Tỉ số đơn - Tỉ số kép - Hàng điểm điều hòa Ngày 11 tháng 8 năm 2012 1 . Tỉ số đơn - Tỉ số kép - Hàng điểm điều hòa 1. Tỉ số đơn: Định nghĩa: Với 3 điểm A, B, M khác nhau thẳng hàng thì tỉ số MA MB được gọi là tỉ số đơn của của A, B, M và được kí hiệu là (ABM). 2. Tỉ số kép: a. Định nghĩa: Cho 4 điểm phân biệt, thẳng hàng A, B, C, D theo thứ tự đó thì tỉ số kép của 4 điểm đó được định nghĩa như sau (ABCD) = CA CB : DA DB Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) thì (ABCD) = a − c b − c : a − d b − d b. Một số tính chất: Tính chất 1 (ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) Tính chất 2 (ABCD) = 1 (BACD) = 1 (BADC) Tính chất 3 (ABCD) = 1 − (ACBD) = 1 − (DBCA) Tính chất 4 Nếu (ABCD) = (ABCD  ) thì D ≡ D  Tính chất 5 (ABCD) = 1 3. Hàng điểm điều hòa: a. Định nghĩa: Nếu (ABCD) = −1 hay CA CB = − DA DB thì A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa. b. Một số tính chất: Tính chất 1: Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) thì: (ABCD) = −1 ⇔ 2(ab + cd) = (a + b)(c + d) Tính chất 2: ( Hệ thức Descartes) (ABCD) = −1 ⇔ 2 AB = 1 AC + 1 AD Tính chất 3: ( Hệ thức Newton) Với I là trung điểm AB (ABCD) = −1 ⇔ IA 2 = IC.ID Tính chất 4: ( Hệ thức Maclaurin) Với J là trung điểm của CD thì (ABCD) = −1 ⇔ AC.AD = AB.AJ c. Những hàng điều hòa cơ bản: Định lí 1: 1 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Nếu AD, AE lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của ABC thì (BCDE) = −1 Định lí 2: Cho ABC và điểm O không thuộc các đường thẳng chứa 3 cạnh. AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P, BC cắt NP tại Q. Khi đó (BCMQ) = −1. Định lí 3: Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến SA, SB tới (O). Một đường thẳng qua S cắt (O) tại M, N. AB cắt MN tại I. Khi đó (SIMN) = −1 3. Chùm điều hòa: a. Định nghĩa: - Các đường thẳng cùng đi qua 1 điểm được gọi là chùm đường thẳng, điểm đó được gọi là tâm của chùm. Kí hiệu:O(a, b, c, d) - Chùm đưởng thẳng O(a, b, c, d) tương ứng đi qua các điểm A, B, C, D của hàng điểm điều hòa gọi là chùm điều hòa. Kí hiệu: O(a, b, c, d) = −1 b. Một số tính chất Định lí 4: Chùm đường thẳng O(a, b, c, d) là 1 chùm điều hòa khi và chỉ khi 1 đường thẳng bất kì song song với 1 trong 4 đường thẳng thì bị 3 đường thẳng còn lại chắn bởi 2 đoạn thẳng bằng nhau. *2 tính chất sau là hệ quả của tính chất 1: Định lí 5: Cắt 1 chùm điều hòa bởi 1 đường thằng không đi qua tâm chùm ta được 1 hàng điểm điều hòa. Định lí 6: Nếu 1 chùm điều hòa có 2 tia liên hợp vuông góc thì 2 tia đó là phân giác trong, phân giác ngoài của góc tạo bởi 2 tia còn lại. 4. Phép chiếu xuyên tâm d d' M S M' Định nghĩa: Cho 2 đường thẳng d và d’, điểm S không thuộc d và d’. Gọi K là điểm thuộc d sao cho SK  d  . 