Sáng kiến kinh nghiệm III. Nội dung: 1, Cơ sở lý thuyết: Các công thức cơ bản về luỹ thừa: ( với n, m N ; x, y R; x,y 0 ) 1, x n = x.xx ( n thừa số x) 2, x n . x m = x n + m 3, x n : x m = x n - m (n >m ) 4, (x n ) m = x n . m 5, (x . y) n = x n . y n 6, (x : y) n = x n : y n * Qui ớc: x o =1 ; x 1 = x 2. Nội dung cụ thể của đề tài: A. Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức Số 1: Viết kết quả dới dạng một luỹ thừa a, 4 20 . 8 10 d, (0,125) 3 . 512 b, 4 13 . 5 26 e, 9 20 : (0,375) 40 c, 27 15 : 9 10 Giải: a, 4 20 . 8 10 = (2 2 ) 20 . (2 3 ) 10 = 2 40 . 2 30 = 2 70 b, 4 13 . 5 26 = 4 13 . (5 2 ) 13 = (4 . 25) 13 = 100 13 c, 27 15 : 9 10 = (3 3 ) 15 : (3 2 ) 10 = 3 45 : 3 20 = 3 25 d, (0,125) 3 . 512 = (0,5 3 ) 3 . 2 9 = (0,5) 9 . 2 9 = (0,5 . 2) 9 = 1 9 = 1 e, 9 20 : (0,375) 40 = (3 2 ) 20 : (0,375) 40 = 3 40 : (0,375) 40 = (3 : 0,375) 40 = 8 40 * Phơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản về lũy thừa Số 2: Tính giá trị của biểu thức: A = 4 23 108 54.72 B = 411 1212 2.3 3.313.3 + C = 104.2 65.213.2 8 1010 + D = 114 1010 48 48 + + Giải: A = 4 23 108 54.72 = 432 23323 )3.2( )3.2.()3.2( = 128 6269 3.2 3.2.3.2 = 128 1211 3.2 3.2 = 2 3 = 8 B = 411 1212 2.3 3.313.3 + = 411 12 2.3 )313(3 + = 411 412 2.3 2.3 = 3 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm C = 104.2 65.213.2 8 1010 + = 13.2.2 )6513(2 38 10 + = 13.2 78.2 11 10 = 13.2 13.3.2 11 11 = 3 D = 114 1010 48 48 + + = 2212 2030 22 22 + + = )21(2 )12(2 1012 1020 + + = 2 8 = 256 * Phơng pháp giải: - Biểu thức A ta biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về tích các luỹ thừa của số nguyên tố rồi rút gọn. - Biểu thức B, C ta sử dụng tính chất ab ac = a (b c), đa tử và mẫu về dạng tích rồi rút gọn. - Biểu thức D, ta kết hợp hai phơng pháp trên. Dạng 2: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa Số 3: Tìm x N biết: a, 2 x .4 = 128 b, 8 1 2 1 12 = x c, (2x 3) 3 = 343 d, (2x 3) 2 = 9 e, (x 3) 6 = (x 3) 7 g, x 100 = x Giải: a, 2 x . 2 2 = 2 6 b, 312 2 1 2 1 = x => 2 x = 2 6 : 2 2 => 2x 1 = 3 => 2 x = 2 4 => 2x = 4 => x = 4 => x = 2 c, (2x - 3) 3 = 7 3 d, (2x 3) 2 = 9 => 2x 3 = 7 => (2x 3) 2 = ( 3) 2 => 2x = 10 => = = 332 332 x x => x = 5 => = = 02 62 x x => = = 0 3 x x e, (x 3) 6 = (x 3) 7 TH 1: Nếu x 3 = 0 => x = 3 (vì 0 6 = 0 7 = 0) TH 2: Nếu x 3 0, chia 2 vế cho (x 3) ta đợc 1 )3( )3( 6 7 = x x hay x 3 = 1 => x = 4 g, C1: x 100 = x => x = 0 hoặc x = 1 (vì 0 100 = 0 và 1 100 = 1) C2: x 100 = x => x 100 x = 0 => x( x 99 1) = 0 => = = 01 0 99 x x => = = = = 1 0 1 0 99 x x x x * Phơng pháp giải: Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm - ở câu a, b ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng cơ số, đẳng thức xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau. - ở câu c, d ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi cơ số ở 2 vế bằng nhau. - ở câu e, g ta sử dụng công thức 0 n = 0 và 1 n = 1 (n N * ) hoặc