hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1 CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. HÌNH HỌC PHNG 1/ Cc h thc lưng trong tam gic vuông Cho ABC vuông ti A, AH l đưng cao, AM l đưng trung tuyn. Ta c: 2/ Cc h thc lưng trong tam gic thưng a) Đnh l hm s cosin b) Đnh l hm s sin c) Công thc tnh din tch ca tam gic A C B R 2 sin sin sin a b c R A B C (R l bn knh đưng trn ngoi tip ABC) b c a A B C b c a p – na chu vi r – bn knh đưng trn ni tip  1 1 1 . . . 2 2 2 ABC a b c S a h b h c h  1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ABC S ab C bc A ac B  ,. 4 ABC ABC abc S S p r R  , 2 ABC a b c S p p a p b p c p A B C b c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 b c a a b c bc A A bc a c b b a c ac B B ac a b c c a b ab C C ab A B C H M  2 2 2 BC AB AC Pitago  AH BC AB AC  22 . , .AB BH BC AC CH CB  2 2 2 2 1 1 1 ,.AH HB HC AH AB AC  2 BC AM hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 d) Công thc tnh đ di đưng trung tuyn ca tam gic 2 2 2 2 24 AB AC BC AM . 2 2 2 2 24 BA BC AC BN . 2 2 2 2 24 CA CB AB CK . 3/ Đnh l Talet 4/ Din tch ca đa gic a/ Din tch tam gic vuông  Din tch tam gic vuông bng ½ tch 2 cnh gc vuông. b/ Din tch tam gic đu  Din tch tam gic đu: . 3 4 S  Chiu cao tam gic đu: . 3 2 h c/ Din tch hnh vuông v hnh ch nht  Din tch hnh vuông bng cnh bnh phương.  Đưng cho hnh vuông bng cnh nhân 2 .  Din tch hnh ch nht bng di nhân rng. A B C N K M 2 2 // AMN ABC AM AN MN MN BC k AB AC BC S AM k S AB (T din tch bng t bnh phương đng dng) A B C N M A C B 1 . 2 ABC S AB AC A B C a h 2 3 4 3 2 ABC a S a h A B C D a O 2 2 HV Sa AC BD a (cnh) 2 đu (cnh) đu hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 3 d/ Din tch hnh thang  Din tch hnh thang: S Hnh Thang 1 2 .(đy ln + đy b) x chiu cao e/ Din tch t gic c hai đưng cho vuông gc  Din tch t gic c hai đưng cho vuông gc nhau bng ½ tch hai đưng cho.  Hnh thoi c hai đưng cho vuông gc nhau ti trung đim ca mi đưng. Lưu : Trong tnh ton din tch, ta c th chia đa gic thnh nhng hnh đơn gin d tnh din tch, sau đ cng cc din tch đưc chia ny, ta đưc din tch đa gic. II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Quan H Song Song a/ Chng minh đưng thng // ()d mp vi ()d  Chng minh: // 'dd v ' ( )d  Chng minh: ()d v // () b/ Chng minh // ()mp mp  Chng minh ()mp cha hai đưng thng ct nhau song song vi mp .  Chng minh ()mp v mp cng song song vi 1 mt phng hoc cng vuông gc vi 1 đưng thng. c/ Chng minh hai đưng thng song song: p dng mt trong cc đnh l sau  Hai ( ),mp c đim chung S v ln lưt cha 2 đưng thng song song ,ab th // // () Sx a b .  // // () () a mp ba a mp . 2. Quan H Vuông Góc a/ Chng minh đưng thng d mp  Chng minh d vuông gc vi hai đưng thng ct nhau cha trong ()mp . A B H C D . 2 AD BC AH S A B D C . 1 . 2 H Thoi S AC BD hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 4  Chng minh: // ' ' dd d mp d mp  Chng minh: // d mp mp mp d mp  Hai mt phng ct nhau cng vuông gc vi mt phng th 3 th giao tuyn ca chng vuông gc vi mt phng th 3: P P d P d b/ Chng minh đưng thng 'dd  Chng minh d v 'd .  S dng đnh l ba đưng vuông gc.  Chng t gc gia d v 'd bng 0 90 . c/ Chng minh mp mp  Chng minh d mp mp d (chng minh mp cha 1 đưng thng vuông gc vi mp kia)  Chng t gc gia hai mt phng bng 0 90 . 3/ Gc V Khoảng Cch. a/ Gc gia hai đưng thng  L gc to bi hai đưng thng ct nhau ln lưt v cng phương vi hai đưng thng đ: // // ' ( , ) ( ', ') ' aa a b a b bb b/ Gc gia đưng thng d v mt phng mp  L gc to bi đưng thng đ v hnh chiu ca n trên mt phng. , ( , ')d d d (vi 'd l hnh chiu vuông gc ca d lên ()mp ).   d 'd  a b 'a 'b hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 5 c/ Gc gia hai mp v mp  L gc c đnh nm trên giao tuyn u , 2 cnh ca hai gc ln lưt nm trên 2 mt phng v cng vuông gc vi giao tuyn. ( ); ( , )ab d/ Khoảng cch t mt đim đn mt đưng thng:  L đ di đon vuông gc v t đim đ đn đưng thng ,d M MH e/ Khoảng cch gia hai đưng thng song song:  L khong cch t mt đim trên đưng thng (mt phng) ny đn đưng thng (mt phng) kia. f/ Khoảng cch gia mt đưng thng v mt mt phng song song  L khong cch t mt đim trên đưng thng đn mt phng. g/ Khoảng cch gia hai đưng thng cho nhau  L đ di đon vuông gc chung ca 2 đưng thng đ.  L khong cch MH t mt đim M trên d đn mp cha 'd v song song vi d .  L khong cch gia hai mt phng song song , ln lưt cha d v 'd .    a b u M d 'd M M H M d 'd hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 6 S A B C H O A B C D S O H 4/ Hinh Chp Đu a/ Đnh ngha. Mt hnh chp đưc gi l hnh chp đu nu c đy l mt đa gic đu v c chân đưng cao trng vi tâm ca đa gic đy. Nhn xt:  Hnh chp đu c cc mt bên l nhng tam gic cân bng nhau. Cc mt bên to vi đy cc gc bng nhau.  Cc cnh bên ca hnh chp đu to vi mt đy cc gc bng nhau. b/ Hai hnh chp đu thưng gp * Hnh chp tam gic đu: Cho hnh chp tam gic đu .S ABC . Khi đ:  Đy ABC l tam gic đu.  Cc mt bên l cc tam gic cân ti S .  Chiu cao: SO .  Gc gia cnh bên v mt đy: SAO SBO SCO .  Gc gia mt bên v mt đy: SHO .  Tnh cht: 2 1 3 ,, 3 3 2 AB AO AH OH AH AH .  Lưu : Hnh chp tam gic đu khc vi t din đu. + T din đu c cc mt l cc tam gic đu. + T din đu l hnh chp tam gic đu c cnh bên bng cnh đy. * Hnh chp t gic đu: Cho hnh chp tam gic đu .S ABCD .  Đy ABCD l hnh vuông.  Cc mt bên l cc tam gic cân ti S .  Chiu cao: SO .  Gc gia cnh bên v mt đy: SAO SBO SCO SDO .  Gc gia mt bên v mt đy: SHO . hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 7 A B 5/ Xc Đnh Đưng Cao Hnh Chp a/ Hnh chp c mt cnh bên vuông gc vi đy: Chiu cao ca hnh chp l đ di cnh bên vuông gc vi đy. V d: Hnh chp .S ABC c cnh bên SA ABC th chiu cao l SA . b/ Hnh chp c mt mt bên vuông gc vi mt đy: Chiu cao ca hnh chp l chiu cao ca tam gic cha trong mt bên vuông gc vi đy. V d: Hnh chp .S ABCD c mt bên SAB vuông gc vi mt đy ABCD th chiu cao ca hnh chp l chiu cao ca SAB . c/ Hnh chp c hai mt bên vuông gc vi đy: Chiu cao ca hnh chp l giao tuyn ca hai mt bên cng vuông gc vi đy. V d: Hnh chp .S ABCD c hai mt bên SAB v SAD cng vuông gc vi mt đy ABCD th chiu cao l SA . d/ Hnh chp đu: Chiu cao ca hnh chp l đon thng ni đnh v tâm ca đy. V d: Hnh chp t gic đu .S ABCD c tâm mt phng đy l giao đim ca hai đưng cho hnh vuông ABCD th c đưng cao l SO . 6/ Th Tch Khối Đa Din 1/ Th tch khối chp: 1 . 3 V B h :B Din tch mt đy. :h Chiu cao ca khi chp. 2/ Th tch khối lăng tr: .V B h :B Din tch mt đy. :h Chiu cao ca khi chp. Lưu : Lăng tr đng c chiu cao cng l cnh bên. C D S O C A B B’ A’ C’ A B C A’ B’ C’ a b c a a a S hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 8 3/ Th tch hnh hp ch nht: V a b c Th tch khối lp phương: 3 Va 4/ T số th tch: . ' ' ' . ' ' ' S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC 5/ Hnh chp ct A’B’C’.ABC '' 3 h V B B BB Vi , ',B B h l din tch hai đy v chiu cao. B. BÀI TẬP MẪU Th d 1. Cho hình chóp .S ABC c đy là tam gic vuông tại 0 , 30 ,B BAC SA AC a và SA vuông góc với mp ABC .Tính th tích khi chp .S ABC và khoảng cch Bi giải tham khảo Tnh th tch khi chp .S ABC . * Ta c: . 1 . . 1 3 S ABC ABC V S SA * Trong đ: 2SA a * Tm ABC S ? Trong ABC vuông ti B , ta c: 0 0 0 0 .sin 30 sin 30 2 3 cos 30 .cos 30 2 a BC BC AC AC AB a AB AC AC 2 1 1 3 3 . . . 3 2 2 2 2 8 ABC a a a S AB BC * Thay 2 , 3 vo 23 . 1 3 3 1. 3 8 24 S ABC aa Va (đvtt) 4 S A C B 30 0 a hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 9 Tnh khong cch t A đn mp SBC . * Ta c: . . 3. 1 , . , 5 3 S ABC S ABC SBC SBC V V d A SBC S d A SBC S * Tm SBC ? Ta c: BC AB BC mp SAB BC SB SBC BC SA vuông ti B . 22 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 . . . . . 2 2 2 2 2 SBC aa S BC BS AC AB SA AB a a 2 1 7 7 6 2 2 2 8 a a a * Th 4 , 6 vo 5 3 2 3 8 21 ,3 24 7 7 aa d A SBC a . Th d 2. Cho hình chóp .S ABCD c đy ABCD là hnh chữ nhật c ,2AB a BC a . Hai mp SAB và mp SAD cng vuông gc với mt phng đy, cạnh SC hợp với đy một gc 0 60 . Tính th tích khi chp .S ABCD theo a . Bi giải tham khảo  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SAD ABCD SA ABCD SAB SAD SA . Hnh chiu ca SC lên mp ABCD l AC . 0 , 60SC ABCD SCA . S A D B C 60 0 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 10  M: . 1 .1 3 S ABCD ACBD V SAS .  Tm ?SA Trong SAC vuông ti A : tan .tan SA SCA SA AC SCA AC 2 2 0 2 2 .tan 60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a .  Ta li c: 2 . .2 2 3 ABCD S AB BC a a a .  Thay 2 , 3 vo 3 2 1 2 15 1 15 2 33 ABCD a V a a (đvtt). Th d 3. Hình chóp .S ABC có 2BC a , đy ABC là tam gic vuông tại ,C SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mt phng vuông gc với mt đy. Gọi I là trung đim cạnh AB . a/ Chng minh rằng, đường thng SI mp ABC . b/ Biết mp SAC hợp với mp ABC một gc 0 60 . Tính th tích khi chp .S ABC . Bi giải tham khảo a/ CM: SI mp ABC  Do SAB vuông cân ti c SI l trung tuyn SI cng đng thi l đưng cao SI AB .  Ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) () SAB ABC AB SAB ABC SI mp ABC AB SI SAB (đpcm) b/ Tnh th tch khi chp .S ABC  Gi K l trung đim ca đon AC . SK va l trung tuyn va l đưng cao trong SAC SK AC .  Trong ABC vuông ti C c KI l đưng trung bnh. //KI BC KI AC BC AC . S A B C I K 60 0 2a [...]... - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 14 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật S với AB a, AD a 2, SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N lần lượt là trung... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán (ABC ) (ACC ' A ') {AC } Mà: AC IH (ABC ) AC A ' I (ACC ' A ') Trong tan 450 ACC ' A ' ; ABC 600 A ' IH A ' HI vuông tại H , ta có: A' H HI A' H IH tan 45o IH a 3 3 4 1 MB 2 a2 3 a 3 3a 3 VABC A ' B 'C ' 4 4 16 Thi dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông  Thay 2 ,... mặt đáy thi SO S mp ABCD nên SO là đường cao của hình chóp và gọi M là trung điểm đoạnCD A D 600 O 12 B 2a C M hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán CD  Ta có: CD CD SM (SCD ) OM (ABCD ) (SCD ) (ABCD ) 600 SMO (góc giữa mặt (SCD ) và mặt đáy) 1 S SO 3 ABCD  Ta có: VS ABCD 1  Tìm SO ? SO OM Trong SMO vuông tạiO ,... BG C’ 600 B’ N A G M B C hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Tìm B 'G ? Trong 600 nên nó là nữa tam giác đều cạnh là BB ' B ' BG vuông tạiG và có B ' BG a ; B 'G 2  Tìm AB, BC ? BG a 3 2 2 A 9a 16 2 x 4 3x 2  Thế 2 , 3 vào 1 x2 VA ' ABC C N 600 Đặt AB 2x Trong ABC vuông tạiC có BAC cũng là nữa tam giác đều với... cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC HD: 16 B hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b, ACB  600 Đường...hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán  Mặt khác: mp(ABC ) KI AC SK AC mp(SAC ) mp(ABC ) mp(SAC )  Mà: VS ABC 1 S 3 1 ABC SI {AC } mp SAC ; mp ABC  Tìm SI ? Trong SKI vuông tại I , ta có: SI tan SKI SI IK tan SKI IK  Tìm S ABC ? S ABC 1 BC AC 2 1 BC AB 2 2... hình vuông ABCD cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB, BC ,CD Tính thể tích khối tứ diệnCMNP HD: Gọi H là trung điểm S của AD thi SH AD SH ABCD MK // SH K VCMNP 1 S 3 1 a2 a 3 3 8 4 HB CNP MK ABCD M MK A a 3 3 96 B K H D 13 N P C hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm... AC là hình chiếu a A vuông góc của BC lên (ACC A ) CC ' 2 AC ' AC 2 2 (3a )  Vậy, thể tích lăng trụ là: V a 2 B.h 300 AC tan 600  Trong tam giác vuông ABC ' : AC  Trong tam giác vuông ACC ' : C B’ Từ đó, góc giữa BC và (ACC A ) là BC A  Trong tam giác vuông ABC : AB 600 30o a 3 0 AB.cot 30 a 3 3 A’ 3a C’ B’ 2a 2 1 AB.AC CC ' 2 1 a 3.a.2a 2 2 a 3 6 (đvdt) Thi dụ 6 Cho hình chóp... Tìm S ABC ? S ABC 1 BC AC 2 1 BC AB 2 2 1 2a 2a 3 2 2 2a 2 1 BC tan 600 2 BC 2 SKI 600 a 3 2 1 BC 2SI 2 2 BC 2 2a 2 2 3 1 2 2a 3 6 2a 2.a 3 3 3 Thi dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của A ' xuống mp ABC là trung điểm của AB Mặt Thế 2 , 3 vào 1 VS ABC bên AA 'C 'C tạo với đáy một góc bằng 45 Tính thể tích của khối... AB 2 a 3 3 3 AD 2 2 AB 2 3 2 B A I a 6 3 M D 2 AI 2 BI 2 C AIB vuông tại I 1 a2 2 a a 3 2 3 6 2 36 Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và VN AIB mp ABC bằng 60 0 , tam giác ABC vuông tạiC và góc BAC 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mp ABC trùng với trọng tâm của ABC . hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1 CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. HÌNH HỌC PHNG 1/ Cc h thc. đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 14 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn. chiu vuông gc ca d lên ()mp ).   d 'd  a b 'a 'b hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán