MỤC LỤC 3.1 3.2 Phổ năng lượng của dao động lượng tử của mạng tinh thể biểu diễn MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lý đã có rất nhiều những đóng góp lớn, đã giải thích được nhiều những hiện tượng trong tự nhiên, đặc biệt trong ngành vật lý chất rắn đã có những đóng góp rất quan trọng đã tạo ra các vật liệu cho một số ngành kĩ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết. Hon nữa gần đây áp dụng hình thức luận dao động lượng tử rất có hiệu quả trong nghiên cứu quang lượng tử, sự quay và rung của các hạt nhân, chất rắn, vật chất đông đặc, dao động mạng tinh thể Với lý do trên tôi chọn đê tài nghiên cún tìm hiêu vê "dao động mạng tinh thế biến dạng tông quát và pho năng lượng của chủng”. 2.Mục đích nghiên cún - Nghiên cứu về dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng lượng của chúng. 1 3.Nhiệm vụ nghiên cún - Nghiên cứu mạng tinh thể. - Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát. - Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể. 4.Đối tượng nghiên cún - Nghiên cún về dao động mạng tinh thể và dao động biến dạng. 5. Phương pháp nghiên cún - Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết. - Phương pháp giải tích. NỘI DƯNG CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THẺ 1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đơn mode thỏa mãn: [a, a + ] = 1 (1.1.1) Toán tử số dao động N N = a + (1.1.2) Trong đó: a: là toán tử hủy dao động a + : là toán tử sinh dao động Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có: [N,a] = [aa + ,a] = a[a + ,a] + [a,a] a + = — a (1.1.3) [N, a + ] = [aa + , a + ) = a[a + , a + ] + [a, a + ) a + = a + (1 1 4) Xét không gian Fock với trạng thái chân không 10) thoa mãn: alO) = 0 2 Trạng thái In) là trạng thái có n dao động tử có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các trạng thái riêng đã chuẩn hóa có dạng: In) =^^10) n = 0,1,2 (1.1.5) Ta CÓ toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p liên hệ vói các toán tử dao động a, a + như sau: Q =JỄ ( a + + a ) 3 p =- i J~r ( a ~ a+ ) Khi ấy hệ thức giao hoángiữa toán tử tọa độ Q và toántử xung lượng p [Q, P] =J [(a + + à), (a + - ã)] = Y ([a ,a + ] -[a + , riị) = ih[a,a + ] (1.1.6) Thế (1.1.1) vào (1.1.6) suy ra: [Q, P] = ih (1.1.7) Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau: H = -i-P 2 + im 2 Q 2 = (a+ - á) 2 + 7(a + + a) 2 = - (a + a + aa + ) = - (2a + a + [a, a + ]) = £(2W + 1) (1.1.8) Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H: Hln) = £ n |n> H = J (2N + l)ln) = ^ (2n + l)ln> Suy ra: E n =ị{ 2n + l) n = 0,1,2 (1.1.9) Nhận xét: Công thức (1.1.9) là công thức xácđịnh năng lượng của dao động tử điều hòa 1 chiều đã được cơ lượng tử giải thích một cách chính xác. Từ hệ thức (1.1.8) dẫn đến hệ thức bất định Heisenberg: <(AỌ) 2 X(AP) 2 )=f (2n + 1) 2 > f (1.1.10) Ta thấy: 4 là: (Q) = (nlQln) = 0 <p> = <nlPln) = 0 (1.1.11) Do đó độ lệch toàn phương ((AỌ) 2 ), ((AP) 2 của toạn độ và xung lượng <(AỌ) 2 ) = ((Ọ- (Q)) 2 ) = (Q 2 ) h 2 (nl(a + + a) 2 | n) (nl a + a|n) + (nlaa + |n) (nl2N + l|n> (2n+ 1) 2mơ) <(AP) 2 > = ((P- (P)) 2 ) = (P 2 ) h 2 (nl(a + — aỴ |n) 2 mơ) = — (nl a + a|n) + (nlaa + |n) = — <nl2Af + l|n> = ~~(2n + 1) Suy ra: <(AỌ) 2 X(AP) 2 )=^(2n + 1) 2 > f 1.2 Dao động tử Fermion Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn: [b,b + }=\ b 2 = (b + ) 2 = 0 (1.2.1) Toán tử số dao động N có dạng: 5 là: 2mc ủ h 2 2 mù ) h 2 2 mù ) h 2 N = b + b (1.2.2) Trong đó: b: toán tử hủy dao động b + : toán tử sinh dao động Tương tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán [N, b] = —b [N ,b + ] = b + (1.2.3) Đại số (1.2.2) có thế thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là vecto đã chuấn hóa của toán tử số dao động tử N: In) = (b + ) n 10 n= 0, 1 (n=0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli) Khi ấy tác dụng của toán tử b, b + lên trạng thái In) : bl0> = 0 bll) = IO> Ò + I0> = I1) b + II) = 0 (1.2.4) 1.3 Dao động tử biến dạng 1.3.1 Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh và toán tử hủy dao động tử ã , ẵ + theo hệ thức sau: ẵẵ + □ qẵ + ã=q~ N (1.3.1) Với q là thông số biến dạng: Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: Ấ?ln> q = nln), (1.3.2) Toán tử hủy, sinh â, ă + và toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức: 6 Ở đây |0) là trạng thái nền và dùng kí hiệu: (1.3.5) â(â + ) n IO) = ( qẵ + ã + q~ N ) (a + ) n_1 IO) = {q~ N (â + ) n-1 + qẵ + а(а + ) п ~ г } 10) = {q~ N (a + ) n_1 + qẵ + (qâ + â + q ~ N ) (â + ) n-2 }IO) = {q~ N (â + ) n_1 +q~ N +2 (a + ) n-1 +(a + ) n-1 a(a + ) n-2 } 10) = {(q N + q N +2 + + q N+ 2 n 2 )(â + ) n 1 + q n (ẵ + ) n ẵ} 10) =>â + â(a + ) n IO) = {(q~ N +1 +q~ N +3 + + q~ N +2 n _ 1 ) (â + ) n + q n (a + ) n+1 aỊIO) Vậy: ẵ + ẫ\n) q = (q~ n +1 +q~ n +3 + + q*- 1 ) |n> q |n>. =[п]д|п)д • aâ + |n> Q = aâ + ^=IO> 7 (1-3.3) [ N, â + ] = ẵ + [N,ẵ] = - a Chúng ta đưa vào cơ sở của không gian Fock: (1.3.4) S + â|n> (? = ẫ + ã 10) 8 9 ___(à + ) n , m , (â + ) n im - q â â vw l0> + í? f^ l0> = ợâ + â|n) ÍJ + q~ N \n) q = í ?7^ |n>, + «r n |n>, | n > 0 Vậy: â + â|n) (ỉ =[n] (; |n> (ỉ ââ + |n) (ỉ =[n + l] (Ị |n> (ỉ (1.3.6) Hamiltonian được biếu diễn qua toán tử tọa độ X và toán tử xung lượng p có dạng: H = ỉl + ĩ-m 2 x 2 (1.3.7) 2m 2 x ' Toán tử hủy và sinh dao động tử â, â + của dao động biến dạng q: ã = J ấ ( $ + Các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các toán tử hủy và sinh dao động tử â, â + : ^=jE (ã+ ế + ) p =-ij^y (â - â + ) (1.3.9) Thay (1.3.8) vào (1.3.9) ta được: 1 0 qn+i_ q-m-i+q-in-i _ q-n -1 q-q- 1 Ơ n+ 1 _ 0 -n-i |n><J = [n + llạln), Lị c/ [...]... (1.3.10) Ph nng lng ca dao ng bin dng q: H\n) q =E n \ỡ) q - (õ + + õ + )\n) q = E n \n) q ^([n + l],+[n]()|n>(| = Ênln>(J Vy: = 2 [n + l]< + [n] 1.3.2 Dao ng t Fermon bin dng q Dao ng t Fermion bin dng q c biu din thụng qua cỏc toỏn t sinh dao ng t b + v toỏn t hy dao ng t b nh sau: (1.3.11) Trong phng trỡnh (1.3.11) nu f = 1 thỡ tr v h thc dao ng t iu hũa (1.2.2) Toỏn t s dao ng t iu hũa N tha món:... riờng tr riờng nh sau: $ |n)r = n|n)r Vi trng thỏi riờng ó chun húa N c vit di dng: (1.3.13) (1.3.14) (1.3.15) Khi f = 1 ta cú dao ng t Fermion iu hũa (1.2.2) 1.4 Dao ng mng tnh th 1.4.1 Chui nguyờn t cựng loi Chui cỏc nguyờn t cựng loi xp t cỏch u nhau mt khong bng a (hng s mng tinh th) trờn trc Ox, mi nguyờn t cú khi lng M v chuyn ng quanh v trớ cõn bng ca nú n-l n n+1 X eQ 0 Q 0 : x ! na Ta ca... c = X(l) hự)(k)õÊõ k (1.4.10) 1.4.2 Chui hai nguyờn t khỏc loi Xột chui nguyờn t gm 2 loi khỏc nhau, loi th nht cú khi lng M L , loi th 2 cú khi lng M2, xp sen k cỏch u nhau 1 khong bang (hng s mng tinh th l 2a, mi ụ c s cha 2 nguyờn t) trờn trc Ox, mi nguyờn t chuyn ng quanh v trớ cõn bng ca mỡnh Gi di ca nguyờn t th nht l u 2 t(t) di ca nguyờn t th hai l v 2 n + 1 (ớ) Cỏc xung lng ng vi cỏc ... ^2m+1^2n 0 Ta COI [p2n> ^2m+l] P2n^72m+1 ^27n+lP2n = v 2m+l(~ih)7~ (- ift)T^-V2m+1 u 2 n ou 2 n = ^{-ộr n v ^v ^iũ = ^ ( * b r * ằ + 0* = V; 80 f dip dip (l72m +1 auj V2m +1 aul M 2TH-I' u 2 m ] 0 Tinh: [ ^2m] Q2n+1^2m ( /) "T~ = G^T u2 u^^~~) = 0 ^2mQ2n+l di; 2n+1 ^2m \v 2n +l Ta khai trin cỏc toỏn t theo chui Fourier i vi cỏc vecto súng trong vựng Brillouin th nht: P2n = jY, m e l k... 41)+41} Do ú: /7=2] (1)h[ỳ) x (k)^ + õ k ] +ỳ) 2 (k)õ^ + õ k 2 ]+ conts k Cú th chn gc tớnh nng lng sao cho conts cụng thc trờn bng 0 v cui cựng ta nhn c: k (1.4.46) Hamiltonian( 1.4.46) cho thy trng thỏi dao ng t ca chui hai nguyờn t khỏc loi cú th xem nh h nhiu ht gm 2 loi chun ht khỏc nhau, mi ht ca loi chun ht th nht cú nng lng hc^k) cũn mi ht ca ht chun th 2 cú nng lng hự) 2(k) nu tin hnh cỏc tớnh . mạng tinh thể. - Nghiên cứu dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát. - Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể. 4.Đối tượng nghiên cún - Nghiên cún về dao động mạng tinh thể và. vê " ;dao động mạng tinh thế biến dạng tông quát và pho năng lượng của chủng”. 2.Mục đích nghiên cún - Nghiên cứu về dao động mạng tinh thể biến dạng tổng quát và phổ năng lượng của chúng. 1 3.Nhiệm. II) = 0 (1.2.4) 1.3 Dao động tử biến dạng 1.3.1 Dao động tử Boson biến dạng q Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh và toán tử hủy dao động tử ã , ẵ +