đa về dạng tích(câu g). Số 4: Cho A= 3 + 3 2 + 3 3 ++ 3 2008 Tìm x biết 2A + 3 = 3 x Giải : Ta có 3A = 3( 3 + 3 2 + 3 3 ++ 3 2008 ) = 3 2 + 3 3 ++ 3 2008 +3 2009 A = 3 + 3 2 + 3 3 ++ 3 2008 3A A = 3 2009 - 3 2A = 3 2009 - 3 => 2A + 3 = 3 2009 - 3 + 3 => 2A + 3 = 3 2009 Mặt khác: 2A + 3 = 3 x Suy ra: 3 2009 = 3 x hay x = 2009 * Phơng pháp giải: Tổng quát A = n + n 2 + n 3 ++ n k nA A = n k+1 - n => A = 1 n 1k + n n ( n, k N; n >1, k 1) Cao hơn ta có dạng toán đối với 2 ẩn x,y sau: Số 5: Tìm x, y biết: a, ( x- 3) 2 + (y+2) 2 = 0 b, (x-12 + y) 200 + ( x- 4 y) 200 = 0 c, 2x + 2 x+3 = 136 Giải: a, (x-3) 2 0 x (y+2) 2 0 y Để (x- 3) 2 + (y+2) 2 = 0 =+ = 0)2( 03)-(x 2 2 y = = 2 3x y b, Tơng tự câu a ta tìm đợc = = 4 8 x y c, Vì 136 = 2.4 + 2 7 Nên 2x + 2 x+3 = 2.4 + 2 7 => = = + 73 22 4.22 x x => =+ = 73 4x x => x= 4 * Phơng pháp giải: - Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các hạng tử đều bằng 0 - Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ra khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế. Bài toán trên là cơ sở để phát triễn bài toán cao và khó hơn sau: Số 6*: Tìm x, y biết: a, 2 x+1 . 3 y = 12 x b, 10 x : 5 y = 20 y c, 8. 2 3x . 7 y = 56 2x . 5 x-1 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Giải a, 2 x+1 . 3 y = 12 x 2 x+1 . 3 y = (2 3 .3) x 2 x+1 . 3 y = 2 2x . 3 x = =+ xy x21x = = 1 1 x y x= y =1 b, 10 x : 5 y = 20 y 10 x = 20 y . 5 y 10 x = 100 y 10 x = 10 2y x = 2y c, 8. 2 3x . 7 y = 56 2x . 5 x-1 2 3 . 2 3x .7 y = (2 3 .7) 2x . 5 x-1 2 3x+3 . 7 y = 2 6x . 7 2x . 5 x-1 = = = = =+ 2 1 01 2 633 y x x xy xx * Phơng pháp giải: Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố, đẳng thức xảy ra khi số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu a, b). Đồng thời triệt tiêu các số mũ của luỹ thừa không cùng cơ số(câu c) Dạng 3: So sánh luỹ thừa Dạng 3.1: Đa về hai luỹ thừa cùng cơ số Số 7: So sánh: a, 4 50 và 8 30 b, 17 9 1 và 12 27 1 Giải: a, 4 50 = (2 2 ) 50 = 2 100 8 30 = (2 3 ) 30 = 2 90 Vì số mũ 100 > 90 và cơ số 2( 2 >1) => 2 100 > 2 90 b, 17 9 1 = 34 17 2 3 1 3 1 = 12 27 1 = 36 12 3 3 1 3 1 = Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là 3 1 ( 0 < 3 1 < 1) nên 3634 3 1 3 1 > => 17 9 1 > 12 27 1 *Phơng pháp giải: Tổng quát. Với m, n N * và m > n , a 0 Ta có: - Nếu a > 1 thì a m > a n ( câu a) - Nếu a =1; a= 0 thì a m = a n - Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n (câu b) Đối với cơ số là số âm ta có bài toán sau Số 8: So sánh: a, (-27) 27 và (-243) 13 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm b, 25 8 1 và 13 128 1 Giải: a, (-27) 27 = (-3 3 ) 27 = (-3) 81 (-243) 13 = (-3 5 ) 13 = (-3) 65 Vì số mũ 81 > 65 ( là số lẻ) và cơ số 3 (3 < 0) nên (-3) 81 < (-3) 65 =>(-27) 27 <(-243) 13 b, 25 8 1 = 75 25 3 2 1 2 1 = 13 128 1 = 91 13 7 2 1 2 1 = Vì số mũ 75 < 91 và cơ số là 2 1 ( -1 < 2 1 < 0 ) nên 75 2 1 < 91 2 1 => 25 8 1 < 13 128 1 *Phơng pháp giải: Tổng quát Với m, n N * và m > n trong đó m, n là số lẻ, a < 0 Ta có: - Nếu a < -1 thì a m < a n (câu a) - Nếu a = -1 thì a m = a n - Nếu -1 < a < 0 thì a m > a n (câu b) L u ý: Với trờng hợp m, n là số chẵn ta đa về dạng bài 7 Dạng 3.2: Đa về 2 luỹ thừa cùng số mũ Số 9: So sánh: a, 32 30 và 9 75 b, 10 25 16 và 40 7 3 Giải: a, 32 30 = (2 5 ) 30 = 2 150 9 75 = (3 2 ) 75 = 3 150 Vì 2 < 3 nên 2 150 < 3 150 => 32 30 < 9 40 b, 10 25 16 = 20 10 2 5 4 5 4 = 40 7 3 = 20 20 2 49 9 7 3 = Vì 49 9 5 4 > nên 2020 49 9 5 4 > => 10 25 16 > 40 7 3 *Phơng pháp giải: Tổng quát Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Với m N * và a , b R. Ta có: - Nếu a < b thì a m < b m - Nếu a = b thì a m = b m - Nếu a > b thì a m > b m Trong nhiều trờng hợp việc đa 2 luỹ thừa về cùng cơ số hay đa về cùng số mũ một cách trực tiếp để so sánh chúng đều là việc không thể. Từ đó ta có các dạng so sánh cao hơn. Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh Số 10: So sánh: a, 63 7 và 16 12 b*, 17 14 và 31 11 Giải: a, Vì 63 7 < 64 7 < 64 8 và 16 12 = (4 2 ) 12 = 4 24 = 64 8 . Vậy 63 7 < 16 12 b, Ta có: 17 14 > 16 14 = (2 4 ) 14 = 2 56 và 31 11 < 32 11 = (2 5 ) 11 = 2 55 Vì 2 56 > 2 55 nên 17 14 > 31 55 *Phơng pháp giải: Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c ( b gọi là thành phần trung gian) - Câu a ta sử dụng 64 8 làm luỹ thừa trung gian để so sánh. - Câu b ta sử dụng 16 14 và 32 11 làm luỹ thừa trung gian để so sánh. Đối với những bài toán không thể sử dụng đợc các phơng pháp trên ta còn có phơng pháp cao và khó hơn sau: Dạng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân Số 11*: So sánh: 10 31 và 2 100 Giải Ta có 10 31 = 2 31 . 5 31 2 100 = 2 31 . 2 69 Vậy để so sánh 10 31 và 2 100 ta chỉ cần so sánh 5 31 và 2 69 5 31 = 5 3 . 5 28 = 5 3 . (5 4 ) 7 = 125 . 625 7 2 69 = 2 6 . 2 63 = 2 6 . (2 9 ) 7 = 64 . 512 7 Ta so sánh các cặp thừa số tơng ứng với nhau Vì > > 77 512625 64125 => 125 . 625 7 > 64 . 512 7 => 5 31 > 2 69 hay 10 31 > 2 100 *Phơng pháp giải: Với a, b, c, d N * . Nếu > > dc ba => a. c > b. d T. hợp luỹ thừa có mặt trong các biểu thức ta có dạng so sánh sau Dạng 4: So sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Số 12: So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trờng hợp: a, A = 110 110 16 15 + + và B = 110 110 17 16 + + b, C = 12 32 2007 2008 và D = 12 32 2006 2007 Giải: a, Ta có A = 110 110 16 15 + + => 10A = 10 . + + 110 110 16 15 = 110 1010 16 16 + + = 110 9 1 110 9110 1616 16 + += + ++ B = 110 110 17 16 + + => 10B = 10 . + + 110 110 17 16 = 110 1010 17 17 + + = 110 9 1 110 9110 1717 17 + += + ++ Vì 10 16 + 1 < 10 17 + 1 nên 110 9 110 9 1716 + > + => 110 9 1 110 9 1 1716 + +> + + => 10A > 10B hay A > B b, Ta có C = 12 32 2007 2008 => 2 1 C = 2 1 . 22 122 22 32 12 32 2008 2008 2008 2008 2007 2008 = = = 22 1 1 2008 D = 12 32 2006 2007 => 2 1 D = 2 1 . 22 122 22 32 12 32 2007 2007 2007 2007 2006 2007 = = = 22 1 1 2007 Vì 2 2008 2 > 2 2007 2 nên 22 1 22 1 20072008 < => 22 1 1 2008 > 22 1 1 2007 => 2 1 C > 2 1 D hay C > D *Phơng pháp giải: - ở câu a, biểu thức A và B có chứa luỹ thừa cơ số 10 -> ta so sánh 10A và10B - ở câu b, biểu thức C và D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so sánh 2 1 C và 2 1 D L u ý: Đối với từng trờng hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu mà ta nhân với hệ số thích hợp nhằm tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tơng ứng. Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Với a, n, m, K N * . Ta có: - Nếu m > n thì K - m a > K - n a và K + m a < K + n a - Nếu m < n thì K - m a < K - n a và K + m a > K + n a (còn gọi là phơng pháp so sánh phần bù) Số 13: So sánh M = 43 8 7 8 3 + và N = 43 8 3 8 7 + Giải Ta có: 43 8 7 8 3 + = 443 8 4 8 3 8 3 ++ = 443 8 4 8 3 8 3 + + 43 8 3 8 7 + = 433 8 3 8 4 8 3 ++ = 343 8 4 8 3 8 3 + + Vì 34 8 4 8 4 < => 443 8 4 8 3 8 3 + + < 343 8 4 8 3 8 3 + + => M < N Dạng 5: Tìm số các chữ số của một luỹ thừa Số 14: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trờng hợp sau: a, n = 8 3 . 15 5 b, m = 4 16 . 5 25 Giải: a, Ta có n = 8 3 . 15 5 = (2 3 ) 3 .(3.5) 5 = 2 9 . 3 5 . 5 5 = 2 4 . 3 5 . (2.5) 5 = 16.243 .10 5 = 3888. 10 5 Số 3888. 10 5 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy n có 9 chữ số. b, Ta có : m = 4 16 . 5 25 = (2 2 ) 16 . 5 25 = 2 32 .5 25 = 2 7 .(2 25 .5 25 ) = 128.10 25 Số 128.10 25 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy m có 28 chữ số. *Phơng pháp giải: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. Dạng 6: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Dạng 6.1: Tìm một chữ số tận cùng Số15: Tìm các chữ số tận cùng của các số sau a, 34 2008 b, 7 35 Giải: a, 34 2008 = (34) 1004. 2 = (34 2 ) 1004 = (6) 1004 = (6) Vậy 34 2008 có tận cùng là 6 b, 7 35 = (7) 4.8 + 3 = (7 4 ) 8 .7 3 = (1) 8 . 243 = (3) Vậy 7 35 có tận cùng là 3 * Nhận xét: Tìm một chữ số tận cùng của một luỹ thừa - Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) thì tận cùng vẫn là chính số đó. Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm - Các số có tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n N*) có tận cùng là 6. - Các số có tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n N*) có tận cùng là 1. Dạng 6.2: Tìm hai chữ số tận cùng Số16: Tìm hai chữ số tận cùng của a, 2 100 b, 7 2007 Giải a, Ta thấy 2 10 = 1024 Bình phơng của số có tận cùng là 24 thì tận cùng là 76 Số có tận cùng là 76 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 76. Do đó: 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 = ( 1024 2 ) 5 = (76) 5 =(76) Vậy 2 100 có hai chữ số tận cùng là 76 b, Vì 7 4 = 2401 Số có tận cùng là 01 khi nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 01 Do đó: 7 2007 = (7 4 ) 501 . 7 3 = ( 2401) 501 . 343 = (01) . 43 = (43) Vậy 7 2007 có hai chữ số tận cùng là 43 * Nhận xét: - Các số có tận cùng là 01; 25; 76 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng là chính nó - Các số 3 20 (hay 81 5 ) ; 7 4 ; 51 2 ; 99 2 có tận cùng bằng 01 - Các số 2 20 ; 6 5 ; 18 4 ; 24 2 ; 68 4 ; 74 2 có tận cùng là 76 - Số 26 n (n >1) có tận cùng là 76. Dạng 6.3: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên Số 17: Tìm ba chữ số tận cùng của 5 2005 Giải: Vì 5 4 = 625 Số có tận cùng là 625 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn có tận cùng là 625 Do đó : 5 2005 = (5 4 ) 501 . 5 = (625) 501 . 5 = (625) .5 = (125) Vậy 5 2005 có ba chữ số tận cùng là 125 * Nhận xét: - Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận cùng là chính nó. - Các số có tận cùng là 0625 dù nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) cũng có tận cùng là 0625. Dạng 7: Luỹ thừa trong toán chứng minh chia hết Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Dạng 7.1: Vận dụng chữ số tận cùng của luỹ thừa Số 18*: Chứng minh : a, 7777 197 3333 163 chia hết cho 10 b, 5 1 2 24n + + là một số tự nhiên (nN) Giải: a,Vì một số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10 nên ta cần chứng tỏ hiệu 7777 197 3333 163 có tận cùng bằng 0 . Ta có: 7777 197 = (7777) 196+1 = (7777 4 ) 49 . 7 = (1) 49 . 7 = (7) 3333 163 = (3333) 160+3 = ( 3333 4 ) 40 . 3 3 = (1) 40 . 27 = (7) Do đó 7777 197 3333 163 có tận cùng là 7 7 = 0 nên chia hết cho 10 b, Để c/m 5 1 2 24n + + là một số tự nhiên, ta cần c/m tử chia hết cho mẫu ( tức là 2 4n+2 + 1 5 ; nN) Ta có: 2 4n+2 + 1 = (2 4 ) n .2 2 + 1 = (6) n . 4 + 1 = (5) (nN) Vậy 2 4n+2 + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5 hay 5 1 2 24n + + là một số tự nhiên (nN) *Phơng pháp giải: - Sử dụng cách tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa . - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; 10; Dạng 7.2: Sử dụng tính chia hết của một tích Số19: Chứng minh rằng: a, 7 6 + 7 5 7 4 chia hết cho 11 b*, 24 54 . 54 24 . 2 10 chia hết cho 72 63 Giải: a, Ta có: 7 6 + 7 5 7 4 = 7 4 (7 2 + 7 1) = 7 4 (49 + 7 1) = 7 4 . 55 = 7 4 . 5. 11 11 b, Ta có 72 63 = (8.9) 63 = (2 3 . 3 2 ) 63 = 2 3.63 . 3 3.63 = 2 189 . 3 126 24 54 = (3.8) 54 = (3. 2 3 ) 54 = 3 54 . 2 3. 54 = 3 54 . 2 162 54 24 = (2.27) 24 = (2.3 3 ) 24 = 2 24 . 3 3.24 = 2 24 . 3 72 Do đó: 24 54 . 54 24 . 2 10 = 3 54 . 2 162 . 2 24 . 3 72 . 2 10 = 2 162 + 24 + 10 . 3 54 + 72 = 2 196 . 3 126 = 2 7 . (2 3 ) 63 . (3 2 ) 63 = 2 7 . (8.9) 63 = 2 7 . 72 63 72 63 Vậy 24 54 . 54 24 . 2 10 72 63 Số 20: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: a, 3 n +2 2 n+2 + 3 n 2 n 10 b, 3 n+3 + 3 n+1 + 2 n+3 + 2 n+2 6 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải [...]