SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 Họ và tên: TRƯƠNG MẠNH HÙNG Chức vụ: HIỆU TRƯỞNG Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Hương - TP Thanh Hóa SKKN thuộc môn: TOÁN NĂM HỌC 2010 – 2011 A- PHẦN MỠ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong việc giảng dạy môn toán ở nhà trường THCS hướng dẫn học sinh giải bài tập là thể hiện phương pháp dạy học . Hướng dẫn cách giải bài tập giúp học sinh nắm bắt con đường từ xuất phát đến nút cuối cùng của một bài toán . Từ đó học sinh tụ mình từng bước xây dựng được phép suy luận khi phải độc lập giải quyết vấn đề . Trong khi tự giải một bài toán , tránh cho học sinh giải bài toán một cách máy móc , do đó việc phân chia các dạng toán ở mức độ nhất định , phải coi trọng phân tích đặc điểm bài toán để có lời giải hợp lý . thông qua các bài tập mà cung cấp thêm kinh nghiệm giải toán và rèn luyện phương pháp suy luận . Trong quá trình dạy học môn toán , tôi suy ngẫm vẫn khẳng định rằng : phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều yêu điểm và phát huy được tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán gồm hai nội dung: a - Dạy cách tìm tòi lời giải của bài toán b - Dạy cách giải toán c. Từ những bài toán (giải phương trình bậc cao) đưa về những phương trình cơ bản đã được học Quả vậy vai trò của người thầy chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải , thầy giáo phải dự định được các hướng giải và phân tích nên chọn hướng nào . Đồng thời xây dựng được một phương pháp “Nhìn” bài toán dưới “góc độ “ tư duy sáng tạo cho học sinh ở mức độ nào đó . Từ đó tôi suy nghĩ rằng một phương pháp dạy tốt là một phương pháp xích gần nhận thức trong học tập của học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác là phương pháp dạy cho học sinh tư duy sáng tạo - cốt lõi của hoạt động dạy và học , vì vậy tôi chỉ chọn một khía cạnh trong việc hường Trang 2 dẫn học sinh có cách tư duy sáng tạo cho các bài toán và các em đưa ra những cách giải cơ bản ở một số phương trình bậc bốn nói chung, mà hiện nay trong chương trình Đại số cấp THCS chỉ đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt . II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Thông qua một số ví dụ cụ thể để hình thành những nét đặc trưng của quá trình sáng tạo của học sinh THCS và nó biểu hiện cụ thể như thế nào trong hoạt động dạy và học , đặc biệt trong việc hướng dẫn học sinh tìm ra “phương hướng” giải các dạng bài tập đó . III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: Do điều kiện về thời gian , đề tài này chỉ đề cập đến một số ví dụ mang tính đặc trưng. IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm \ B - NỘI DUNG: Trang 3 I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Thực sự trong quá trình giải toán là hoạt động tư duy sáng tạo toán học mà cụ thể là hoạt động tìm tòi , do đó để tìm con đường hoạt động độc lập và sáng tạo cho học sinh , thầy giáo cần tổ chức hoạt động giải toán cho học sinh ở dạng hoạt động tìm tòi , đặc biệt trong quá trình luyện tập . Để tổ chức hoạt động tìm tòi , để rèn luyện năng lực hoạt động sáng tạo cho học sinh thì cần làm tốt những vấn đề sau: 1- Rèn luyện kỷ năng vận dụng lý thuyết để giải bài tập , cần phận loại mức độ 2- Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng đặc biệt hoá , tổng quát hoá và tương tự để giải các bài tập. 3- Rèn luyện cho học sinh cách mò mẫm , dự đoán kết quả khi giải các bài toán. 4- Tạo cho học sinh thói quen nhìn bài toán ( dự kiến kết quả ) dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Khi thực hiện các biện pháp trên , thầy giáo có điều kiện đề xuất cho học sinh ( hoặc tự học sinh đề xuất những tình huống mới )mà quá trình giải quyết thúc đẩy hoạt động độc lập sáng tạo của học sinh. II. MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 0 234 =++++ dcxbxaxx (I) 1. Giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích ra thừa số: Đối với một phương trình bậc bốn nói trên ta có thể giải bằng cách phân tích vế trái ra thừa số, bằng nhiều phương pháp phân tích khác nhau. * Ví dụ 1: Giải phương trình 01262 234 =++−+ xxxx (1) (Đề thi chuyên A Bùi Thị Xuân 30.7.1994) ở đây ta nhận thấy , phương trình (1) không phải là phương trình trùng phương, cách giải như thế nào ? Ta thử phân tích ra thừa số của vế trái để làm hạ bậc rồi đưa về dạng phương trình cơ bản để giải. Thật vậy ta có: 0)1(2)1(0)242()12()1( 222234 =−+−⇔=+−++−⇔ xxxxxxxx Trang 4 [ ]    =++ =− ⇔=++−⇔ 014 01 02)1()1( 2 22 xx x xxx đến đây ta có thể giải hết sức đơn giản và tìm ra nghiệm của (1). * Ví dụ 2: Giải phương trình 012610 234 =+++ xxx (2) (Đề thi HSG Lê Quí Đôn Q5 TP HCM) ở phương trình nay ta thấy không thể phân tích được thành nhân từ mà chỉ ở dưới dạng tổng các bình phương, nên suy ra phương trình vô nghiệm, cụ thể:      =+ =+ ⇔=+++⇔ 01 05 0)1()5()2( 2 2 222 x xx xxx khong thể xẩy ra. * Ví dụ 3: Giải phương trình 01437104 234 =−+−− xxxx (3) Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai qpxx ++ 2 và srxx ++ 2 trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có: 1437104 234 −+−− xxxx = ( qpxx ++ 2 )( srxx ++ 2 ) (3’) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có:        −= =+ −=++ −=+ 14 37 10 4 qs qrps prqs rp Nhờ phương trình cuối cùng của hệ số này ta dự đoán và nhận thấy các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy được của q và s nha sau: q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14 s -14 -7 -2 1 14 7 2 1 Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q = 2 , s = -7 phương trình thức hai và thứ ba của hệ cho ta hệ phương trình mới    =+− −= 3727 5 rp pr khi Trang 5 đó khử p ta được 035372 2 =+− rr giải phương trình này ta có r = 1 . Vậy suy ra p = -5 Thay các giá trị p,q,r,s vào (3’) ta có )7)(25(1437104 22234 −++−=−+−− xxxxxxxx Vậy phương trình (3) 0)7)(25( 22 =−++−⇔ xxxx giải ra ta có các nghiệm như sau: 2 291 ; 2 175 ±−± Đây chính là giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích thành nhân từ mà cụ thể ở ví dụ 3 này là phân tích bằng phương pháp hệ số bất định. 2. Giải phương trình bậc bốn với cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lý (trong một số trường hợp cụ thể nào đó) * Ví dụ 4: Giải phương trình a. 015125 234 =++−+ xxxx (4) (Thi học sinh giỏi Quận 1 TPHCM năm 1992-1993) Ở phương trình (4) ta có thể dùng phương pháp như trên cũng được , Song ta nhận thấy nếu x = 0 thì phương trình vô nghiệm vậy 0≠x ta chia cả hai vế của phương trình cho x 2 : (4) 012) 1 (5) 1 ( 2 2 =−+++⇔ x x x x (4’) Đặt x xt 1 += như vậy (4’) 7;2014501252 22 −==⇔=−+⇔=−+−⇔ tttttt Thay vào ta có:      ±− = = ⇔     =++ =+− 2 457 1 017 012 2 2 x x xx xx đây cũng chính là nghiệm của (4) Đây được gọi là phương trình phản thương loại 1. (Nghĩa là: Hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số tự do và hệ số của hạng tử bậc ba bằng hệ số của hạng tử bậc nhất) Trang 6 Nhìn chung khi gặp phương trình dạng này ta chỉ cần chia hai vế của phương trình cho x 2 đối với phương trình bậc bốn. Ta cũng có thể khái quát với phương trình bậc 2n+1. * Ví dụ 5: Giải phương trình 1)3()2( 44 =−+− xx (5) (Thi vào 10 chuyên Toán - Tin học ĐHTH TP HCM 22-06-1996) Cũng như trên nếu ta “phá” ra thì hết sức phức tạp, Từ đó ta phải suy nghỉ như thế nào để có cánh giải quyết một cách “nhanh gọn”, cỉ có cánh đặt ẩn phụ. Song đặt như thế nào ? làm ra sao ? Ta đưa ra dạng tổng quát như sau: cbxax =+++ 44 )()( (5’) Từ đó ta xây dựng cách làm như sau: Đặt: 2222 ba ya ba yax ba yx ba xy − +=+ + −=+⇒ + −=⇒ + += Tương tự 22 ba yb ba ybx − −=+ + −=+ Thay vào (5’) ta được phương trình trùng phương: 0)( 8 1 )(32 4224 =−−+−+ cbaybay (5’’) đến đây ta giải hết sức đơn giản bài toán ở ví dụ 5 Bằng hai cách: + Đặt 2 1 2 )3(2 2 += −−− +=− yyx ; 2 1 2 )3(2 3 −= −−− −=− yyx Ta có: (5) 0 8 7 3201)32( 8 1 )32(32 244224 =−+⇔=−+−++−+⇔ yyyy Đến đây ta đặt t = y 2 đưa về phương trình bậc hai: 072416 2 =−+ tt Giải ra ta được 4 1 =t 2 1 ±=⇔ y Thay vào ta có nghiệm của (5) là 3;2 == xx Đây là cách mà chúng ta đưa phường trình bậc bốn như trên về phương trình trung phương mà chúng ta đã học ở lớp 9 + Ta cũng có thể đặt ẩn phụ tuỳ theo từng bài toán cụ thể, như ở bài ví dụ này ta đặt như sau: 123 +=−⇒=− txtx vậy (5) 1)1( 44 =++⇔ tt Trang 7 hay    −= = ⇔      =++ =+ = ⇔=+++⇔=+++ 1 0 02 01 02 0)2)(1(20)232(2 2 223 t t tt t t tttttttt từ đó ta có x 1 = 3 hoặc x 2 = 2 là nghiệm của phương trình (5). ở đây ta lại đặt cách khác (linh hoạt) đưa phương trình như trên về dạng phương trình tích . * Ví dụ 6: Giải phương trình 01363 234 =+++− xxxx (6) (Thi lớp 10 Lê Hồng Phong TPHCM 1997-1998 ban A-B) Nhận thấy ở phương trình (6) có hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số của hạng tử tự do và hệ số của hạng tử bậc ba và hệ số hạng tử bậc nhất đối nhau. Đây chính là phương trình phản thương loại 2. Cách giải như cũng giồng như phương trình phản thương loại 1. Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Nếu x ≠ 0: Chia cả hai vế của phương trình cho x 2 ta được phương trình mới: 0) 1 (3) 1 (0 13 63 2 2 2 2 =−−+⇔=++−− x x x x xx xx đặt 2 11 2 2 2 +=+⇒=− t x xt x x ta nhận được phương trình 043 2 =−− tt giải ra ta có 4;1 =−= tt hay               += −= ⇒=−−⇒=−       +− = −− = ⇒=−+⇒−=− 52 52 0144 1 2 51 2 51 011 1 4 3 2 2 1 2 x x xx x x x x xx x x * Ví dụ 7: Giải phương trình 0445 234 =++−− xxxx (7) Ta nhận thấy theo cách giải bằng cách phân tích ra thừa số thì ta có nghiệm của vế trái là 2;2 −== xx như vậy vế trái sẽ chứa nhân tử là 4 2 −x và Trang 8 dùng so đồ Hoocne ta phân tích được như sau: (7) 0)1)(4( 22 =−−−⇔ xxx và tìm ra nghiệm một cách dễ dàng đó là phương trình (7) có 4 nghiệm 2 51 ; 2 51 ;2;2 4321 + = − =−== xxxx Song nếu ta có cánh nhìn sáng tạo, thì cũng có: (7) 0)1(4)1(0)444( 2222234 =−−−−−⇔=−−−−−⇔ xxxxxxxxxx 2 51 ; 2 51 ;2;2 01 04 0)1)(4( 4321 2 2 22 + = − =−==⇔     =−− =− ⇔=−−−⇔ xxxx xx x xxx Như vậy cách trên hoặc cách này hoàn toàn đều được ở một bài toán này * Ví dụ 8: Giải phương trình 0521104832 234 =++−− xxxx (8) Ta viết (8) dưới dạng 05)34(7)92416(2 2234 =+−−+− xxxxx Đặt xxy 34 2 −= lúc này (8) 2 5 10572 21 2 ==⇔=+−⇔ yyyy vµ Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi đã thay 2 5 ;1 21 == yy vào xxy 34 2 −= ): ⇔      =−− =−− 0568 0134 2 2 xx xx Nghiệm của phương trình (8) đã tìm là 2 1 ; 4 5 ; 4 1 ;1 4321 −==−== xxxx * Ví dụ 9: Giải phương trình 0246)( 222 =++−− axxax (9) Đây là phương bậc bốn đối với biến x, mặt khác chúng còn có thêm một biến a: (9) 024)62( 224 =++++−⇔ aaxxax (9’) Nếu sử dụng phương giải phương trình bậc bốn bằng cách phân tích ra thừa số thì hết sức khó khăn. Trang 9 Song chúng chú ý đến nếu chúng ta nhìn theo quan điểm đây là phương trình bậc hai đối với biến a thì việc giải phương trình bậc hai lại trong “tầm tay”. Như vậy ta viết phương trình (9) 046)1(2 2422 =+−+−−⇔ xxxaxa (9’’) Lúc này phương trình (9’’) chính là phương trình bậc hai với ânr là a. Với cách nhìn này ta tìm được x theo x và có nghiệm là: )12(1144146121 22224242 2,1 −±−=+−±−=−+−+−±−= xxxxxxxxxxxa Như vậy ta lại giải phương trình bậc hai đối với x: (**)02(*)022 22 =−−=−−+ axxaxx vµ ta tìm được nghiệm của phương trình (9). Điều kiện để (*) có nghiệm là 03 ≥+ a và các nghiệm của phương trình (*) là: ax +±−= 31 2,1 Điều kiện để (**) có nghiệm là 01 ≥+ a và các nghiệm của phương trình (**) là: ax +±= 11 4,3 Tổng kết: Như vậy với một số vía dụ ta giải được phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình dễ dần tới việc giải các phương trình tích và phương trình quen thuộc. * Ví dụ 10: Cho phương trình Trang 10 a -3 -1 Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm Phương trình (9) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm [...]... vậy phương trình (10) có 4 nghiệm khi a=2 Câu b: Để giải và biện luận phương trình này, chúng ta chưa có đường lối cụ thể với phương trình bậc bốn Nhưng nhờ có cách nhìn sáng tạo và vai trò của các chữ trong phương trình là như nhau nên ta có thể coi phương trình (10) dưới phương trình ẩn là a và ta có: a 2 + 2(1 + 5 x − x 2 )a + ( x 4 − 10 x 3 + 22 x 2 + 12 x) = 0 (10’) Xem (10’) là phương trình bậc. .. khó như những bài toán về phương trình bậc bốn * Có nhiều em đạt giải trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp trường trởt lên * Số học sinh đã biết lựa chọn một trong các phương pháp hoặc phối hợp các phương pháp giải phương trình bậc bốn hết sức linh hoạt Mong rằng bằng kinh nghiệm của mình đã được trình bày trong sáng kiến này, có thể đóng góp một phần nhỏ trong phương pháp giải toán theo hướng tích... đổi này chủ yếu: * Nếu dùng phương pháp phân tích ra thừa số cần chú ý: - Dùng các phương pháp phân tích đã học lớp 8 - Đặc biệt là phương pháp nhẫm nghiệm, phương pháp hệ số bất định, Phương pháp tách một hay nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt, Trang 15 và phương pháp nghiệm riêng để nhằm đưa vế trái của phương trình về dạng tích và áp dụng giải phương trình tích * Nếu phương pháp sáng tạo, biến... 2a + a 2 = 0 (10) a Giải phương trình khi a = 2 b Giải và biện luận theo tham số a Đây là phương trình bậc 2 đối với x và có tham số a tham dự vào phương trình Trước hết ta xem xét câu a: ở đây ta chỉ việc thay a = 2 vào phương x = 0  trình (10) ⇒ x − 10 x + 26 x − 8 x = 0 ⇔ x( x − 4)( x − 6 x + 2) = 0 ⇔  x − 4 = 0  x 2 − 6 x + 20 = 0  4 khi đó 3 ta 2 có 2 nghiệm của phương trình như sau: x1 =... với đời sống, sản xuất để kích thích lòng ham mê học toán của các em, làm cho các em thấy được vẻ đẹp của toán học Có như vậy người dạy toán mới hoàn thành nhiệm vụ Như vậy để giải được phường trình bậc bốn, chúng ta có thể sử dụng nhuần nhiễu các phương pháp cùng một lúc Mà thực chất là chúng ta biến đổi một cách sáng tạo, linh hoạt vế trái của phương trình về phương trình tích và phương trình quen... 2 2 2 2 Do t2 > 0 với mọi a,b do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân a = b + 1 b = a + 1 2 biệt, thì t2 = 0 ⇔ (a − a) − 1 = 0 ⇔ (a − b − 1)(a − b + 1) = 0 ⇔  Ngoài ra còn một số cách nưa như giải phương trình bằng phương pháp đồ thị thì ta chuyển phương trình : x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (I) bằng cách ta đặt x 2 = y − mx khi đó ta được hệ phương trình: a  4  y = x + 2 x (*)   3 2... ra phương trình (10’) phân tích được thành: Trang 11 a -9 Phương trình (*) Vô mghiệm -6 2 nghiệm 2 nghiệm Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm Phương trình (10) 2 nghiệm 4 nghiệm Vô nghiệm  x 2 − 6 x − a = 0 (*) (a − x 2 + 6 x)(a − x 2 + 4 x + 2) = 0 ⇔  2 Khi này ta giải  x − 4 x − a − 2 = 0 (**)  và biện luận các phương trình (*) và (**) theo tham số a * Ví dụ 11: Chứng minh rằng phương. .. Vế trái dương bằng cách nhóm hợp lý Chỉ cần xét một khoảng hợp lý nào đó ( như trên ) thì nhận thấy phương trình (11) vô nghiệm ∀x Hay chúng ta đi xét một ví dụ về phương trình trùng phương sau: * Ví dụ 12: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt: x 4 − 2(a 2 + b 2 − 1) x 2 + (a 2 − b 2 + 1)2 − 4a 2 = 0 (12) Ở bài toán này thì ta đưa về phương trình bậc hai khi ta đặt... thì cần: - Khai thác sâu đầu bài - Coi các chữ có mặt trong phương trình là có vai trò như nhau và ta cỏ thể xem chữ này là ẩn hoặc chữ kia là ẩn - Hoặc dùng cách đổi biến (đặt ẩn phụ) một cách hợp lý Trang 16 D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong suốt quá trình áp dụng đường lới phân tích để gải toán phương trình bậc bốn, bản thân tôi đã đạt được một số kết quả khả quan * Học sinh đã thấy yêu môn học hơn, không... parabôn, đồ thị của (*) và của đường tròn đồ thị (**) là nghiệm của phương trình (I) Hay chúng ta cũng có thể xây dựng được công thức nghiệm Do thời gian không cho phép nên trong bài viết này tôi chỉ nêu ra hai phương pháp để giải phương trình bậc bốn mà trong quá trình giảng bản thân đã tích luỹ củng như thường xuyên phải sử lý bằng những cách giải trên là cơ bản Trang 13 Tóm lại thông qua sơ đồ sau: ax . tích và ph ơng trình quen thuộc. Việc biến đổi này chủ yếu: * Nếu dùng ph ơng ph p ph n tích ra thừa số cần chú ý: - Dùng các ph ơng ph p ph n tích đã học lớp 8. - Đặc biệt là ph ơng ph p nhẫm. ph ơng ph p nhẫm nghiệm, ph ơng ph p hệ số bất định, Ph ơng ph p tách một hay nhiều hạng tử, ph ơng ph p thêm bớt, Trang 15 và ph ơng ph p nghiệm riêng để nhằm đưa vế trái của ph ơng trình về dạng. trái của ph ơng trình dễ dần tới việc giải các ph ơng trình tích và ph ơng trình quen thuộc. * Ví dụ 10: Cho ph ơng trình Trang 10 a -3 -1 Ph ơng trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm Ph ơng