Đang tải... (xem toàn văn)
Bài toán điều khiển H cho hệ không Otonom không có trễ giờ với giả thuyết điều khiển được
ụ ụ ột số í ệ sử ụ tr ờ ó sở t ọ P trì t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H ột số ổ ề ổ trợ ớ tệ ột số ết q ề t ề ể H ệ t ó trễ ó trễ ớ tết ề ể ợ í ề ể ợ ề ể H ệ tế tí tụ t ố ệ ữ ề ể H tí ề ể ợ ủ ệ tế tí tụ t t ổ ị tr L 2 ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ t ề ể H ột ớ ệ trì t ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ ề ể H ề ữ ệ tế tí t ó trễ ế t ✸✳✸✳ ➜✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ H ∞ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝❤♦ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➠t➠♥➠♠ ❝ã trÔ ❤ç♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ❑Õt ❧✉❐♥ ✻✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✻✸ ✸ ▼ét sè ❦Ý ❤✐Ö✉ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ • R + ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ • R n ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞ n ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❝❤✉➮♥ . ✈➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ., .✳ • R n×m ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ n × m✳ • L 2 ([t, s], R n ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ▲ 2 ✲❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ [s, t]✳ • A T ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A✳ • Q ≥ 0 (Q > 0)✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♠❛ tr❐♥ Q ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✮✱ tø❝ ❧➭ Qx, x ≥ 0 (Qx, x > 0). • M(R n + ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • BM + (0,∞) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • BMU + (0,∞) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ♠❛ tr❐♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ➤è✐ ①ø♥❣✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ➤Ò✉ tr♦♥❣ R n ✱ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t ∈ [0,∞)✳ • C([a, b], R n ) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a, b] ✈➭ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ R n ✳ ✹ ờ ó ý tết ề ể t ọ ột tr ữ ĩ ự t ọ ứ ụ q trọ ớ ợ t ệ t trể tr t ỉ ụ í ủ ý tết ề ể t ọ ữ ì t ọ ợ ứ ụ ể qết ữ ề ị tí ủ ệ tố ề ể t ề t tự tễ tr ọ ệ tế ợ t ở trì t ọ ề ể t tý ế ữ ụ t ọ t ệ ể tì ờ r tự tễ ề t ề ề ĩ tt ề ể tờ q ế ệ ộ ự t ở trì PP t ọ ớ tờ tụ rờ r x(t) = f(t, x(t), u(t)) x(k + l) = f(k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, . tr ó x(.) ế tr t t ố tợ r u(.) ế ề ể t ố tợ ủ ệ tố ột ệ tố ề ể ột ì t ọ ợ t ở trì t ọ ể tị sự ệ r ột tr ữ ụ í í ủ t ề ể ệ tố tì ề ể s ệ tố r ó ữ tí t t ố ứ ữ ụ í ụ tể ủ ệ tố r ờ t t ề ể t ề ể ợ t ổ ị ổ ị t ề ể tố ệ ý tết ề ể t ọ ợ t trể t ớ ý tết ứ ụ ợ ề t ọ tr ớ q t ứ ó ề ợ sử ụ tr ý tết ề ể ề ể t tí t tr ề ể ề ữ ề ể tố r ú t sử ụ H t ề ể H tr ý tết ề ể ể t ợ q trì ề ể ổ ị ề ữ t ề ể H sự ết ợ ủ t ổ ị t tố t ề ể H tì ề ể ể ệ ổ ị t ề ệ tố ứ trớ t ề ể H ệ tế tí t ổ ụ sử ụ rss ề ệ ổ ị t ợ ự tr ệ ệ ủ t tứ tr tế tí trì t số ố ớ ệ tế tí t tì ề ệ ợ ự tr ệ ủ trì t ó tr t r ề ệ ủ ể ợ t ề ể H ệ tế tí t ó trễ ớ tết ề ể ợ ủ ệ ề ể ồ trì ữ ế tứ sở ề trì tờ trì ó tí ổ ị ố ớ ệ PP ế ế trì t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H P ố ề ế ột số ổ ề ợ sử ụ ề tr r ớ tệ ột số ết q ó ề ề ệ ợ ủ t ề ể H ệ tế tí t ó trễ tr ự tr ố q ệ ữ ề ể ề t ề ể ợ ề 0 ủ ệ ề ể sự tồ t ệ ủ trì t ố trì ề ệ ó ờ ủ t ề ể H ề ữ ớ ệ trì t ó trễ ồ tờ ở ỗ ết q ề r í ụ ết q ứ ớ ủ ợ trì tr ứ ề ệ ủ t ề ể H ề ữ ột ớ ệ PP t ó trễ trễ ế