2 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Gọi f là ánh xạ đi từ tập hợp các điểm thuộc d tới tập hợp các điểm thuộc d’ được xác định như sau f(M) = M  sao cho S, M, M  thẳng hàng. Ánh xạ f được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ d đến d’. Điểm S được gọi là tâm của f. Tính chất: Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép. * Từ tính chất trên cho ta 2 định lí sau dùng để chứng minh 3 đường thẳng song song hoặc đồng quy và 3 điểm thẳng hàng. Định lí 7: Cho 2 đường thẳng ∆ và ∆  cắt nhau tại O. Các điểm A, B, C thuộc ∆ và các điểm A  , B  , C  thuộc ∆  . Khi đó AA  , BB  , CC  đồng quy khi và chỉ khi (OABC) = (OA  B  C  ) Định lí 8: Cho 2 chùm O(ABCO  ) và O  (ABCO) Khi đó A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi O(ABCO  ) = O  (ABCO) Một số ví dụ Đầu tiên ta sẽ xét đến một cách phát biểu khác của hàng điều hòa thứ 2: VD1: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Giao điểm của các cặp cạnh (DF, MN); (DE, MP); (XY, BC) lần lượt là Y, X, A  . Chứng minh rằng: AX A  X = Y A Y A  Giải: A' X Y P M N C B A D E F Không mất tính tổng quát giả sử AB > AC. ⇒ M nằm giữa B và D. ⇒ DM = BD − BM = a + c − b 2 − a 2 = c − b 2 3 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Ta có: P M  AC ⇒  MXD =  CED =  CDE =  MDX ⇒ MDX cân tại M ⇒ MX = MD = c − b 2 ⇒ P X = P M + MX = b 2 + c − b 2 = c 2 P X = P A ⇒ AP X cân tại P ⇒  P AX =  P XA =  XAC ⇒ X nằm trên đường phân giác của  BAC Chứng minh tương tự ta được: Y nằm trên đường phân giác của  BAC ⇒ A, Y, A  , X thẳng hàng theo thứ tự đó. Ta có: AY = 2AN cos  A 2 = AC. cos  A 2 ⇒ CY ⊥ AY Tương tự: BX ⊥ AX ⇒ BX  CY ⇒ A  Y A  X = CA  BA  = AC AB Mà AY AX = AC. cos  A 2 AB. cos  A 2 = AC AB ⇒ A  Y A  X = AY AX ⇒ đpcm.  Nhận xét: Từ kết luận bài toán ta dễ nhận ra: BY ; A  P ; AM đồng quy và CY ; AD; A  E đồng quy. VD2: Cho ABC và đường cao AD, BE, CF . CMR: DA là phân giác  EDF Giải H M D E F A B C Ta không xét đến trường hợp đơn giản EF  BC Gọi giao điểm của EF với BC, AD lần lượt là M, N . AD, BF, CE đồng quy, theo định lí 2 ta có: (MDBC) = −1 ⇒ (MNF E) = −1 ( Phép chiếu xuyên tâm A) ⇒ D(M N F E) = −1 Mà DN nên theo định lí 6 ta có đpcm.  Nhận xét: Ta thấy ở bài toán này AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H và D là hình chiếu của 4 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA H trên BC. Như vậy ta có thể mở rộng bài toán thành như sau và cách chứng minh hoàn toàn tương tự: VD2.1: ( Iran MO) Cho , AD, BE, CF đồng quy tại O. H là hình chiếu củaO trên BC. Khi đó HI là phân giác  EHF . Nhận xét: Từ VD1.1 áp dụng thêm tính chất của chùm điều hòa (Định lí 4) ta có bài toán sau: VD2.2: Cho , AD, BE, CF đồng quy tại O. H là hình chiếu củaO trên BC.AD cắt EF tại I. Qua I kẻ đường thằng song song với DE cắt DF, BC lần lượt tại M, N . Khi đó M là trung điểm của IN. VD3: ( IMO Shortlist 1995) Cho ABC. D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp của triangleABC với các cạnh BC, CA, AB. X là điểm nằm bên trong sao cho đường tròn nội tiếp triangleXBC tiếp xúc với XB, XC, BC lần lượt tại Z, Y, D. Chứng minh rằng: EF ZY là tứ giác nội tiếp. Giải: T X Z X C A B E F D Goi T = BC ∩ EF Ta có: AD, BE, CF đồng quy tại điểm Gergon của ABC nên theo định lý 2: ⇒ (T DBC) = −1 Mà XD, BY, CZ đồng quy, theo định lí 2: ⇒ T E.TF = T Z.T Y (= T D 2 ) Vậy EF ZY là tứ giác nội tiếp.  5 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA VD4: ( China TST 2002) Cho tứ giác ABCD.AD ∩ BC = E, AD ∩ BC = F, AC ∩ BD = P . O là hình chiếu của P trên EF . Chứng minh rằng:  BOC =  AOD. Giải: Q T O P B F D C E A Gọi Q = P F ∩ CD, T = BD ∩ EF Ta có: AC, BD, F P đồng quy tại P ⇒ (DCQE) = −1 ⇒ (DBT P ) = −1 ( Phép chiếu xuyên tâm F ) ⇒ O(DBP T) = −1 Mà OP ⊥ OT nên theo định lí 6  DOP =  BOP(1) Tương tự ta được (OF, OP, OA, OC) = −1 Mà OP ⊥ OF nên theo định lí 6  AOP =  COP (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm.  VD5: (Định lý Brokard) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). AC ∩BD = M, AB ∩CD = N, AD ∩ BC = P . Chứng minh rằng: O là trực tâm . Giải: 6 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA S R E F M N P O C B A D Từ N kẻ tiếp tuyến NE, NF tới đường tròn (O). Gọi EF ∩ AB = R, EF ∩CD = S Ta có: (NRBA) = (NSCD) = −1, theo định lí 7 thì ⇒ RS, BC, AD đồng quy. ⇒ R ∈ P F Mà (NSDC) = −1 ⇒ (NRBA) = (NSCD)(= −1), theo định lí 7 ta có: ⇒ RS, BD, AC đồng quy ⇒ S ∈ MF ⇒ RS ≡ P F ⇒ RS ⊥ P M Chứng minh tương tự ta được: MN ⊥ OP Vậy O là trực tâm MNP. 1 ứng dụng khá hay của định lí Brokard chính là bài 3 VMO 2012 VD6: ( VMO 2012) Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối khống song song với nhau. Gọi M, N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD, AD và BC. Gọi P, Q, S, T lần lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp góc  MAN và  MBN,  MBN và  MCN,  MCN và  MDN,  MDN và  MAN. Giả sử 4 điểm P, Q, S, T đôi một phân biệt. a. Chứng minh rằng 4 điểm P, Q, S, T cùng nằm trên 1 đường tròn tâm I. b. Gọi E là giao điểm AC và BD. Chứng minh rằng 3 điểm E, O, I thẳng hàng. ( Có thể xem thêm về bài toán này tại báo Toán học tuổi trẻ số 418) Ngoài ra định lý Brokard còn được sử dụng để chứng minh định lí con bướm như sau: VD7: (Định lí con bướm) Cho đưởng tròn ω và 2 điểm phân biệt A, B nằm trên ω.M là trung điểm của AB. Vẽ 2 đường thẳng l 1 , l 2 từ M (= AB) sao cho chúng cắt ω lần lượt tại C, D và E, F (C, E nằm cùng phía đối với AB, D, E nằm khác phía đối với AB).Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của AB với CF, DE. Chứng minh rằng: M là trung điểm của XY . Giải: 7 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA P L K Y X D E M O B A F C Gọi CF ∩DE = K; CE ∩ DF = L; CD ∩ EF = P . Xét tứ giác CDEF nội tiếp (O) có CF ∩DE = K; CD ∩EF = M, theo định lí Brokard thì M là trực tâm OKL ⇒ OM ⊥ KL ⇒ KL  AB Xét CEK có CD, EF, KP đồng quy, theo định lí 2 ta có (ECP L) = −1 ⇒ K(ECP L) = −1 Mà KL  AB, theo định lí 7 ta có MX = MY (ĐPCM).  Một số tính chất của tứ giác ngoại tiếp Tính chất 1: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O).M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Khi đó: M P, NQ, AC, BD đồng quy. Tính chất 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA. Khi đó M Q, N P, DB đồng quy. Tính chất 3: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA.MQ ∩NP = K. Khi đó OK ⊥ AC. Tính chất 4: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của (O) với AB, BC, CD, DA.AC cắt (O) tại E, F . Khi đó tiếp tuyến của (O) tại E, F và MQ, NP đồng quy. Từ tính chất 1 và 4 ta có bài toán sau từ định lí Brokard VD5.1: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), 2 đường chéo cắt nhau tại L. (O) tiếp xúc với AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q. AC cắt (O) tại E, F . BD cắt (O) tại R, S. Tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại K. Khi đó O là trực tâm HKL. VD8: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O. M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi MQ ∩ NP = K, MP ∩ N Q = I. Chứng minh rằng: (DBIK) = −1. Giải: 8 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA D C B A I K N M P Q Theo tính chất 1 và 2 ta có B, I, D, K thẳng hàng. Áp dụng định lí Menelaus cho ABD với cát tuyến QM K ta có: KD KB . MB MA . QA QD = −1 ⇒ KD KB = QA MB Dễ thấy IB ID = MB QD ⇒ KD KB : ID IB = −1 ⇒ (DBIK) = −1.  VD9: ( THTT) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, E, F là giao điểm của (O) với AC. H là hình chiếu của O trên BD. Chứng minh rằng:  AHE =  CHF Giải: 9 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA K A C F O E B M Dễ thấy KEHO và KHOF là tứ giác nội tiếp. ⇒ K, E, H, O, F đồng viên Mà KE = KF nên  KHE =  KHF (1) Theo tính chất 3 ta có OL ⊥ BD ⇒ O, H, L thẳng hàng. Theo VD6 ta có (LIAC) = −1 ⇒ HI là phân giác  CHL (2) Từ (1) và (2) ta có  AHE =  CHF .  VD10: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC tới (O). AO cắt (O) tại E, F, cắt BC tại K. M là điểm bất kì nằm trên (O). Chứng minh rằng: ME là phân giác  AMK. Giải: 10 [...]... giác điều hòa ⇒ AA, BD, CC đồng quy Vậy ta có đpcm VD6:( Senior BMO 2007) Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn AB, AClà tiếp tuyến của (O)(B, C) là tiếp điểm D là giao điểm thứ 2 của AO và (O).X là hình chiếu của B trên CD.Y là trung điểm của BX.Z là giao điểm thứ 2 của DY và (O) Chứng minh rằng: ZA ⊥ ZC Giải: 23 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA T, T1, T2 B A O D C Gọi H là giao điểm. .. (DA, DF, DE, DB) = −1 ⇒ OO2 O3 Oa là tứ giác điều hòa Do đó tiếp tuyến tại O, Oa của (D) cắt nhau tại 1 điểm trên BC BC, da , O2 O3 đồng quy tại điểm A0 Xác định tương tự điểm B0 , C0 14 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Ta có: A0 O2 A0 O3 = A0 O2 ⇒ A0 thuộc trục đẳng phương của điểm O và đường tròn (O1 O2 O3 ) Tương tự ta có: A0 , B0 , C0 thẳng hàng Theo định lí Desargues thì AO1 , BO2 ,... Junior Balkan MO 2007) Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm D nằm trên cạnh AC, E là điểm đối xứng với A qua BD.F là giao điểm của đường thẳng qua D vuông góc với BC và đường thẳng CE Chứng minh rằng: AF, DE, BC đồng quy Giải: 16 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA A D X Z F B E T Y C Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của AE với BD, BC, DF , T là giao điểm của DF và BC Để chứng minh AF, DE, BC đồng... Ta bỏ qua trường hợp đơn giản EF BC Đặt L = EF ∩ BC Gọi D là tiếp điểm của (I) và (BC) 20 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Dễ thấy: AD, BE, CF đồng quy nên theo định lí 2 ta có: (BCDL) = −1 ⇒ K(BCDL) = −1 Mà KBD = KBF ⇒ BKD = BKF Theo định lí 6 ta có : BKC = 90◦ Nếu gọi giao điểm của CI, EF là H thì CKHB là tứ giác nội tiếp VD3: (VMO 2009) Cho 2 điểm cố định A, B và điểm C di động trên... DM R C 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Gọi M là