Phương pháp Giải bài tập Thể tích và khoảng cách trong không gian

65 1.1K 0
Phương pháp Giải bài tập Thể tích và khoảng cách trong không gian

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: - tanb c B= , tanc b C= , 2 .AH HB HC= - 2 2 2 2 2 1 1 1 .AB AC AH AH AB AC AB AC = + ⇒ = + H C B A ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc + − = + − = . Tương tự ta có hệ thức cho cạnh b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B ∆ = = = - .S p r= (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - 4 abc S R = ⊻ Thể tích khối đa diện: - 1 . 3 chop V B h= (B là diện tích đáy, h là chiều cao) - . LT V B h= Phần 2) Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy thì cạnh đó chính là chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên và đáy. - Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó. 2 - Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. - Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Sử dụng các giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC - Hình chóp SABCD có SB SC= hoặc ,SB SC cùng tạo với đáy một góc α thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC Việc xác định được chân đường cao là yếu tố đặc biệt quan trọng để giải quyết các câu hỏi trong bài toán hình không gian cổ điển Phần 3: Các bài toán về tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 , AB AD a CD a = = = . Góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( ) SCB ABCD bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm AD biết 2 mặt phẳng ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối chóp SABCD . HD giải: Vì 2 mặt phẳng ( ) SBI và ( ) SCI cùng vuông góc với đáy ABCD mà ( ) SBI và ( ) SCI có giao tuyến là SI nên ( ) SI ABCD ⊥ . Kẻ IH BC ⊥ ta có góc giữa 2 mặt phẳng ( ),( ) SCB ABCD là 0 ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a = = = = + = 2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a = = − − = − − = nên 2 IBC S IH BC ∆ = = 3 3 5 a . Từ đó tính được 3 3 15 5 SABCD V a= . www.VNMATH.com 3 H I S D C B A Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , , ' 2 , ' 3AB a AA a A C a= = = . Gọi M là trung điểm của đoạn ' ' B C , I là giao điểm của BM và ' B C . Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: - ' ' 'ABCA B C là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. ( ' ) I B BC ⊂ ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH BC ⊥ thì ( ) IH ABC ⊥ và I chính là trọng tâm tam giác ' ' BB C 2 4 ' ' 3 3 IH CI a IH BB CB ⇒ = = ⇒ = Có 2 2 2 2 2 2 AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a ′ ′ = − = = = ⇒ = − = 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 IABC a V IH dt ABC a a a = = = ( đvtt) A M O B I H C C' B' A' 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2,AB a AD a SA a= = = và vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC . Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) SAC vuông góc với mặt phẳng ( ) SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB . Lời giải: +) Chứng minh ( ) ( ) SAC SMB⊥ . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3; 4 2 a a AC AB BC a a a BM AB AM a= + = + = = + = + = Gọi O AC BD= ∩ ;do I là giao điểm của hai đường trung tuyến AO và BM nên là trọng tâm của tam giác ABD . Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có: 2 1 3 2 6 ; 3 3 3 3 3 a a AI AO AC BI BM= = = = = Nhận xét: 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a a AI BI a AB+ = + = = , suy ra tam giác AIB vuông tại I . Do đó BM AI ⊥ (1) Mặt khác: ( ) SA ABCD⊥ nên SA BM⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) BM SAC ⊥ +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Do NO là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có: / /NO SA và 1 2 2 a NO SA= = Do đó NO là đường cao của tứ diện ANIB Diện tích tam giác đều AIB là: 2 1 1 3 6 2 . . 2 2 3 3 6 AIB a a a S AI BI= = = Thể tích khối tứ diện ANIB là: 2 3 1 1 2 2 . . 3 3 6 2 36 AIB a a a V S NO= = = www.VNMATH.com 5 N M I D C B A S O Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân với 3 , 2AB AC a BC a= = = . Các mặt bên đều hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ) ABC và , , I H J lần lượt là hình chiếu của O trên , ,AB BC CA . Theo định lý ba đường vuông góc ta có: , ,SI AB SJ AC SH BC⊥ ⊥ ⊥ Suy ra:    , ,SIO SJO SHO lần lượt là góc hợp bởi các mặt bên ( ) ( ) ( ) , ,SAB SAC SBC và mặt đáy Theo giả thiết ta có:    0 60SIO SJO SHO= = = Các tam giác vuông , ,SOI SOJ SOH bằng nhau nên OI OJ OH= = Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến Suy ra , ,A O H thẳng hàng và H là trung điểm của BC Tam giác ABH vuông tại H , ta có: 2 2 2 2 9 2 2AH AB BH a a a= − = − = Diện tích tam giác ABC là: 2 1 1 . .2 .2 2 2 2 2 2 ABC S BC AH a a a= = = Ngoài ra: ABC S pr= , với ( ) 1 4 2 p AB AC BC a= + + = và r : bán kính đường tròn nội tiếp ABC ∆ . 2 2 2 2 4 2 ABC S a a r OH p a ⇒ = = = = Tam giác SOH vuông tại O , ta có: 0 6 tan 60 2 a SO OH = = Thể tích khối chóp SABC là: 3 2 1 1 6 2 3 . .2 2. 3 3 2 3 ABC a a V S SO a = = = 6 J H I S O C B A Chú ý: Hình chóp có các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp. Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ' ' ' ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A 3, AB a AC a = = . Biết đỉnh ' C cách đều các đỉnh , , A B C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (C’AC) bằng 6 15 a .Tính thể tích khối chóp ' ' A ABC theo a và tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng ( ' ') ABB A và mặt phẳng đáy ( ) ABC . - Hạ ' ( ) ' ' ' C H ABC C HA C HB C HC HA HB HC ⊥ ⇒ ∆ = ∆ = ∆ ⇔ = = Suy ra H là tâm vòng trong ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. Ta có: /( ') /( ') 2 B ACC H ACC d d= . Hạ /( ') /( ') 1 3 , ' ( ') 2 15 H ACC B ACC a HM AC HN C M HN ACC d HN d ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = = = . Ta có: 1 3 ' 3 2 2 a HM AB C H a = = ⇒ = từ đó tính được ' 2 . CC a = Có 3 ' ' 1 1 1 1 ' . ( ) . 3. . 3. 3 3 3 2 2 A ABC LT a V V C H dt ABC a a a = = = = - Hạ ' ( ) A K ABC ⊥ thì ' ' C HKA là hình chữ nhật . Gọi I HK AB = ∩ thì 1 / / 2 OI AC = suy ra I là trung điểm của AB . Tam giác ABC vuông tại A nên KI AB ⊥ ⇒ Góc tạo bởi ( ' ') ABB A và đáy ( ) ABC là  'A IK Ta có:  cos ' ' IK A IK A I = . Tính được  2 2 1 13 13 ; ' ' cos ' 2 2 2 ' 13 a a IK IK HK A I IK A K A IK A I = = = + = ⇒ = = www.VNMATH.com 7 N H M C C' B' A' I K B A Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành  0 2 , , 60AB a AD a BAD= = = SAB là tam giác đều . Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng ( ) SCD . Tính thể tích khối chóp SABCD biết 15 5 a HK = và điểm K nằm trong tam giác SCD Giải: Gọi E là trung điểm của , CD F là trung điểm của ED Với giả thiết SA SB = ta suy ra chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ) ABCD thuộc đường thẳng chứa HF Hạ ( ) HK SF HK SCD ⊥ ⇒ ⊥ Ta có: 2 2 . ( ) 3 SABCD SHCD V V HK dt SCD = = Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: 1 ( ) . ; 2 dt SCD SF CD = Mà 2 2 2 2 ; ;SF SK KF SK SH HK KF HF HK= + = − = − SH là đường cao tam giác đều SAB suy ra: 3,SH a HF= là đường cao tam giác đều HDE suy ra: 3 2 a HF = Thay số ta có: 3 15 10 a SF = Vậy: 3 2 . 3 1 3 15 3 . . .2 3 2 10 5 5 SABCD a a a V a= = 8 120° A H K E F D C B S Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a và   0 90SAB SCB= = . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . Giải: Đây là bài toán dễ làm cho học sinh bối rối khi xác định đường cao hình chóp. K S C B A H Hạ ( )SH ABCD⊥ vì ( ) AB SH AB SHA AB HA AB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . Chứng minh tương tự ta có BC HC HABC ⊥ ⇒ là hình vuông. Ta có HC BC ⊥ kẻ ( ) 2 HK SC HK SBC HK a ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Mặt khác ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 . 6 HK HC SH a HK HC HS HC HK = + ⇒ = = − www.VNMATH.com 9 Thể tích khối chóp 2 3 1 1 3 6 . 6. 3 3 2 2 SABC ABC a a V SH S a ∆ = = = Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= = , 2SD a= và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: D O S C B A H Hạ ( )SH BD SH ABCD SHA SHC SA SC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = Từ giả thiết ta suy ra ASC ADC ABC OB SO OD SBD∆ = ∆ = ∆ ⇒ = = ⇔ ∆ vuông tại S Tính được 2 2 . 6 3, 3 SB SD a BD a SH SB SD = = = + ,suy ra tam giác ABC là tam giác đều 2 3 1 1 6 3 2 . . . 3 3 3 2 6 SABCD ABCD a a a V SH S= = = Chú ý: Ta có thể tính thể tích theo cách: 2 2 . 3 SABCD CSBD SBD V V CO S ∆ = = Trong ví dụ này chìa khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau: ‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD x= ( 0)x > , các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và bằng a ( 0)x > . Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng 3 2 6 a .’’ B. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp 10 Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn. Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: . . . . SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ = (1) A ABC ' S SABC V A A V SA ′ = (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. B' A' C' C B A S Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0 ˆ 60BAD = , SA vuông góc với đáy ABCD , SA a= . Gọi 'C là trung điểm của SC , mặt phẳng ( ) P đi qua AC song song với BD cắt các cạnh ,SB SD của hình chóp tại ', ' B D . Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra 'AC và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng kẻ đường thẳng song song với BD cắt các cạnh ,SB SD của hình chóp tại ', ' B D là 2 giao điểm cần tìm. Ta có: 1 2 ; 2 3 SC SD SB SI SC SD SB SO ′ ′ ′ = = = = Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 SAB C D SAB C SABCD SABC V V V V ′ ′ ′ ′ ′ = = . . 1 . . 3 SAB C D SAB C ABCD SABC V V SA SB SC V V SA SB SC ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = = = www.VNMATH.com [...]... A E C P H H B B B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày... O C Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc tạo bởi b và c Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau... lượt là trung điểm của C ' B ' và C ' D ' 1) Dựng và tính diện tích thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi mặt phẳng ( AEF ) 2) Tính tỉ số thể tích của hai phần khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng ( AEF ) Lời giải: 1) Dựng và tính diện tích thiết diện: Kéo dài EF cắt A ' B ' và A ' D ' lần lượt tại I và J 13 www.VNMATH.com Nối AI và AJ cắt BB ' và DD ' lần lượt tại P và Q Ngũ giác APEFQ là thiết... lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF VB ' PIE = Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF ) 3a 3 2a 3 25a3 − = 8 72 72 3 25a 47 a 3 V2 = VABCDA ' B ' C ' D − V1 = a 3 − = 72 72 Ta có: V1 = VAA ' IJ − 2VB ' PIE = Vậy V1 25 = V2 47 Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian A Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài. .. với SD tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải: - Tính thể tích khối chóp SABCD Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ; SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ ( ABCD) AB 3 = a 3 2 Gọi M là trung điểm của SB thì góc tạo bởi OM và AC cũng là góc tạo bởi SD và và SH = AC Suy ra MOC = 900 Ta có... việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) 26 Giải: K B' A' C' H B C A Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA = −2 HB Góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa... SA2 + SC 2 (Ta cũng có thể lập luận tam giác SAC vuông cân suy ra AH=a) Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2 cạnh bên AA ' = 2a, biết A ' cách đều các đỉnh A, B, C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA ', AC Tính thể tích khối chóp C ' MNB và khoảng cách từ C ' đến mặt phẳng ( MNB ) Giải: - Tính thể tích: Vì A ' cách đều A, B, C nên... mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau ⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) ⊻ PHƯƠNG PHÁP - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với ( SBC ) Vậy khoảng cách từ A đến ( SBC ) là AH - Ta có 1 1 1 AM... + ⇒ BH = 2 2 2 2 BH BN BA BM 7 chính là khoảng cách giữa AM và B’C Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) Ví dụ 2) Cho hình chóp... A và AB = 3a, AC = 4a Cạnh bên SA = 2a, SAB = SAC = 600 Tính thể tích khối chóp SABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC Giải: Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) Kẻ HI ⊥ AB; HJ ⊥ AC ; do tam giác ABC vuông tại A nên HI / / AJ và HJ / / AI Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB và SJ ⊥ AC Hai tam giác vuông SIA và SJA bằng nhau, vì có SA là cạnh chung và . Các bài toán về khoảng cách trong không gian A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán. luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán ⊻ Trong tam giác vuông. = . Biết đỉnh ' C cách đều các đỉnh , , A B C và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (C’AC) bằng 6 15 a .Tính thể tích khối chóp ' ' A ABC theo a và tính cosin góc tạo bởi

Ngày đăng: 18/06/2015, 19:37

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan