD             hoặc     1;0 , 0; 2CD 1.0 Câu8 (2.0đ) Giải hệ phương trình: 22 22 14 ( ) 2 7 2 x y xy y y x y x y            , ( , )xyR . NX: hệ không có nghiệm dạng (x 0 ;0) Với 0y  , ta có: 2 22 22 2 2 1 4 14 . ( ) 2 7 2 1 ( ) 2 7 x xy y x y xy y y x y x y x xy y                           0.5 Đặt 2 1 , x u v x y y     ta có hệ: 22 4 4 3, 1 2 7 2 15 0 5, 9 u v u v v u v u v v v u                        0,5 +) Với 3, 1vu ta có hệ: 222 1, 2 1 1 2 0 2, 5 3 3 3 xy x y x y x x xy x y y x y x                           . KL: Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5). 0,5 +) Với 5, 9vu   ta có hệ: 222 1 9 1 9 9 46 0 5 5 5 x y x y x x x y y x y x                     , hệ này VN. KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1;2), ( 2;5)}.xy 0,5 6 Câu 9 (2.0đ) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 bc a a b a c a b c a c a b               Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: a b c b c a c a b         . Đặt   , , , , 0 , , 22 a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y             . Viết lại vế trái: 2 3 3 2 a b a c a VT a c a b a b c xyz y z z x x y               0,5 Ta có:     2 2 zz x y z z x y z z x y x y z x y             . Tương tự: 22 ;. x x y y y z x y z z x x y z        Do đó:   2 2 x y z xyz y z z x x y x y z           . Tức là: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 bc a a b a c a b c a c a b               0,5 . Trường THPT Lam Kinh THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2 015 Môn: Toán Thời gian: 18 0 phút ( không kể thời gian phát đề) . Câu 1 (4.0 điểm). Cho hàm số 21 2 x y x    (1) Ta có 3),2) (1( )1( 6 )1( ( )1( .424 323 1     nnnnnn nnn ACC nnn 0,25 11 )2(33 )1( 2   n nn 0,25 Khi đó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 11 2 11 11 2                     k kkk k k kk xC x xC x x . .14 784)2.( 55 11 C 0,5 Câu 6 (2.0đ) Tính nguyên hàm   xdxe x )2 015 ( Đặt      dxedv xu x )2 015 (       xev dxdu x 2 015 0,5 Khi đó   xdxe x )2 015 (