trung điểm của BC Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp ⇒ BRCQ là tứ giác nội tiếp ⇒ DB.DC = DQ.DR Mà (P DBC) = −1, M là trung điểm BC, theo hệ thức Maclaurin ta có: DB.DC = DP DM ⇒ DQ.DR = DP DM ⇒ P QM R là tứ giác nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp P QR luôn đi qua trung điểm của BC (đpcm) 1 số bài toán chứng minh đồng quy và thẳng hàng Trước... trong AD.E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với AC, AB.M là trung điểm BC.M A ∩ EF = N.γ(M ) là đường tròn đường kính BC Giao điểm thứ 2 của BI, CI với γ(M ) lần lượt là X, Y.P, Q, R lần lượt là trung điểm của BY, N D, CX Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng 21 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Giải: A F Y X N B M D E C Theo VD2 thì: X = BI ∩ EF, Y = CI ∩ EF NX NM Dễ thấy:... vậy ta có bài toán sau: VD11: Cho ABC, I là điểm thỏa mãn IAB = IBC, IAC = ICB D là điểm nằm trên AI sao cho BDC = 90◦ Chứng minh rằng: BD, CD lần lượt là phân giác của ABI, ACI Giải: 11 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA B F E I A D C Cách dựng điểm I như sau: Gọi (ω) là đường tròn đường kính BC Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN đến (ω) ⇒ I chính là giao điểm của M N và IA Gọi IA ∩ BC = E, AI cắt... đpcm VD5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).M, N là trung điểm của AB, CD.CD∩(AN B) = Q, AB∩(DM C) = P Chứng minh rằng: AC, BD, P Q đồng quy Giải: 15 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA A Q M B E C P N D Dễ thấy A, B là giao điểm của (M AB), (ABCD) ⇒ AB là trục đẳng phương của (M AB), (ABCD) ⇒ PE/(M AB) = PE/(ABCD) ⇒ EP EN = EC.ED Mà N là trung điểm của CD, theo hệ thức Maclaurin ta có: (EP CD)... C’)= (B AZF ) (Phép chiếu xuyên tâm A’) Theo định lý 7 thì EA, XZ, CF đồng quy ⇒ X, Y, Z thẳng hàng VD2: (Định lí Desaurges) Cho ABC, A B C Gọi giao điểm các cặp đường thẳng (BC, B C”); (CA, C A ); (AB, A B ) lần lượt 13 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA là X, Y, Z Chứng minh rằng: X, Y, Z thẳng hàng khi và chỉ khi AA , BB , CC đồng quy Giải: B D C A Y Z X A' C' D' B' Xét trường hợp BC không... CN ⇔ P ≡ I) Vậy minBN.CM = BS 2 ⇔ I ≡ P Một số bài toán khác: VD1: (FKMO 2012) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E Gọi F, G lần lượt là hình chiếu củaD, E trên AB, BC Biết rằng giao điểm của DG, EF nằm trên AH.P là hình chiếu của E trên HD Chứng minh rằng: AP E = CP E Giải: 19 1 TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA A D E R B H F P G C Q Gọi DE ∩ BC = R, . Tỉ số đơn - Tỉ số kép - Hàng điểm điều hòa Ngày 11 tháng 8 năm 2012 1 . Tỉ số đơn - Tỉ số kép - Hàng điểm điều hòa 1. Tỉ số đơn: Định nghĩa: Với 3 điểm A, B, M khác nhau thẳng hàng thì tỉ số MA MB được. và d’, điểm S không thuộc d và d’. Gọi K là điểm thuộc d sao cho SK  d  . 2 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA Gọi f là ánh xạ đi từ tập hợp các điểm thuộc d tới tập hợp các điểm. giác điều hòa Do đó tiếp tuyến tại O, O a của (D) cắt nhau tại 1 điểm trên BC BC, d a , O 2 O 3 đồng quy tại điểm A 0 Xác định tương tự điểm B 0 , C 0 14 1 . TỈ SỐ ĐƠN - TỈ SỐ KÉP - HÀNG ĐIỂM ĐIỀU