t ỗ ợ ự ề ể ợ ổ ị ự tr ệ ủ trì t r sốt q trì ọ t ợ sự ú ỡ t tì sự ỉ tú ủ t ớ ũ ọ Pt ỉ tr tứ ĩ tết ò trề t ữ ọ ổ í ứ ọ tỏ ò ết s s t tớ t r ể t ũ ợ sự ộ í ệ ủ t tr tổ ộ t tí trờ ọ ọ tự ọ ố ộ ù ớ sự q t t ề ệ ủ trờ ọ tự ò tố ề ể ệ ọ rt ề ữ ó ữ ồ ộ ự ớ ể ó ộ ợ ọ t tr ổ ứ ử ờ t t tớ t ị ó tr ì tờ ự t ó tể tr ỏ tế sót ế rt ợ sự ó ý ủ t sở t ọ r trì ệ ủ trì ó tí ổ ị ố ớ ệ trì ó s ó ị ĩ ết q q ế t ề ể ợ t ổ ị t ề ể H ứ sử ụ P trì P trì tờ ét trì x = f(t, x), t I = [t 0 , t 0 + b] x(t 0 ) = x 0 , x 0 R n , t 0 0 tr ó f(t, x) : I ì D R n , D = {x R n : x x 0 a}. ệ x(t) ủ trì số x(t) tụ t (t, x(t)) I ì D, x(t) t trì sử f(t, x(t)) tụ tr I ì D ó ệ x(t) ở tí s x(t) = x 0 + t t 0 f(s, x(s))ds P trì sử h > 0 í ệ C = C([h, 0], R n ) tụ từ [h, 0] R n ớ ợ ị ở = sup h0 (). ớ t ì t 0 t x t () = x(t + ),h 0 qỹ ủ x(t) ớ x t = sup s[h,0] x(t + s). P trì ó trễ x(t) = f(t, x t ), t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó f : R + ì C R n trớ P trì ó trễ ợ í ệ f (t) C í ụ ột số trì ó trễ ợ ứ tr P trì tế tí t ó trễ rờ r x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t)x(t h), t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó h 0; x(t) R n A(t), A 1 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([h, 0], R n ) ớ = sup t[h,0] (t). P trì tế tí t ó trễ ố x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t) t th x(s)ds, t 0, x(t) = (t), t [h, 0], tr ó h 0; x(t) R n A(t), A 1 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([h, 0], R n ) ớ = sup t[h,0] (t). P trì tế tí t ó trễ ỗ ợ x(t) = A(t)x(t) + A 1 (t)x(t h) + A 2 (t) t tk x(s)ds, t 0, x(t) = (t), t [ max(h, k), 0], tr ó h, k 0; x(t) R n A(t), A 1 (t), A 2 (t) R nìn tr tụ trớ tr R + C([ max(h, k), 0], R n ) ớ = sup t[ max(h,k),0] (t). í ổ ị ủ ệ trì ét ệ trì ó ớ tết f(t, 0) 0 tứ ệ ó ệ tự t ổ ị ủ ệ trì tờ t ó ị ĩ s ị ĩ ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ế ớ ọ số > 0, t 0 0, tồ t số = (, t 0 ) > 0 s t ì ệ x(t 0 , )(t) ủ ệ t < tì x(t 0 , )(t) < , t t 0 . ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị tệ ế ó ổ ị ữ ớ ỗ t 0 0 tồ t = (t 0 ) > 0 s ớ ọ C t < t ó lim t x(t 0 , )(t) = 0. ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ũ ế tồ t số M > 0, > 0 s ọ ệ ủ ệ t x(t 0 , )(t) Me (tt 0 ) , t t 0 . P ử ụ ố ớ trì tờ ú t ó tể ét ợ tí ổ ị ủ ệ f ị ĩ ét ệ f tụ V : R + ì C R ợ ọ ủ ệ ế tồ t số 1 , 2 , 3 > 0 t 1 x(t) 2 V (t, x t ) 2 x t 2 , V (t, x t ) 3 x(t) 2 ớ ọ ệ x(t) ủ ệ ị ý ế ệ f tồ t tì ệ ổ ị tệ t ề ể ợ ét ột ệ tố ề ể t ở trì tế tí í ệ [A(t), B(t)] x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t 0, [...]... Định nghĩa 1.3.1: h( x) : Rn Rm H (1.5) gọi là ổn định hoá được nếu tồn tại h m sao cho với h m điều khiển này h phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t), h( x(t))), t 0, là ổn định tiệm cận H m h( x) thường gọi là h m điều khiển ngược Trường h p h (1.5) là h tuyến tính x = Ax + Bu thì h là ổn định hoá được nếu tồn tại ma trận K sao cho ma trận (A + BK) là ổn định Định lý 1.3.2: H tuyến tính (1.5)... chương 2, luận văn trình bày kết quả giải được của bài toán điều khiển H cho h phương trình vi phân không ôtônôm không có trễ dựa trên mối quan h giữa tính điều khiển được đều hoàn toàn và sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati vi phân Tiếp đó đưa ra một số kết quả mở rộng trong [7] về bài toán điều khiển H bền vững cho h tuyến tính không ôtônôm có trễ h ng trên biến trạng thái với các giả thiết... định hoá được nếu nó là điều khiển được hoàn toàn về Ví dụ 1.3.3: 0 Xét h điều khiển tuyến