... = (63 )100 = 2 161 00 Để n200 < 63 00 (n2)100 < 2 161 00 n2 < 2 16 và n Z (*) Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) là n = 14 Nâng cao bài 21 lên ta có dạng toán khó hơn sau Số 24* : Tìm các số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 Giải: Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n48 và n48 < 572 Ta có : n48 > 364 (n3) 16 > (34) 16 (n3) 16 > 81 16 n3 > 81 Vì... luỹ thừa - Sử dụng tính chất chia hết của một tích Dạng 8: Số 22: Luỹ thừa trong bất đẳng thức Tìm số nguyên dơng n biết: a, 64 < 2n < 2 56 b, 243 > 3n 9 Giải: a, 64 < 2n < 2 56 => 26 < 2n < 28 => 6 < n < 8 , n nguyên dơng Vậy n = 7 b, 243 > 3n 9 => 35 > 3n 32 => 5 > n 2 , n nguyên dơng Vậy n = 4; 3; 2 Số 23: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho : n200 < 63 00 Giải: Ta có: n200 = (n2)100 63 00 = (63 )100... 10 + 2n + 1 2 3 = 3n 5 6 + 2n + 6 = (3n 5 + 2n + 1) 6 6 Vậy 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2 6 Số 21*: Chứng minh rằng: A = 75 (42007 + 420 06 + + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Giải: Ta có: A = 75 (42007 + 420 06 + + 42 + 4 + 1) + 25 = 25.3 (42007 + 420 06 + 42 + 4 + 1) + 25 = 25 (4-1) (42007 + 420 06 + 42 + 4 + 1) + 25 = 25 (42008 + 42007 + + 42 + 4 42007 420 06 -- 42 4 1) + 25 = 25... 4 < n 11 Vậy n { 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} * Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để đợc các bài toán sau: Số1: Tìm tổng các số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tơng tự trên ta có các số nguyên n thoã mãn là 5 +6+ 7+8+9+10+11= 56) Số2: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n48 < 572 ( số 10;... sánh: a, 544 và 2112 b*, 259 và 1017 So sánh giá trị của biểu thức A và B biết: 2000 A = 23 +3 2001 23 + 40 và 2001 B 23 + 3 2002 23 + 40 Số 6( Dạng 5): Tìm số các chữ số của số p = 22008 251003 63 Số 7*(Dạng 6) : Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải Sáng kiến kinh nghiệm 2004 2007 2008 +1 Số 8(Dạng 7): Chứng minh rằng: a, 10100 + 1099 + 1098 222 b, 817 279 ... tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) *Phơng pháp giải: - Đa các luỹ thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ rồi lập luận tìm n (số 20;21) - Có thể tách thành từng bất đẳng thức nhỏ rồi giải (số 22) B- Bài tập áp dụng: Số 1(Dạng 1): Tính giá trị của biểu thức: 7 4 A = 1 26 54 6 5 12 189 Số 2( Dạng 2): Số 3*(Dạng 2): Số 4(Dạng 3): Số 5(Dạng 4): Tìm x biết: a, (2x + 3)4 = 2401... rằng 20072005 20032003 10 Số 10(Dạng 7): Cho A = 4 + 42 + 43 + + 42008 a, Chứng minh rằng A 5 b, Chứng minh rằng A 84 Số 11(Dạng 8): Tìm n Z biết: a, 32 < 2n 512 b*, 318 < n12 208 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải . So sánh: a, 63 7 và 16 12 b*, 17 14 và 31 11 Giải: a, Vì 63 7 < 64 7 < 64 8 và 16 12 = (4 2 ) 12 = 4 24 = 64 8 . Vậy 63 7 < 16 12 b, Ta có: 17 14 > 16 14 = (2 4 ) 14 . 2 162 . 2 24 . 3 72 . 2 10 = 2 162 + 24 + 10 . 3 54 + 72 = 2 1 96 . 3 1 26 = 2 7 . (2 3 ) 63 . (3 2 ) 63 = 2 7 . (8.9) 63 = 2 7 . 72 63 72 63 Vậy 24 54 . 54 24 . 2 10 72 63 . n 200 < 6 300 Giải: Ta có: n 200 = (n 2 ) 100 6 300 = (6 3 ) 100 = 2 16 100 Để n 200 < 6 300 (n 2 ) 100 < 2 16 100 n 2 < 2 16 và n Z (*) Các dạng toán về luỹ thừa và phơng