Phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC: Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi đưa phương trình cần giải về một hay một tập hợp cá phương trình cơ bản. Trước hết ta cần nhận dạng được phương trình: 1, Nếu phương trình ở dạng chuẩn mực (cơ bản, bậc 1, 2 đối với một hàm lượng giác, cổ điển, đối xứng, đẳng cấp,…), ta chọn cách giải ứng với mỗi phương trình đó. 2, Nếu phương rình không chuẩn mực, ta dùng biến đổi lượng giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn, thường đưa về dạng tích. Trong một số trương hợp, bằng cách đặt ẩn phụ đưa về phương trình đa thức, việc giải tương đối dễ dàng hơn. B. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: VẤN ĐỀ I: Phương trình cơ bản Giả sử u, v là những biểu thức theo x. Ta có: 1 1 2 2 1 1 2 2 2 sin sin ( ) 2 2 cos u = cos v ( ) 2 , tan tan ( , ) 2 , ( , ) u v k u v k Z u v k u v k k Z u v k u v k u v k k Z u v k u v k k k Z u v k π π π π π π π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = +  ⇔ ∈  = − +   ≠ +  = ⇔ ∈   = +  ≠  ⇔ ∈  = +  cotu = cotv Phương trình lượng giác Áp dụng: Giải và biện luận phương trình bậc nhất của một hàm số lượng giác. b ,asin u+b=0(a 0) sin u=- (1) a b * - 1: a b * - 1: sin ( ; ) a 2 2 (1) sin u=sin ,acos u+b=0: a b a b π π α α α ≠ ⇔ > −   ≤ = ∈ −     ⇔ tan , tan 0 ( 0) (2) 2 -b tan ( ; ) a 2 2 tan tan (2) 2 b cotu=- cot ( ( , )) , otu+b=0 (a 0) a b u a c a u b a u k u u k o d ac u k π π π π α α α π π α α π π  = −   + = ≠ ⇔   ≠ +     = ∈ −  ÷   =   ⇔  ≠ +    = ∈  ≠ ⇔   ≠  GHI CHÚ: • Khi giải phương trình có chứa hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Do đó khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: a, Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. b, Biểu thức điểm ngọn cung điều kiện và điểm ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Khi có một điểm ngọn cung nghiệm trùng với một điểm ngọn nào đó của cung điều kiện, ta loại bỏ nghiệm tương ứng đó. c, Giải các phương trình vô định. Phương trình vô nghiệm Đặt giải tương tự (1) Phương trình lượng giác Ví dụ: Giải các phương trình sau: 2 3 , 2(2sin x-1)=4(sin x-1)-cos 2x+ sin 2x+ (1) 4 4 , os10x+2cos 4 6 os3x.cosx=cosx+8cosx.cos 3 (2) a b c x c x π π     −  ÷  ÷     + GIẢI 2 2 , (1) 2(2sin 1) 4(sin -1)- 2 sin 2 2 2(2sin 1) 4(sinx-1)- 2(1 2sin ) sin ( 2 1)sin x- 2 0 (sin 1)(sin 2) 0 sin 1 2 ( ) 2 sin 2 a x x x x x x x x x x k k Z x π π π   ⇔ − = +  ÷   ⇔ − = − ⇔ + − = ⇔ − + = =  ⇔ ⇔ = + ∈  = −  3 , (2) os10x+cos 8x+1=cos x+2cos x(4cos 3 3cos3 ) 2cos9 .cos 1 cos 2cos .cos9 cos 1 2 ( ) b c x x x x x x x x x k k Z π ⇔ − ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ∈ *Bài tập: 1.1: Giải các phương trình sau: 3 2 2 3 3 3 3 3 ,4 osx-2cos2x-cos4x=1 b, 3sin3x- 3 os9x=1+4sin 3 5 7 ,sin 2 3 os x- 1 2sin ; ;3 2 2 2 17 ,sin 2 os 8 sin ,10 2 2 , os .cos3 sin .sin 3 4 ,cos 4 cos3 .cos sin 3 .sin a c c x c x c x x d x c x x e c x x x x f x x x x x π π π π π       + − = + ∈  ÷  ÷  ÷         − =  ÷   + = = + Phương trình lượng giác 1.2: Giải các phương trình sau: 4 4 2 2 , tan 2 cot 2 2sin 4 ,2cot 2 3cot 3 tan 2 3 1 ,8cos sin cos sin cos 1 sin 2 2 , tan .sin tan 1 sin 2 3(cos2 cot 2 ) , 2sin 2 2 cot 2 cos2 cos cos5 , 8sin .sin 3 cos3 cos 2 ,3tan 3 cot 2 2tan sin a x x x b x x x c x x x x x x d x x x x x x e x x x x x f x x x x g x x x + = − = = + + + − = + − + − = − − = + = + 4x 1.3:Giải và biện luận: 2 ,cos( ) cos( ) 2cos ,sin( ) cos( ) 1 sin ,( 1)sin 2 1 0 ,( 2)tan 2 0 a x x b x x c m x m d m x m α α α α α α + + − = + + − = + + + − = + − = Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ II: Giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ 1. Các phương trình chuẩn mực: a, Phương trình bậc hai đói với 1 hàm số lượng giác: 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 , , ; 0, : a u b u c a u b u c a u b u c a u b u c a b c R a u + + = + + = + + = + + = ∈ ≠ \ Các phương trình trên được viết thành at 2 +bt+c=0 b,Phương trình bậc nhất đối với sin, cos: asin u+bcos u=c (a,b,c R)∈ -Nếu 1 trong 3 hệ số a,b,c bằng 0, phương trình thành bậc 1 đối với một hàm lượng giác. -Nếu a,b,c ≠ 0 thi phương trình được giải bằng hai cách sau: i) Cách 1: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c u u a b a b a b + = + + + Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷ + +     nên ta có thể đặt: [ ] 2 2 2 2 sin ( 0,2 cos a a b b a b α α π α = ∈ + ⇒ = + Ta có: 2 2 2 2 sin cos sin .sin cos .cos cos( ) cos a u b u c c u u a b c u a b α α α β + = ⇔ + = + ⇔ − = = + Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 2 2 2 2 1 c a b c a b ≤ ⇔ + ≥ + biểu thức chứa ẩn • • Đặt: sin , cos : 1 tan ( ), cot ( ) 2 t u t u t t u u k t u u k π π π = = ≤ = ≠ + = ≠ • • Phương trình lượng giác ii) Cách 2: • Kiểm tra 2u k π π = + có là nghiệm không? Để ý 2u k π π = + là nghiệm 0b c ⇔ + = Đặt tan ( 2 ) 2 u t u k π π = ≠ + Thay 2 2 2 2 1 sin ;cos 1 1 t t u u t t − = = + + Sau đó biến đổi thành phương trình bậc hai theo t: 2 ( ) 2 0 ( 0)b c t at c b b c+ − + − = + ≠ • 2 2 2 0 a b c∆ ≥ ⇔ + ≥ c,Phương trình đối xứng (hay gần đối xứng): • (sin cos ) sin .cos 0 sin cos sin .cos 0 a u u b u u c a u u b u u c ± + + = ± + + = • Đặt sin cos : 2t u u t= ± ≤ 2 sin cos :0 2 1 sin .cos 2 t u u t t u u = ± ≤ ≤ − ⇒ = ± Phương trình đã cho được biến đổi thành bậc 2 theo t. • Với phương trình đối xứng theo tan, cot. Ta đặt: tan cot ( : 2) 2 t u u u k t π = + ≠ ≥ d,Phương trình đẳng cấp bậc hai (bậc cao): * Bậc hai: 2 2 asin sin .cos cosu b u u c u d+ + = • Tìm nghiệm (cos 0) 2 u k u π π = + = • Chia cả hai vế phương trình cho cos 2 u ≠ 0: Phương trình 2 2 tan tan (1 tan )a u b u c d u⇔ + + = + Đặt t=tanu, đưa phương trình về bậc hai theo t: 2 ( ) 0a d t bt c d− + + − = Phương trình lượng giác *Bậc n: • Tìm nghiệm 2 u k π π = + • Chia cả hai vế cho cos n u , đặt t=tanu, đưa phương trình về bậc n theo t. 2 Các dạng khác : a)Phương trình chứa hàm lượng giác sinu, cosu với lũy thừa bậc