tính (1.5) trong đó A= Ta có h 1 0 0 0 , 1 B = 0 x = Ax là ổn định, do đó h đã cho là ổn định hoá được với K = 0 Tuy nhiên h không là GNC vì rank[A/B] = 1 < 2 Ví dụ trên chỉ ra rằng nếu h là ổn định hoá được thì h đó chưa chắc đã là GNC Do đó phần đảo của định lý 1.3.2 không đúng 15 Trường h p h ... mỗi điều khiển chấp nhận được x(0) = x0 cho trước u(t), bài toán Cauchy của h phương trình vi phân tuyến tính (1.3) luôn có nghiệm x(t, x0 , u) tại thời điểm t được cho bởi t U (t, s)B(s)u(s)ds, t 0 x(t, x0 , u) = U (t, 0)x0 + 0 trong đó U (t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của h tuyến tính thuần nhất: x(t) = A(t)x(t), t 0 Định nghĩa 1.2.1: Cho hai trạng thái khiển được sau thời gian t1 cho nghiệm... liên h giữa điều khiển H và tính điều khiển được của h tuyến tính không ôtônôm Xét h (2.1) với giả thiết DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], t 0 24 (2.4) ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1: Bài toán điều khiển H cho h (2.1) có lời giải nếu tồn tại ma trận X BM U + (0, ), R BM U + (0, ) sao cho phương trình vi phân Riccati sau thoả mãn 1 T X + AT X + XA X[BB T B1 B1 ]X + C T C + R = 0, t 0 (2.5) H m điều. .. các giả thiết về điều khiển được nhẹ h n 2.1 Tính điều khiển được và điều khiển H cho h tuyến tính liên tục không ôtônôm Xét h phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)(t), t 0, z(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t), t 0, x(0) = x0 , x0 Rn , 20 (2.1) trong đó x(t) Rn là vectơ trạng thái, u(t) Rm là h m điều khiển, (t) Rr là biến nhiễu, z(t) Rl là h m quan sát, A(t)... nghiệm P BM + (0, ) 18 Bổ đề 1.5.5: [9] Nếu h [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn thì khẳng định sau luôn đúng: Phương trình Riccati vi phân (1.11), trong đó Q(t) = I , có nghiệm M (Rn ) bị chặn đều trên và dưới, tức là tồn tại 1 , 2 0 thoả mãn + 1 P (t) 2 , t R+ 19 P Chương 2 Một số kết quả về bài toán điều khiển H cho h tuyến tính không ôtônôm với giả thiết điều khiển được Phần... Rlìm là các h m ma trận liên tục cho trước trên R+ H m nhiễu (t) là chấp nhận được nếu L2 ([0, ), Rr ) Xét h (2.1) với các h m ma trận B1 (t), C(t) liên tục bị chặn trên [0, ) và giả thiết DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], t 0 (2.2) để giảm sự phức tạp khi đánh giá các điều kiện Ta có định lý sau: Định lý 2.1.1: toán điều khiển Giả sử h H [A(t), B(t)] là điều khiển được đều hoàn toàn Bài cho h (2.1)... điều khiển được hoàn toàn về 0 và bài toán điều khiển H có lời giải Chọn = 2 và Q(t) = A(t) + AT (t) + C T (t)C(t) + I 1 2t 1 2e 0, = 1 2t 2e 2 theo Bổ đề 1.5.4, phương trình vi phân Riccati T P + AT P + P A P B B P + Q = 0 có nghiệm P BM + (0, ) và h m điều khiển ngược bền vững là u(t) = B T (t)P (t)x(t), t 0 30 2.3 Bài toán ổn định trong L2 và điều khiển H bền vững cho h tuyến tính không. .. trạng thái, u(t) Rm là vectơ điều khiển, n m; A(t) Rnìn , B(t) Rnìm , t 0 là các ma trận h m liên tục trên R Một h m véctơ u(t) xác định trên [0, ) mà là khả tích địa phương lấy giá trị trong Rm sẽ được gọi là điều khiển chấp nhận được của h (1.3) Lớp các h m điều khiển chấp nhận được thông thường là các h m trong Lp ([0, ), Rm ) Xét h điều khiển tuyến tính (1.3) với giá trị ban đầu Khi đó ứng . sử h > 0 í ệ C = C( [h, 0], R n ) tụ từ [h, 0] R n ớ ợ ị ở = sup h0 (). ớ t ì t 0 t x t () = x(t + ) ,h 0 qỹ ủ x(t) ớ x t = sup s [h, 0]. H t ề ể H tr ý tết ề ể ể t ợ q trì ề ể ổ ị ề ữ t ề ể H sự ết ợ ủ t ổ ị t tố t ề ể H tì ề ể ể ệ ổ ị t ề ệ tố ứ trớ t ề ể H