Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 1 1. Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: abP ab ab ,()  ⊂ ⇔  ∩=∅  P b) Tính chất • ()()() ()(),, ()() ()() PQR PQaabcñoàngqui PRbabc QRc  ≠≠    ∩= ⇒   ∩=   ∩=   PP • ()() (),() () PQd dab PaQb dadb ab  ∩=   ⊃⊃⇒   ≡≡    PP P • , ab ab acbc  ≠ ⇒   P PP 2. Đường thẳng và mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅ b) Tính chất • (),'() () ' dPdP dP dd  ⊄⊂ ⇒   P P • () (),()() dP da QdQPa  ⇒  ⊃∩=  P P • ()() (),() PQd da PaQa  ∩= ⇒   P PP 3. Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ b) Tính chất • (), ()() (),() Pab abMPQ aQbQ  ⊃  ∩=⇒    P PP • ()() ()()()() ()() PQ PRPQ QR  ≠  ⇒    PP P • ()() ()() ()() QR PQaab PRb   ∩=⇒   ∩=  P P 4. Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) • Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. • Áp dụng các định lí về giao tuyến song song. b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh () dP P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. CHƯƠNG 0 ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 I. QUAN HỆ SONG SONG Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 2 1. Hai đường thẳng vuông góc a) Định nghĩa: ¶ abab 0 (,)90 ⊥⇔= b) Tính chất • Giả sử u r là VTCP của a, v r là VTCP của b. Khi đó .0 abuv ⊥⇔= rr . • bc ab ac  ⁄⁄ ⇒⊥  ⊥  2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) b) Tính chất • Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng: abPabO dP dadb ,(), () ,  ⊂∩= ⇒⊥  ⊥⊥  • ab Pb Pa () ()  ⇒⊥  ⊥  P • ab ab aPbP(),()  ≠ ⇒  ⊥⊥  P • PQ aQ aP ()() () ()  ⇒⊥  ⊥  P • PQ PQ PaQa ()() ()) (),()  ≠ ⇒(  ⊥⊥  P • aP ba bP () ()  ⇒⊥  ⊥  P • aP aP abPb () ) ,()  ⊄ ⇒(  ⊥⊥  P • Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. • Định lí ba đường vuông góc Cho (),() aPbP ⊥⊂, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó baba ′ ⊥⇔⊥ . 3. Hai mặt phẳng vuông góc a) Định nghĩa: (P) ⊥ (Q) ⇔ · 0 90 PQ((),()) = b) Tính chất • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: () ()() () Pa PQ aQ  ⊃ ⇒⊥  ⊥  • ()(),()() () (), PQPQc aQ aPac  ⊥∩= ⇒⊥  ⊂⊥  • ()() ()() ,() PQ APaP aAaQ  ⊥  ∈⇒⊂   ∋⊥  • ()() ()()() ()() PQa PRaR QR  ∩=  ⊥⇒⊥   ⊥  4. Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh da ⊥ , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau: • Chứng minh góc giữa a và d bằng 90 0 . • Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau. • Chứng minh db ⊥ mà ba P . • Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a. • Sử dụng định lí ba đường vuông góc. II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 3 • Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). • Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). • Chứng minh d // a và a ⊥ (P). • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q). • Chứng minh · ( ) 0 (),()90 PQ= 1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: ¶ · aabbabab ,(,)(',') ′′ ⇒= PP Chú ý: 0 0 ≤ ¶ ab (,) ≤ 90 0 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: • Nếu d ⊥ (P) thì · ( ) ,() dP = 90 0 . • Nếu () dP ⊥ thì · ( ) ,() dP = · ( ) ,' dd với d′ là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 0 0 ≤ · ( ) ,() dP ≤ 90 0 c) Góc giữa hai mặt phẳng · ( ) ¶ ( ) () (),(), () aP PQab bQ  ⊥ ⇒=  ⊥  • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng (), (), aPac bQbc  ⊂⊥  ⊂⊥  ⇒ · ( ) ¶ ( ) (),(), PQab = Chú ý: · ( ) 00 0(),()90 PQ≤≤ d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H) trên (Q), ϕ = · ( ) (),() PQ . Khi đó: S′ = S.cosϕ 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng: • Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. • Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. III. GÓC – KHOẢNG CÁCH Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 4 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. • 222 ABACBC += • 22 ABBCBHACBCCH .,. == • 222 111 AHABAC =+ • ABBCCBCBACCACB .sin.cos.tan.cot ==== b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. • Định lí hàm số cosin: 222222 22 222 a=bc2bccosA;bcacaBcababC – cos;.cos +=+−=+− • Định lí hàm số sin: R C c B b A a 2 sin sin sin === • Công thức độ dài trung tuyến: 222222222 222 242424 abc bcacababc mmm;; +++ =−=−=− 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: • cba hchbhaS . 2 1 . 2 1 . 