chẵn :Dùng công thức hạ bậc và đặt t = cosu ( 1t ≤ ) đưa phương trình về dạng đa thức theo t. b) Phương trình chứa 1 ( ) ( ) f u f u ± và 2 2 1 ( ) ( ) f u f u + trong đó ( )f u là hàm lượng giác của u: Ta đặt: 1 ( ) ( ) t f u f u = ± (Nếu 1 ( ) ( ) t f u f u = + : 2)t ≥ đưa phương trình bậc 2 theo t. c) Trong trường hợp tổng quát các phương trình lượng giác chứa sinmx, cosnx, tanbx, cotqx, bằng các công thức hàm lượng giác của tổng, đặc biệt là công thức nhân đôi, nhân ba đưa về phương trình đối với sinx, cosx, tanx, cotx. Đặt tan 2 x t = đưa phương trình về phương trình hữu tỷ đối với t. Chú ý thử nghiệm với cos 0 2 x = nếu không sẽ dẫn đến việc mất nghiệm. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a, 2 4cos 2( 3 1)cos 3 0x x− − − = b, 5(sin cos ) sin 3 cos3 2 2(2 sin 2 )x x x x x+ + − = + c, 1 sin (3 3 cos ) 3 x x= − d, sin 3 x – 5sin 2 x.cosx – 3sinx.cos 2 x + 3cos 3 x = 0 e, 10 10 4 29 sin cos cos 2 16 x x x+ = f, 4 4 4 2 2 cos 9 cos 1 0 cos cos x x x x     + + − − =  ÷  ÷     Phương trình lượng giác GIẢI: a,Đặt t = cosx |t| 1≤ .Khi đó phương trình trở thành 4t 2 -2( 3 1) - 3 0t− = 3 2 1 2 t t  =   ⇔  = −   (thoả mãn) Với t = 3 3 osx= os 2 ( ) 2 2 6 6 c c x k k π π π ⇔ = ⇔ = ± + ∈Z b, Phương trình: 3 3 5(sin cos ) 3(sin cos ) 4(sin cos )x x x x x x⇔ + + + − + 2 2(2 sin 2 )x= + 2 2 8(sin cos ) 4(sin cos ) sin cos sin cos 2 2(2 sin 2 )x x x x x x x x x   ⇔ + − + + − = +   ( ) (sin cos ) 8 4 1 sin cos 2 2(2 sin cos )x x x x x x⇔ + − − = +    (sin cos )(1 sin cos ) 2(1 sin cos ) (1 sin cos )(sin cos 2) 0 x x x x x x x x x x ⇔ + + = + ⇔ + + − = sin cos 1 sin cos 2 x x x x = −  ⇔  + =  sin 2 2 2 sin 2 4 x x π = −   ⇔    + =  ÷     sin 1 2 4 4 2 x x k π π π π   ⇔ + = ⇔ + = +  ÷   2 ( ) 4 x k k π π ⇔ = + ∈Z c, Phương trình: 3sin 3cos 3x x⇔ + = 3 1 3 sin cos 2 2 2 sin sin cos cos cos 3 3 6 x x x x π π π ⇔ + = ⇔ + = (loại) Phương trình lượng giác cos cos 3 6 2 3 6 2 3 6 2 2 ( ) 2 6 x x k x k x k k x k π π π π π π π π π π π π   ⇔ − =  ÷    − = +  ⇔   − = − +    = +  ⇔ ∈   = +   Z *Bài tập: 2.1: Giải và biện luận theo m phương trình: 2 ( 1)sin 2( 1)cos 2 1 0m x m x m− − + + − = 2.2: Giải và biện luận phương trình: 2 2 2 cos 2 tan sin 1 tan a b x a b y x y − − = + 2.3: Cho phương trình: sin cos 1 sin .cosx x m x x+ = + a, Định m để phương trình có nghiệm. b, Giải phương trình với 2 3 3 m = 2.4: Định m để phương trình: 4 4 2 2 1 sin cos .sin 4 (2 1)sin cos 0 4 x m x m x x+ + − + + = Có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng , 4 2 π π    ÷   2.5: Định a để phương trình: sin 6 x + cos 6 x=a(sin 4 x+cos 4 x) có nghiệm 2.6 Cho phương trình : 2 2 2 2 tan (2 3)(tan cot ) 4 0 sin x m x x x + + + + + = a, Giải phương trình khi 1m = b, Định m là phương trình có nghiệm. 2.7: Cho phương trình: 6 6 sin .cos tan .tan 4 4 x x m x x π π =     + −  ÷  ÷     a, Giải phương trình khi 1 4 m = − b, Định m để phương trình có nghiệm Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ III: Phương trình tích. • Một số phương trình lượng giác không chuẩn mực, bằng phép biến đổi thích hợp (dùng công thức lượng giác, áp dụng hằng đẳng thức, nhóm các số hạng, chia đa thức …), ta đưa phương trình cần giải về dạng tích.: 0 . 0 0 A A B B =  = ⇔  =  Trong đó A=0, B=0 là các phương trình chuẩn. • Ta có thể định hàm số để phương trình có đúng 1, 2, …nghiệm trên mỗi miền, cần chú ý số nghiệm của mỗi phương trình thành phần (A=0, B=0), bài toán thường dẫn đến việc giải các bất phường trình hữu tỷ. Ví dụ: Cho phương trình: (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m)=3-4cos 2 x (1) a, Giải phương trình khi m=1 b, Định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, π ] GIẢI: a, m = 1 (1) 2 (2sin 1)(2cos2 2sin 1) 3 4(1 sin )x x x x⇔ − + + = − − (2sin 1).cos2 0 1 sin 2 cos2 0 2 6 5 2 6 x x x x x k x k π π π π ⇔ − =  =  ⇔  =   = +  ⇔   = +   b, (1) (2sin 1)(2cos2 1) 0x x m⇔ − + − = 1 sin 2 1 cos2 (*) 2 x m x  =  ⇔  −  =   Trên [0, π ], phương trình 1 sin 2 x = có hai nghiệm: 5 ; . 6 6 x x π π = = Để (1) có đúng hai nghiệm thuộc [0, π ] thì phương trình (*) vô nghiệm hay có 2 nghiệm 5 ; . 6 6 x x π π = = [...]... − , 2π ÷  2  3.5: Giải và biện luận phương trình: 2sin2x – m2sinx + sin3x = 0 3.6: Định m để phương trình: mcos3x + 4(1 - 2m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0 Có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng (0,2 π ) Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ IV: Định tham số để hai phương trình tương đương hay phương trình này là hệ quả của phương trình kia Ta xét hai phương trình lượng giác: f1 ( x) = g1 ( x ) (1) f 2 ( x) =... với phương trình sau: m.cos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0 (2) Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ V: Giải phương trình lượng giác có tham số bằng khảo sát hàm số Ngoài các phương pháp đại số đã nói trên, để giải, biện luận (định tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm), ta còn có thể giải bằng phương pháp khảo sát hàm Trước hết, ta biến đổi đưa phương trình về theo cùng một hàm số lượng. .. Có nghiệm x ∈  0, ÷  2 5.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin6x + cos6x = m sin 2x Phương trình lượng giác 5.3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin2x + 4(cosx – sinx) = m 5.4: Giải và biện luận phương trình theo tham số m: sin6x + cos6x = m(sin4x + cos4x) 5.5: Định m để phương trình: cos4x + (m – 2).sin2x + 4 = 0 vô nghiệm 5.6: Định m để phương trình: m.cos2x – 4(m – 2).cosx + 3.(m –... thức lượng giác của x 1 Nếu (1) không có tham số, giảit và tìm nghiệm của (1), sau đó thay x=x0 là nghiệm của (1) vào (2) ta tìm được tham số để có (1) => (2) Với tham số tìm được, ta tìm nghiệm (2) và xem nghiệm của (2) có phải là nghiệm của (1) hay không để kết luận 2 Nếu cả hai phương trình có tham số, ta biến đổi đưa phương trình về dạng tích, quan sát các nhân tử đồng dạng ở vế trái mỗi phương trình. .. hai phương trình: cos2x + sinx – 1 = 0 (1) m.sin3x + (m - 2)cos2x – (m+2)sinx + 2 – m = 0 (2) Tìm các giá trị của m để hai phương trình tương đương 4.3: Định a để hai phương trình sau tương đương: 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x (1) 2 4cos x – cos3x = acosx + (4 – a)(1 + cos2x) (2) 4.4: a, Giải phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x (1) b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình. .. lượng giác của cung x Đặt ẩn phụ t bằng hàm lượng giác đó với điều kiện thích hợp của ẩn phụ Sau đó, bằng phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng: F(t) = m với t ∈ D Khảo sát chiều biến thiên và dạng đồ thị của hàm số y = F(t), t ∈ D Tuỳ theo vị trí tương đối của đường thẳng y = m và đồ thị của y = F(t), ta biện luận được số nghiệm của phương trình theo t, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình. .. Giải phương trình: sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x b, Tìm các giá trị của a để phương trình đã cho tương đương với phương trình: sin3x = asinx + (4 – 2a)sin2x GIẢI: a, (1) ⇔ 3sin x − 4sin 3 x + 1 − 2sin 2 x = 1 + 2sin x.cos 2 x ⇔ 4sin 3 x + 2sin 2 x + 2sin x.cos 2 x − 3sin x = 0 ⇔ sin x(2sin x − 1) = 0 sin x = 0 ⇔ sin x = 1  2   x = kπ  π ⇔  x = + k 2π  6   x = 5π + k 2π 6  (k ∈ Z) Phương trình. . .Phương trình lượng giác 1 − m  m < −1  2 >1 ⇔ i) (*) vô nghiệm ⇔   1 − m < −1  m > 3   2  ii)(*) có 2 nghiệm: • x= π π 1 ⇒ cos 2 x = cos = 6 3 2 1− m 1 = 2 2 ⇒m=0 ⇒ • x= 5π 1 ⇒ cos 2 x = 6 2 1− m 1 = 2 2 ⇒m=0 ⇒ Vậy: m < −1 ∨ m > 3 ∨ m = 0 *Bài tập: 3.1:Giải các phương trình sau: a, 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0 b, sin3x +... trình lượng giác b, (2) ⇔ 3sin x − 4sin 3 x = a sin x + 2(2 − a)sin 2 x  t1 = 0  1 ⇔ t 2 =  2  a −3 t3 =  2 (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi: t3 = 0 ∨ t3 ∉ [ −1;1] ∨ t3 = Với t3 = 0 ⇔ a=3 1 2 1 2 ⇔ a=4 t3 = t3 ∉ [ −1;1] a − 3 a > 5  2 >1 ⇔ ⇔   a − 3 < −1  a < 1   2  Vậy : a < 1, a = 3, a = 4, a > 5 thì hai phương trình đã cho tương đương với nhau *Bài tập: 4.1: Định a,b để hai phương trình. .. của: y = t −1 Phương trình lượng giác t 2 − 2t (t − 1) 2 y' = t = 0; y = 1 y' = 0 ⇔  t = 2; y = 5 t -1 0 y’ + 0 y 1 - 1 1 2 −∞ Căn cứ vào bảng biến thiên của y ta có kết luận: • m >1 (4) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm • m =1 (4) có nghiệm t = 0 ⇔ x = • 1 < m . Phương trình lượng giác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC: Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi đưa phương trình cần giải về một hay. + + + − = + − = Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ II: Giải phương trình lượng giác bằng cách đặt ẩn phụ 1. Các phương trình chuẩn mực: a, Phương trình bậc hai đói với 1 hàm số lượng giác: 2 2 2 2 sin. trình có nghiệm Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ III: Phương trình tích. • Một số phương trình lượng giác không chuẩn mực, bằng phép biến đổi thích hợp (dùng công thức lượng giác, áp dụng hằng