Phòng GD&ĐT diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Trờng THCS diễn kim Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 1: Thực hiện phép tính: a) 012151617 222 222 . b) )12) (12)(12)(12.(3 64842 ++++ . Câu 2: a) Cho ba số dơng cba ;; thoả mãn điều kiện 2 1 =cba . Chứng minh rằng: 16)2).(2).(2( +++ cba . b) Cho hai số yx, thoả mãn điều kiện: 1=+ yx . Chứng minh rằng: 2 1 33 ++ xyyx . c) Chứng minh rằng: Nếu 6=++ zyx thì )3)(2)(1.(3)3()2()1( 333 +++=+++++ zyxzyx . Câu 3: Giải phơng trình: a) 0158148 234 =++ xxxx . b) 12)2)(1( 22 =++ xxxx . Câu 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) xyzyxzxzyzyx 4)()()( 222 +++++ . b) ))(())(())(( badcabcadbaccbdabc ++++ . Câu 5: Cho góc vuông xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 4cm. Trên tia đối của tia Ox lấy điểm B sao cho OB = 2cm. Đờng trung trực của AB cắt AB ở H, M là một điểm trên đờng trung trực đó. Các tia AM, MB cắt Oy lần lợt ở C và D. Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là trung điểm của đoạn BD. a) Chứng minh rằng : Các tam giác MAB, BFO, OEA đồng dạng. Tính tỷ số đồng dạng trong mỗi trờng hợp. b) Tứ giác OEMF là hình gì ? Vì sao? c) EF cắt AB ở P. Tính PA PO . d) Cho HM = 3 cm . Tính diện tích tứ giác OEMF. ======= Hết ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Huyện thanh chơng Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bi 1: (1,0 im). Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: 1 a) x 2 x 12; b) x 2 + 2xy + 4y 4; Bi 2: (2,5 im). Cho biu thc: P = 4 2 2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) ( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + + + + ì + a. Tỡm x P xỏc nh. b. Rỳt gn P. c. Tỡm giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn? Bi 3: (2,5 im). a) Cho a thc ( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + + . Tỡm s d trong phộp chia a thc Q cho a thc 2 12 32x x+ + . b) Chng minh bt ng thc: 1 1 4 a b a b + + . Vi ;a b l cỏc s dng. p dng bt ng thc trờn tỡm giỏ tr nh nht ca 2 2 2 3 M xy x y = + + . vi ;x y dng v 1x y + = . Bi 4: (2,5 im). ABCD l hỡnh ch nht cú AB //CD, AB = 2CB. T A k ng thng vuụng gúc vi ng chộo BD ti H. Trờn HB ly im K sao cho HK = HA. T K k ng thng song song vi AH ct AB ti E. a) Chng minh E l trung im AB. b) Ly M trung im DE, tia AM ct DB ti N, ct DC ti P.Tớnh t s din tớch tam giỏc AND vi din tam giỏc PMD? Cõu 5:(1,5 im). Cho trc gúc xOy; t s m n v mt im P nm trong gúc xOy. Dng ng thng i qua P ct cỏc cnh Ox, Oy ln lt ti C v D sao cho: PC m PD n = . (Ch trỡnh by cỏch dng v chng minh). ======= Hết ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Huyện diễn châu Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B i 1 :(4 điểm). Cho biu thc M = + + + + + 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xx xx x . a) Rỳt gn M. b) Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất. 2 B i 2 :(3 điểm). Cho biu thc: A = 222222 4)( cbacb + . a) Phõn tớch biu thc A thnh nhõn t. b) Chng minh rằng: Nu cba ,, l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0. B i 3 :(3 điểm). a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: A = 2014422 22 ++ yxyyx . b) Cho cỏc s zyx ,, tha món ng thi các điều kiện: 1=++ zyx ; 1 222 =++ zyx và 1 333 =++ zyx . Tớnh tng: S = 201120102009 zyx ++ . Bài 4:(3 điểm). a) Giải phơng trình: 18 1 4213 1 3011 1 209 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx . b) Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: )1(4)1( 2 +=++ yyxxx . B i 5 :(7 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Tính tổng: CF HF BE HE AD HD ++ . b) Chứng minh: 2 BCCFCHBEBH =+ . c) Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF. d) Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN. Chứng minh rằng: Đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. ======= Hết ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu Hớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1 a + + + 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x = + + + 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x = 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) x x x x x + + + = 6 ( 2)( 2)x x + + + 2 10 2 2 x x x = 2 ( 2)( 2) (10 ) 2 x x x x + + + = 6 2x + M = 6 2 . )2)(2( 6 + + x xx = x2 1 0,5 0,5 0,5 0,5 3 b + Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN. + Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1. 0,5 0,5 0,5 0,5 2 a A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc) = 2 2 ( )b c a 2 2 ( )b c a + = (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a) 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc) Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0 Vy A< 0 0,5 0,5 0,5 3 a A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 Do (x-y) 2 0 ; (y - 2) 2 0 Nờn:(x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 2010 Du ''='' xảy ra x y = 0 v y 2 = 0 x = y = 2. Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0 Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1 z = 1, lại kt hp vi /k: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y = 0. Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1, Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1. 0,5 0,5 0,5 4 a Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: { } 4; 5; 6; 7x ) 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x + + + + + + + + = 1 18 ( 1 1 4 5x x + + ) + ( 1 1 5 6x x + + ) + ( 1 1 6 7x x + + ) = 1 18 1 1 4 7x x + + = 1 18 (x + 4)(x +7) = 54 (x + 13)(x 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phơng trình là: S = { } 13;2 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chứng minh (x + 1) và (x 2 + 1) nguyên tố cùng nhau ! Vì nếu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) 2 1 1 x d x d + + M M 2 2 1 1 x x d x d x d + + + M M M 1 1 x d x d + M M 2 dM mà d lẻ nên d = 1. + Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính phơng Thì (x+1) và (x 2 + 1) đều phải là số chính phơng Đặt: 2 2 2 1 1 x k x t + = + = (k + x)(k x) = 1 1 0 k x = = hoặc 1 0 k x = = + Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) = { } (0;0),(0; 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 4 5 O K I N M E H F A D B C 0,5 a Trớc hết chứng minh: HD AD = ( ) ( ) S HBC S ABC Tơng tự có: ( ) ( ) HE S HCA BE S ABC = ; ( ) ( ) HF S HAB CF S ABC = Nên HD HE HF AD BE CF + + = ( ) ( ) ( ) ( ) S HBC S HCA S HAB S ABC + + HD HE HF AD BE CF + + = 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b Trớc hêt chứng minh BDH : BEC BH.BE = BD.BC Và CDH : CFB CH.CF = CD.CB. BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 c Trớc hết chứng minh: AEF : ABC ã ã AEF ABC= Và CDE : CAB ã ã CED CBA= ã ã AEF CED= mà EB AC nên EB là phân giác của góc DEF. Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE. Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) 0,5 0,5 0,5 d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) ã ã OHM OCN= .(1) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên: ã ã OHC OCH= .(2) Từ (1) và (2) ta có: ã ã OHC OHB= HO là phân giác của góc BHC Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là điểm cố định. Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O. 0,25 0,25 O,25 0,25 Chú ý: + Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20. + Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. + Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm. + Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung của bài đó. 5 Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Trờng THCS Diễn thọ Năm học 2009 2010 (vòng 1) Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu I (3 điểm). Cho biểu thức: A = )1( 2 : 1 1 1 241 1 12 2 3 2 2 2 + + ++ + xx xx x x xx xx xx a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. b) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. Câu II:(2 điểm). Cho abba 522 22 =+ và 0 >> ab . Tính giá trị của biểu thức: P = ba ba + . Câu III:(2 điểm). Cho x, y là 2 số thỏa mãn điều kiện: 4 1 2 2 22 =++ x yx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = yx. . Câu IV: (3 điểm). Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đờng chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a) Chứng minh DE = CF và DE CF. b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất ? 6 ======= Hết ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Phòng GD&Đt diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Trờng THCS Diễn đồng Năm học 2008 2009 (vòng 2) Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu I: (2,5 điểm). Cho biểu thức A = 3 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x + + a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tìm giá trị của x để A dơng. c) Tính giá trị của A trong trờng hợp 47 =x . Câu II:(2 điểm). a) Cho 10787 22 =++ yxyx . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 22 yx + . b) Giải phơng trình: 0)83()75()34( 333 =+++ xxx . Câu III: (2 điểm). Trong một cái giỏ đựng một số quả táo. Đầu tiên ngời ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 3 1 số táo còn lại và lấy thêm 4 quả. Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi lúc đầu trong giỏ có bao nhiêu quả táo? Câu IV:(3,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AF, BD và CE là các đờng cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) HD.HB = HE.HC. b) HDE HCB. c) BH.BD + CH.CE = BC 2 d) H là giao điểm ba đờng phân giác trong của DEF. ======= Hết ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) 7 . Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Huyện thanh chơng Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . ====== (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Phòng Giáo Dục&Đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Huyện diễn châu Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán 8 Đề chính thức Thời gian:. GD&ĐT diễn châu kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Trờng THCS diễn kim Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán Đề chính thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . .