MỤC LỤC MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG I.PHẦN MỞ ĐẦU: 1/Lý do chọn đề tài: 2/Mục tiêu nghiên cứu: 3/Nhiệm vụ nghiên cứu: 4/Các phương pháp nghiên cứu: II.PHẦN NỘI DUNG: 1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: 2/Cơ sở lý luận của đề tài: 3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm. A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số . A.3)Bất phương trình hàm. A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác. A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác. A.6)Các đề thi học sinh giỏi. A.7)Một số kỹ thuật giải phương trình hàm. B/KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: III.PHẦN KẾT LUẬN: 1/Kết luận: 2/Tài liệu tham khảo: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 8 12 17 20 34 43 43 43 44 I.PHẦN MỞ ĐẦU: 1/Lý do chọn đề tài: rong những năm gần đây, bộ môn Toán của Tỉnh Tiền Giang của chúng ta đã có những tiến bộ rõ rệt và thành tích trong những kỳ thi Học sinh Giỏi cấp Quốc gia ngày càng tốt hơn. Có được những thành tích đó là nhờ sự chỉ đạo chuyên môn của SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TIỀN GIANG, sự nổ lực của Quý Thầy Cô và sự cố gắng của các em học sinh. Qua quá trình nghiên cứu, theo dõi các đề thi Học sinh Giỏi và những lần chấm thi, tôi thấy rằng đa số các em học sinh còn “chưa thạo” trong việc giải các bài toán về Phương trình hàm một cách có “bài bản”. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại một công cụ để nghiên cứu, giải toán thi Học sinh Giỏi những phần có liên quan đến hàm số, những đẳng thức, bất đẳng thức, tạo sự thích thú cho các em học sinh; giúp các em “không còn ngán ngại” khi gặp các bài toán về hàm số. Tôi xin được phép trình bày chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ”. T 2/Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống kiến thức về phương trình hàm, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu phương trình hàm và bất phương trinh hàm. Giúp các em học sinh có kiến thức tốt về Phương trình hàm và một phần của Bất phương trình hàm, mở ra một số hướng cho các em học sinh suy nghĩ và sáng tạo những bài toán mới. 3/Nhiệm vụ nghiên cứu: Trước hết là thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Toán làm cho học sinh sáng tạo tìm những kết quả mới, lời giải hay trên một “loại toán khó”, giúp bản thân nắm vững hơn nữa về Phương trình hàm, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ở Quý Thầy Cô ở Tổ Toán. 4/Các phương pháp nghiên cứu: *Phương pháp suy luận, tổng hợp: kết hợp bài giảng của GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU với các đề thi Học sinh Giỏi rút ra những kinh nghiệm, hệ thống lại kiến thức, mở ra các hướng mới. *Phương pháp trò chuyện – phỏng vấn: trao đổi tâm tình với nhiều học sinh khá giỏi để nắm tình hình sử dụng các kiến thức về Phương trình hàm. *Phương pháp khảo sát: bản thân được tham dự các kỳ chấm thi Học sinh Giỏi nên có nắm được tình hình sử dụng các phương pháp làm bài của các em học sinh. *Phương pháp phân tích lý luận: phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bản chất vấn đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp. II.PHẦN NỘI DUNG 1/Lịch sử của vấn đề nghiên cứu: Hè những năm 2003, 2004, 2005, 2006 bản thân tôi được tham dự lớp “BỒI DƯỠNG CHUYÊN TOÁN THPT” tại Trường ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI”. Trong khóa học tôi nhận thấy kiến thức về Toán của mình được nâng lên rõ rệt. “BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM ” (của GS-TS NGUYỄN VĂN MẬU) là một trong các bài giảng mà tôi tâm đắc. Được sự động viên khuyến khích của Thầy TRƯƠNG THÀNH PHÚ – Sở Giáo Dục & Đào Tạo Tiền Giang; tôi mạnh dạn chọn đề tài này để nghiên cứu và trình bày. 2/Cơ sở lý luận của đề tài: Kết hợp bài giảng và các tài liệu tham khảo để phân tích, tổng hợp, hệ thống. 3/Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: Đa số học sinh rất ngại khi sử dụng phương pháp này, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phương trình hàm một cách thích hợp. 4/Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu: A/NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: A.1)Ý tưởng giải phương trình hàm, bất phương trình hàm: Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một trong những chuyên đề giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán. Nghiên cứu phương trình hàm là một việc làm thiết thực, góp phần làm phong phú thêm kiến thức toán. Đặc biệt với “tư tưởng” của Thầy Nguyễn Văn Mậu, nghiên cứu phương trình hàm còn giúp chúng ta giải quyết được những hàm “tựa” như: “tựa lồi”, “tựa lõm”, ; các đặc trưng hàm cơ bản của một số hàm số sinh bởi các phép biến hình sơ cấp, “sáng tác” các kết quả mới trong tam giác, các “kỹ thuật” giải phương trinh hàm, mối quan hệ giữa phương trình hàm và bất phương trình hàm,… A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số: A.1.1/Đặc trưng của một số hàm sơ cấp: Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó. Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miền xác định của hàm số. Nếu hàm số thoả mãn các đặc trưng hàm đã cho mà không có tính liên tục hoặc được xác định trên các tập rời rạc thì nghiệm của phương trình hàm có thể là một biểu thức hoàn toàn khác. 1/Hàm bậc nhất: )0,(;)( ≠+= babaxxf . Đặc trưng hàm: yx yfxfyx f ,; 2 )()( 2 ∀ + =       + (Phương trình Jensen) 2/Hàm tuyến tính: )0(;)( ≠= aaxxf . Đặc trưng hàm: ( ) yxyfxfyxf ,);()( ∀+=+ (Phương trình Cauchy) 3/Hàm mũ: )1,0(;)( ≠>= aaaxf x . Đặc trưng hàm: ( ) yxyfxfyxf ,);().( ∀=+ (Phương trình Cauchy) 4/Hàm logarit: )1.0(;log)( ≠>= aaxxf a . Đặc trưng hàm: ( ) * ,);()(. Ryxyfxfyxf ∈∀+= (Phương trình Cauchy) 5/Hàm sin: xxf sin)( = . Đặc trưng hàm: ( ) xxfxfxf ∀−= );(4)(33 3 6/Hàm cosin: xxf cos)( = . Đặc trưng hàm: ( ) xxfxf ∀−= ;1)(22 2 7/Hàm tang: tgxxf =)( . Đặc trưng hàm: ( ) )( 2 ,,; )()(1 )()( ZkkyxRyx yfxf yfxf yxf ∈+≠+∈∀ − + =+ π π 8/Hàm cotang: gxxf cot)( = . Đặc trưng hàm: ( ) )(,,; )()( 1)()( ZkkyxRyx yfxf yfxf yxf ∈≠+∈∀ + − =+ π 9/Hàm luỹ thừa: + ∈= Rxxxf ;)( α . Đặc trưng hàm: ( ) yxyfxfyxf ,);().(. ∀= A.1.2/Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số: Trong phần này, ta khảo sát một số tính chất cơ bản của một số dạng hàm số thông qua các hệ thức hàm đơn giản và các hàm bảo toàn và chuyển đổi các tính chất cơ bản của phép tính đại số như giao hoán, phân phối, kết hợp. Bài toán 1: Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y); ∀ x,y (1) • Phân tích: f(x+1)=2f(x)+f(1), c=2c+1 ⇒ c=-1 • Lời giải: Đặt f(x)=g(x)-1, Ta có g(x+y)-1=g(x)-1+g(y)-1+[g(x)-1][g(y)-1] hay g(x+y)=g(x)g(y) ; ∀ x,y (2). Do f(x) liên tục trên R nên g(x) cũng là hàm liên tục trên R. Suy (2) có nghiệm là g(x)=eax. (1) có nghiệm là f(x)=eax-1. Bài toán 2: Cho hàm số F(u,v) (u, v là số thực). Giả sử phương trình hàm: f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực) (1) có nghiệm f(x) xác định và liên tục trên R. Chứng minh rằng F(u,v) là hàm đối xứng (F(u,v)=F(v,u)) và có tính kết hợp (F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)])(2) • Lời giải: ∀ u,v,w ∈ D-1f(tập giá trị của hàm số f) F(u,v)=F[f(x),f(y)]=f(x+y)=f(y+x)=F[f(y),f(x)]=F(v,u) F[F(u,v),w]=f[(x+y)+z]=f[x+(y+z)]=F[f(x),f(y+z)]=F[u,F(v,w)] Bài toán 3: Giả sử phương trình hàm f(x+y)=F[f(x),f(y)], ∀ x,y ∈ R; với F(u,v)( ∀ u,v,w ∈ D-1f) là một đa thức khác hằng, có nghiệm là f(x) xác định và liên tục trên R. Chứng minh F(u,v) có dạng F(u,v)=auv+bu+bv+c. • Lời giải: Giả sử F(u.v) là đa thức bậc n theo u và bậc m theo v. Khi đó, do F(u,v) đối xứng nên m=n. Từ bài toán 2, ta có F[F(u,v),w]=F[u,F(v,w)], vế trái là đa thức bậc n theo w và vế phái là đa thức bậc n2 theo w. Suy ra n2=n, hay n=1. Vậy F(u,v)=auv+b1u+b2v+c. Mà F(u,v) đối xứng nên b1=b2 và F(u,v)=auv+bu+bv+c. Theo bài toán 2, ta có ac=b2-b. Bài toán 4: Cho đa thức F(u,v)=bu+bv+c (b ≠ 0). Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả f(x+y)=F[f(x),f(y)] (x, y là số thực) (Tức là f(x+y)=bf(x)+bf(y)+c (4)) • Lời giải: Nếu b ≠ 1 thì từ (4) với y=0, ta có f(x)=const Khi b= 2 1 và c=0 thì mọi hàm hằng đều thoả (4) Khi b= 2 1 và c ≠ 0 thì (4) vô nghiệm Khi b ≠ 1 và b ≠ 2 1 thì nghiệm của (4) là f(x)= b c 21− Nếu b=1 thì (4) có dạng là f(x+y)=f(x)+f(y)+c và phương trình hàm này có nghiệm f(x)=ax+c Bài toán 5: Cho đa thức cbvbuauvvuF +++=),( ( a ≠ 0, c= a bb − 2 ). Xác định các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả RyxyfxfFyxf ∈=+ ,)],(),([)( (Tức là cybfxbfyfxafyxf +++=+ )()()()()( (5)) • Lời giải: Đặt a bxh xf − = )( )( , từ (5) ta có Ryxyhxhyxh ∈∀=+ ,);()()( và phương trình này có nghiệm ax exh =)( . Suy ra nghiệm của (5) có dạng a be xf ax − =)( Bài toán 6: Giả sử )(xf là nghiệm của phương trình hàm: )6(,),0()()()( RyxabABCyBfxAfcbyaxf ∈∀≠++=++ . Chứng minh hàm số )0()()( fxfxg −= thoả mãn phương trình Cauchy: Ryxygxgyxg ∈∀+=+ ,),()()( • Lời giải: Lần lượt đặt: b c yx b cv yx b c y a u x b cv y a u x − == − == − == − == ,0 ,0 , , và thế vào (5), ta thu được các đẳng thức:            +−+= + − += +−+= + − −+=+ C b c BfAff C b cv BfAfvf C b c Bf a u Afuf C b cv Bf a u Afvuf )()0()0( )()0()( )()()( )()()( Suy ra: )0()()()( fvfufvuf −+=+ Và Ryxygxgffyfxffyxfyxg ∈∀+=−−+=−+=+ ,),()()0()0()()()0()()( Vậy: Ryxygxgyxg ∈∀+=+ ,),()()( Bài toán 7: Giả sử hàm số )(xf liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: )7(,),0()()()( RyxabABCyBfxAfcbyaxf ∈∀≠++=++ . Chứng minh: khi đó bBaA == , • Lời giải: Nghiệm của Ryxygxgyxg ∈∀+=+ ,),()()( trong lớp hàm liên tục là hàm tuyến tính xxg α =)( . Do đó βα += xxf )( , thế vào (7), ta được: βα )1(;, −+=−== baCcbBaA (7’) Bài toán 8: Giải và biện luận phương trình hàm: )8(,),0()()()( RyxabABCyBfxAfcbyaxf ∈∀≠++=++ trong lớp các hàm liên tục trên R. • Lời giải: Theo bài toán 7: điều kiện cần để (8) có nghiệm là bBaA == , . Giả sử điều kiện này thoả mãn. Theo (7’), ta chia ra các truờng hợp sau: +T/h: 0,1 ==+ cba . Khi đó (8) trở thành: RyxabAByfbxafyaaxf ∈∀≠−+=−+ ,),0()()1()())1(( (8’) thuộc lớp hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cộng. Vậy (8’) có nghiệm là Rxxf ∈+= βαβα ,;)( +T/h: 0,1 ≠=+ cba Khi đó (8) trở thành: )"8(,),0()()1()())1(( RyxabABCyfbxafcyaaxf ∈∀≠+−+=+−+ . Đặt: )()( xhx c C xf += . Vậy (8”) có dạng: )"'8(,),0()()1()())1(( RyxabAByhbxahcyaaxh ∈∀≠−+=+−+ . Do đó (8’”) chỉ có nghiệm hằng tuỳ ý (Xem (7)), vì vậy (8) có nghiệm Rx c C xf ∈+= ββ ;)( +T/h: 1≠+ ba . Theo bài toán 6 thì nghiệm của (8) có dạng Rxxf ∈+= ββα ;)( . Từ (7’) suy ra βα )1( −+=− baCc . Nếu cho R∈ α tuỳ ý thì 1−+ − = ba Cc α β Bài toán 9: Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: )9(,,);()()()( Rzyxzyfxfzfyxf ∈∀++=++ . • Lời giải: +Đặt 0,)0( == zaf thế vào (9) ta có: )'9(,);()()( Ryxyfxfayxf ∈∀+=++ +Đặt axgxf += )()( . Từ (9’), ta có: )"9(,);()()( Ryxygxgyxg ∈∀+=+ . Suy ra Rxxg ∈= αα ;)( Vậy (9) có nghiệm Raxxf ∈+= βαβ ,;)( . Thử lại thấy (9) thoả. Bài toán 10: Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R là nghiệm của phương trình hàm: )10(,,)];()()[()()( Rzyxzfyfxfzfyxf ∈∀+=+ . • Lời giải: Thay 0== zy vào (10), ta được 0)()0( =xff . Vậy 0)0( =f . Với 0=z thì )'10(,)];0()()[()0()( Ryxfyfxffyxf ∈∀+=+ hay )'10(,;0)()( Ryxyfxf ∈∀= . A.3)Bất phương trình hàm cơ bản. Bài toán 1: Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau:    ∈∀+≥+ ∈∀≥ )2.1(,);()()( )1.1(;0)( Ryxyfxfyxf Rxxf • Lời giải: Thay 0== yx , ta có 0)0( )0(2)0( 0)0( =    ≥ ≥ fhay ff f Vậy nên 0)()())(()0( ≥−+≥−+= xfxfxxff . Suy ra 0)( =xf . Thử lại (1) thoả Bài toán 2: Cho trước hàm số Raaxxh ∈= ;)( . Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau:    ∈∀+≥+ ∈∀≥ )2.2(,);()()( )1.2(;)( Ryxyfxfyxf Rxaxxf • Lời giải: )()()( yhxhyxh +=+ . Đặt )()()( xgxhxf += . Khi đó ta có Rxxg ∈∀≥ ;0)( và Ryxygxgyxg ∈∀+≥+ ,);()()( . Theo bài toán 1, ta có: Rxxg ∈∀= ;0)( . Vậy Raaxxhxf ∈== ;)()( . Thử lại thấy thoả điều kiện (2.1) và (2.2) Bài toán 3: Cho 0>a . Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau:    ∈∀≥+ ∈∀≥ )2.3(,);()()( )1.3(;)( Ryxyfxfyxf Rxaxf x • Lời giải: Ta có Rxxf ∈∀> ;0)( . Khi đó logarit hoá hai vế (3.1), (3.2), ta có    ∈∀+≥+ ∈∀≥ )'2.3(,);(ln)(ln)(ln )'1.3(;)(ln)(ln Ryxyfxfyxf Rxxaxf Đặt )()(ln xxf ϕ = , ta có:    ∈∀+≥+ ∈∀≥ )"2.3(,);()()( )"1.3(;)(ln)( Ryxyxyx Rxxax ϕϕϕ ϕ Đặt xaxgx )(ln)()( += ϕ , ta có: hàm )(xg thoả điều kiện bài toán 2 nên Rxxg ∈∀= ;0)( và xax )(ln)( = ϕ . Vậy )1.3(;)( Rxaxf x ∈∀= thoả điều kiện bài toán. Bài toán 4: Xác định các hàm số )(xf liên tục trên R thoả đồng thời các điều kiện sau:      ∈∀ + ≥ + ∈∀≥ )2.4(,; 2 )()( ) 2 ( )1.4(;0)( Ryx yfxfyx f Rxxf • Lời giải: Đặt )()(,)0( xgaxfaf =−= . Khi đó ta có 0g(0) vôùi =      ∈∀ + ≥ + ∈∀≥ )'2.4(,; 2 )()( ) 2 ( )'1.4(;0)( Ryx ygxgyx g Rxxg Thay 0=y vào (4.1’) và (4.2’)      = ∈∀≥ 0)0( ; 2 )( ) 2 ( g Rx xgx g . Suy ra Ryx ygxgyx g ∈∀+≥ + ,; 2 )( 2 )( ) 2 ( hay    ∈∀+≥+ ∈∀≥= Ryxygxgyxg Rxxgg ,);()()( ;0)(,0)0( theo bài toán 1 thì const laø f(x) vaø Rxxg ∈∀= ;0)( . Thử lại cxf =)( thoả điều kiện bài toán. Bài toán 5: Xác định các hàm số )(tf liên tục trên R thoả điều kiện sau: { } Rxyfxyxf Ry ∈∀−= ∈ ;)(2max)( (5) • Lời giải: Từ (5) ta có Ryxyfxyxf ∈∀−≥ ,);(2)( (5’) Thay tyx == vào (5’), ta có Rxxxf ∈∀≥ ;)( 2 (5”) Suy ra Ryxyxxyxyyfxy ∈∀−−=−≤− ,;)(2)(2 222 mà { } { } Rxxxfrasuyxyxxyfxy RyRy ∈∀≤=−−=− ∈∈ ;)()(max)(2max 2222 . Vậy Rxxxf ∈∀= ;)( 2 (kết hợp với (5”). Thử lại thấy thoả điều kiện. Bài toán 6: Xác định các hàm số )(tf liên tục trên R+ thoả điều kiện sau: { } + ∈ ∈∀−+= + Rxyfxyyxxf Ry ;)(max)( 22 (6) • Lời giải: Tương tự bài toán 5, ta có + ∈∀−+≥ Ryxyfxyyxxf ,);()( 22 Thay tyx == vào (6’), ta có + ∈∀≥ Rxxxf ;)( 3 (6”) Suy ra: + ∈∀≤−+−=−+≤−+ Ryxxyxyxxyxyyxyfxyyx ,;))(()( 32332222 mà { } { } rasuyRxxyxyxxyfxyyx RyRy + ∈∈ ∈∀=−+−=−+ ++ ;))((max)(max 32322 + ∈∀≤ Rxxxf ;)( 3 . Kết hợp với (6”), ta có + ∈∀= Rxxxf ;)( 3 . Thử lại thấy thoả điều kiện bài tốn. • Nhận xét: Điều khẳng định trên cho ta một kết luận tương ứng sau: Nếu có một bất đẳng thức cổ điển cho cặp số yx, ; chẳng hạn như Ryxyxyyxx ∈∀−+≥ ,; 3223 thì từ điều kiện { } + ∈ ∈∀−+= + Rxyfxyyxxf Ry ;)(max)( 22 ta có ngay hàm cần tìm là + ∈∀= Rxxxf ;)( 3 Từ đây ta có thể “sáng tác” ra những bài tốn tương tự Bài tốn 7: Chứng minh rằng nếu: f f Dx 0 h(x)và 0(x)f' Hoặc Dx 0 h(x)và 0(x)f' Hoặc ⊂Ω∈∀>≥ ⊂Ω∈∀≥> 0g(x) f(0)g(x).h(x)f(g(x)) : có ta ≥⇔≥+Ωtrongthì • Lời giải: Sử dụng định lý Lagrange, ta có: f(0)g(x).h(x)f(g(x)) ≥+ 0≥+⇔ g(x).h(x)f(0)-f(g(x)) g(x) và 0 giữanằm h(x)]g(x)(c)[f' c;0≥+⇔ 0)]()('[0 >+≥⇔ xhcfdog(x) Bài tốn 8: Giải bất phương trình )7(13)4(3 224 2 ≥−+ −− xx x • Lời giải: Xét hàm số x xf 3)( = , ta có xxf x ln.3)(' = (7): )0(103)4()0()4( 222 fdoxfxf x =≥−+−− − Sử dụng định lý Lagrange, ta có: )4(03)4(]0)4)[((' 2222 −≥−+−− − xcxxcf x và 0 giữanằm 0]3)(')[4( 22 ≥+− −x cfx 0]33ln3)[4( 22 ≥+− −xc x 0)4( 2 ≥−x 22 −≤∨≥ xx Bài tốn 9: Cho các số dương aM, . Tìm các hàm số RRxgxf →:)(),( thoả mãn điều kiện )8(,;))(()()( 2 RyxyxMyxxgxfyf a ∈∀−≤−−− + • Lời giải: Giả sử có các hàm số RRxgxf →:)(),( thoả điều kiện. Thay đổi vai trò của yx, ta có: )'8(,;))(()()( 2 RyxxyMxyygyfxf a ∈∀−≤−−− + . Cộng vế (8) và (8’), ta có ))(()()())(()()())](()([ xyygyfxfyxxgxfyfyxygxg −−−+−−−≤−− )"8(,;2))](()([ 2 RyxyxMyxygxg a ∈∀−≤−− + yxRyxyxM yx ygxg a ≠∈∀−≤ − − ,,;2 )()( . Cố định xychox → , ta có RxconstcxgrasuyRxxg ∈∀=∈∀= );()(;0)(' Thay cxg =)( vào (8) và làm tương tự như trên, ta có: yxRyxyxMc yx yfxf a ≠∈∀−≤− − − ,,;2 )()( và dcxxfcxf +=⇒= )()(' . Thử lại dcxxfcxg +== )(;)( thấy đúng. Bài toán 10: Chứng minh: )(max 1 axx a ≤ = (9) • Lời giải: Ta có [ ] 1;1;)( −∈∀≤≤− axaxx , suy ra điều phải chứng minh A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác. Phép tịnh tiến sinh ra hàm tuần hoàn cộng tính, phép đồng dạng sinh ra hàm tuần hoàn nhân tính, phép phản xạ sinh ra hàm số chẵn, lẻ. Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương A, B, C là 3 góc của một tam giác là A+B+C= π Tính chất 2: Điều kiện cần và đủ để 3 số dương a, b, c là 3 cạnh của một tam giác là a+b>c, b+c>a, c+a>b (hay /b-c/<a<b+c) Bài toán 1: Xác định số α để hàm số α += xxf )( có tính chất )(),(),( cfbfaf là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. • Lời giải: Để )(),(),( cfbfaf là độ dài các cạnh của một tam giác, trước hết phải có 0)(,0)(,0)( >>> cfbfaf . Suy ra ABCcba ∆∀>+>+>+ ;0,0,0 ααα Hay ABCcba ∆∀−>−>−> ;,, ααα tương đương { } 0;,,max ≥∆∀−−−> αα hayABCcba . Ngược lại, với 0 ≥ α thì )(),(),( cfbfaf là độ dài các cạnh của một tam giác. Vậy với 0≥ α thì hàm số α += xxf )( có tính chất )(),(),( cfbfaf là độ dài các cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC. [...]... A.5)Bất phương trình hàm liên quan đến tam giác Một số hàm số khơng phải là hàm lồi nhưng có tính chất của hàm lồi được gọi là hàm “tựa lồi”, hàm số khơng phải là hàm lõm nhưng có tính chất của hàm lõm được gọi là hàm “tựa lõm” , (theo Thầy Nguyễn Văn Mậu) Bài tốn 1: Trong tam giác ABC, nếu A . giải phương trình hàm, bất phương trình hàm. A.2)Một số đặc trưng cơ bản của hàm số . A.3)Bất phương trình hàm. A.4)Phương trình hàm liên quan đến tam giác. A.5)Bất phương trình hàm liên quan. đề “ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ”. T 2/Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống kiến thức về phương trình hàm, trình bày các kết quả qua quá trình nghiên cứu phương trình hàm và bất phương trinh hàm. Giúp các. phương trình hàm, bất phương trình hàm: Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một trong những chuyên đề giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán. Nghiên cứu phương trình hàm là một