2 1 === • CabBcaAbcS sin 2 1 sin. 2 1 sin 2 1 === • R abc S 4 = • prS = • ( ) ( ) ( ) Sppapbpc =−−− • ∆ABC vuông tại A: 2 SABACBCAH == • ∆ABC đều, cạnh a: 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy × cao = · ABADsinBAD e) Hình thoi: · 1 2 SABADsinBADACBD == f) Hình thang: ( ) hbaS . 2 1 += (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 SACBD . = IV. Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 5 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật: Vabc = với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. 2. Thể tích của khối chóp: 1 3 ñaùy VSh . = với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3. Thể tích của khối lăng trụ: ñaùy VSh . = với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ * Bổ sung • Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên • Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy. VẤN ĐỀ 1: Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích • Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … • Sử dụng công thức thể tích tương ứng để tính thể tích. Khi tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ bằng công thức cần chú ý đến việc xác định đường cao của khối chóp, khối lăng trụ. 1.1. KHỐI CHÓP Baøi 1. Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA = 3 2 a . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. HD: 3 3 16 a V = . Baøi 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SB = 3 a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. HD: 3 2 3 a V = . Baøi 3. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và SA = 3a, tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc · 0 120 ABC = . Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD: 3 3 Va= . Baøi 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, BC = 2a và · 0 60 ABC = ; SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α. HD: 3 Va tan α = . Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, 3 ABa = , AC = 2a, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) bằng 0 60 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM. CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 6 HD: 3 3 4 a V = . Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông cân tại B nội tiếp trong một đường tròn (C) tâm I bán kính 2 a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại I, lấy một điểm S và trên đường tròn (C) lấy một điểm M sao cho diện tích của hai tam giác SAC và SBM đều bằng 2 2 a . Tính thể tích của khối tứ diện SABM theo a. HD: 3 2 3 Va = . Baøi 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2 a . Gọi A′ và B′ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Mặt phẳng (CA′B′) chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. HD: 33 22 124 SABCABCAB aa VV . ; ′′′′ ==. Baøi 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 0 60 . 1) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD: 3 6 24 a V = . Baøi 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD: 3 3 8 a V = . Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 0 60 . 1) Tính thể tích khối chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). HD: 1) 3 3 3 a V = 2) 3 2 a d = Baøi 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với mặt bên SAB một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD: 3 2 6 a V = . Baøi 12. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC và SA = h, biết rằng tam giác ABC đều và mặt bên SBC hợp với đáy ABC một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp SABC HD: 3 3 3 h V = . Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 7 SB = a, SC hợp với mặt bên SAB một góc 0 30 và mặt bên SAC hợp với đáy ABC một góc 0 60 . Chứng minh rằng 2222 SCSBABAC =++ . Tính thể tích khối chóp S.ABC. HD: 3 3 27 a V = . Baøi 14. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc · 0 120 BAC = , biết SAABC () ⊥ và mặt bên SBC hợp với đáy một góc 0 45 . Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 3 9 a V = . Baøi 15. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, biết SA ⊥ (ABCD), SC = a và SC hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. HD: 3 3 48 a V = . Baøi 16. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết rằng SA ⊥ (ABCD), SC hợp với đáy một góc 0 45 và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp. HD: 3 20 Va = . Baøi 17. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 0 60 và SA ⊥ (ABCD), biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 2 4 a V = . Baøi 18. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) và mặt bên SCD hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 6 2 a V = . Baøi 19. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB = 2R, biết mặt bên SBC hợp với đáy ABCD một góc 0 45 . Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 3 4 R V = . Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD HD: 2) 3 3 6 a V = . Baøi 21. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AD hợp với mặt (BCD) một góc 0 60 . Tính thể tích tứ diện ABCD. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 8 HD: 3 3 9 a V = . Baøi 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 0 45 . 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC. 2) Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 2) 3 12 a V = . Baøi 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). 1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC. 2) Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 2) 3 3 24 a V = . Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 0 45 . Tính thể tích của khối chóp SABC. HD: 3 12 a V = . Baøi 25. Cho hình chóp SABC có · · BACABC 00 90;30 ==; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 3 2 24 a V = . Baøi 26. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt đáy ABC một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 3 43 9 h V = . Baøi 27. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện ABCD. HD: 3 6 36 a V = . Baøi 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. 1) Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 2) 3 4 9 a V = . Baøi 29. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD, mặt bên SAC hợp với đáy ABCD một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 9 HD: 3 3 4 a V = . Baøi 30. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC = 4a, mặt bên SAB vuông góc với đáy ABCD, hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 83 9 a V = . Baøi 31. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 5 12 a V = . Baøi 32. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a; AB = 2a; tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD. HD: 3 3 2 a V = . Baøi 33. Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. HD: 3 6 6 a V = . Baøi 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α (45 0 < α < 90 0 ). Tính thể tích hình chóp. HD: Tính h = 1 2 a tan α ⇒ Va 3 1 tan 6 =α Baøi 35. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. HD: 3 3 6 a V = . Baøi 36. Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích khối chóp đều SABC. HD: 3 11 12 a V = . Baøi 37. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp. HD: 3 3 16 a V = . Baøi 38. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 0 45 . 1) Tính chiều cao SH của chóp SABC. 2) Tính thể tích khối chóp SABC. Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 10 HD: 1) 3 a SH = 2) 3 6 a V = . Baøi 39. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp SABC. HD: 3 3 24 a V = . Baøi 40. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h hợp với một mặt bên một góc 0 30 . Tính thể tích khối chóp. HD: 3 3 3 h V = . Baøi 41. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp. HD: 3 3 8 h V = . Baøi 42. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và · ASB 0 60 = . 1) Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều SABCD. 2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. HD: 1) 2 3 3 a S = 2) 3 2 6 a V = . Baøi 43. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp. HD: 3 2 3 h V = . Baøi 44. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 0 45 và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích khối chóp. HD: 3 83 3 a V = . Baøi 45. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 0 60 . Tính thề tích khối chóp. HD: 3 3 12 a V = . Baøi 46. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là hình chóp tứ giác đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng 3 92 2 a . HD: AB = 3a. [...]... u bng 60o HD: Gi s a = min {a, b, c} Trờn AC, AD ly ln lt hai im C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, t gi thit suy ra ABC1D1 l t din u cnh a nờn cú VABC D = 1 1 2 3 a 12 VABC D AC1 AD1 a2 bc 2abc = = VABCD = VABC D = 2 1 1 VABCD AC AD bc 12 a ã Baứi 9 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi cnh a, BAD = 60o , SA ( ABCD ) v SA = a Gi C l trung im ca SC Mt phng (P) qua AC v song song vi BD ct cỏc cnh... HD: Ta cú MN // BC MN // (ABC) d(MN, AC) = d(MN, (ABC)) = d(M, (ABC)) 1 1 1 VA MBC = SMBC A A = Mt khỏc VA MBC = VM A BC = SA BC h 3 12 3 d(MN, AC) = h = 2 4 Baứi 5 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = 3a v SA vuụng gúc vi mt phng (ABC) Tam giỏc ABC cú AB = BC = 2a, ã = 120 0 Tỡm khong cỏch t A n mt phng (SBC) ABC HD: d(A, (SBC)) = 3a 13 13 Baứi 6 Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a Qua trung im I ca cnh... tam giỏc vuụng cõn ti B v AC = 2a; mt bờn A'BC hp vi ỏy ABC mt gúc 450 Tớnh th tớch ca khi lng tr HD: V = a3 2 Baứi 25 Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti A vi AB = AC = a ã v BAC = 120 0 ; mt phng (A'BC) hp vi ỏy ABC mt gúc 450 Tớnh th tớch khi lng tr ABC.A'B'C' HD: V = a3 3 8 Baứi 26 Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v BB' = AB = h; mt phng (B'AC) hp vi... AA' = 2a Tớnh th tớch khi lng tr trong cỏc trng hp sau õy: 1) Mt phng (ACD') hp vi ỏy ABCD mt gúc 450 2) BD' hp vi ỏy ABCD mt gúc 600 3) Khong cỏch t D n mt phng (ACD') bng a HD: 1) V = 16a 3 2) V = 12a 16a3 3) V = 3 3 Baứi 29 Cho lng tr ng ABCD.A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Tớnh th tớch khi lng tr trong cỏc trng hp sau õy: 1) Mt phng (BDC') hp vi ỏy ABCD mt gúc 600 2) Tam giỏc BDC' l tam... SABCD 5a3 3 6 Baứi 2 Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1 Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y HD: Chia khi SABC thnh hai khi SIBC v AIBC (I l trung im SA) xy V= 4 x 2 y2 12 Baứi 3 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA (ABC) Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM V= 2 HD: VSAMN SA SM SN SA 2 3a3... 300 Tớnh th tớch ca hỡnh hp HD: V = 3a3 2 Baứi 11 Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC vuụng cõn ti B, bit A'C = a v A'C hp vi mt bờn (AA'B'B) mt gúc 300 Tớnh th tớch khi lng tr HD: V = a3 2 16 Baứi 12 Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC vuụng ti B bit BB' = AB = a v B'C hp vi ỏy (ABC) mt gúc 300 Tớnh th tớch khi lng tr HD: V = a3 3 2 Baứi 13 Cho lng tr ng ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a,... BMN = VS BCD = VS ABCD VS.BCD 4 4 8 ã Baứi 11 Cho lng tr u ABC.ABC cú cnh ỏy bng a, gúc BCC = 300 Gi V, V ln V lt l th tớch ca khi lng tr ABC.ABC v khi a din ABCAB Tớnh t s V HD: V 2 = V 3 Baứi 12 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn A v AB = a Trờn ng thng qua C v vuụng gúc vi mt phng (ABC) ly im D sao cho CD = a Mt phng qua C vuụng gúc vi BD, ct BD ti F v ct AD ti E 1) Tớnh th tớch khi t din ABCD 2)... 600 3) A'B hp vi (AA'CC') mt gúc 300 3 3 2) V = a 3 4 3 3 9 9 Baứi 18 Cho lng tr ng ABCD.A'B'C'D' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng v BD' = a Tớnh th tớch lng tr trong cỏc trng hp sau õy: HD: 1) V = 2a 6 Trang 12 3) V = 4a Khi a din Trn S Tựng 1) BD' hp vi ỏy ABCD mt gúc 600 2) BD' hp vi mt bờn (AA'D'D) mt gúc 300 HD: 1) V = a3 3 16 2) V = a3 2 8 Baứi 19 Cho lng tr ng tam giỏc ABC A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc... khong cỏch t C n mp(SAD) 3V 3V 1 3a3 a 3 d (C ,(SAD )) = SACD = SABCD = HD: VS ABCD = SI S ABCD = 3 6 SSAD 2 SSAD 2 Baứi 7 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = 3a v SA mp( ABC ) ABC cú AB = BC = 2 a, ã ABC = 120 0 Tỡm khong cỏch t A n mp(SBC) ã 1 1 1 HD: VS ABC = SA.S ABC = 3a 3a2 = 3a3 , SSBC = SB.SC.sin BSC = 2 3a2 3 3 2 d ( A,(SBC )) = 3VS ABC 1 = a SSBC 2 Baứi 8 Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú cnh bng... gia CK v AD HD: K AH // CK (H thuc cnh CC), khi ú: d (CK , AD ) = d (CK ,( AHD )) = d (C ,( AHD )) = d (C ,( AHD )) = 3VAHC ' D ' S AHD 3 1 a H l trung im ca CC v tớnh c VAHC ' D ' = AD.SHC ' D ' = 3 12 AHD cú: DH = DC '2 + HC '2 = a 5 3a ; AD = a 2 ; AH = AD 2 + HD 2 = 2 2 ã ã ã 3a 2 1 3 1 cos AD H = sin AD H = S AD ' H = D A.D H sin AD H = 2 4 10 10 d (CK , AD ) = d (CK ,( AHD )) = 3VAHC ' D . được thể tích của khối đa diện cần tính. b) Tính thể tích bằng cách bổ sung Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành. SB. Mặt phẳng (CA′B′) chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. HD: 33 22 124 SABCABCAB aa VV . ; ′′′′ ==. Baøi 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC. cao của khối chóp 3. Thể tích của khối lăng trụ: ñaùy VSh . = với S đáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ * Bổ sung • Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp)