SKKN CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

21 543 0
SKKN CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuyên đề: KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S A. M U I. T VN . Chng chỡnh mi sỏch giỏo khoa chun lp 12 ó cp n bi toỏn kho sỏt hm s trong Chng 1. ng dng o hm kho sỏt s bin thiờn v v th hm s . õy l mt ni dung m cỏc thi tt nghip THPT, i hc, cao ng ó khai thỏc rt nhiu. S tit m chng trỡnh mi phõn phi cho Chng 1. ng dng o hm kho sỏt s bin thiờn v v th hm s l 20 tit, tuy nhiờn a s cỏc em hc sinh vn cũn lỳng tỳng khi gii toỏn. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn chuyên đề này để một phần tháo gỡ khó khăn đó va giỳp hc sinh cú mt s phng phỏp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. II. GII QUYT VN . 1. C s: a. C s lý lun: Thụng qua cỏc dng bi tp ó c phõn loi cựng vi phng phỏp gii cỏc dng bi tp ú. Nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng kho sỏt s bin thiờn v v th hm s. Đó là các kỹ năng sau: Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s dng: +) Hm a thc bc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a 0) +) Hm a thc bc bn trựng phng : y=ax 4 +bx 2 +c (a 0) +) Hm phõn thc dng : y = dcx bax + + (c )0,0 == bcad dc ba E thnh tho cỏc phng phỏp kho sỏt hm s yờu cu hc sinh cn phi nm chc cỏc kin thc: - nh ngha ca o hm. Tớnh c o hm ca cỏc dng hm s cn kho sỏt. - Cỏc quy tc tớnh o hm. - Phng phỏp xột du ca mt biu thc. - Phng phỏp xột tớnh n iu, phng phỏp tỡm cc tr ca hm s. - Phng phỏp tỡm cỏc ng tim cn ca hm s. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s 1 b. c s thc tin. Tụi l mt giỏo viờn cũn tr cha cú nhiu kinh nghiờm trong ging dy, a s cỏc em hc sinh cha chỳ tõm lm n vic hc, nhiu em cũn hng cỏc kin thc c, k nng gii toỏn cũn yu. Thc t qua cỏc k thi tt nghip THPT gn õy t l tt nghip THPT ca nh trng v mụn toỏn cũn thp. Nờn tụi a ra chuyờn ny nhm nõng cao nng lc ca mỡnh v giỳp cỏc em hc sinh rốn luyn k nng v cú mt s phng phỏp gii toỏn kho sỏt s bin thiờn v v th hm s. 2. Mục tiêu cần đạt của chuyên đề Với nhận định là lý do nêu trên, chuyên đề này sẽ đa ra phơng pháp giải các bài toán kho sỏt s bin thiờn v v th hm s một cách cụ thể, chi tiết, nhằm mục đích: - Giúp học sinh phân loại từng dạng bài tập, từ đó áp dụng đúng phơng pháp giải. - Khắc sâu kiến thức cho học sinh. - Luyện tập những kỹ năng cơ bản trong việc giải toán. - Giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm đc rút ra từ việc dạy(học) vấn đề này. 3. i tng ỏp dng chuyờn - i vi giỏo viờn ging dy lp 12 - i vi hc sinh lp 12. B. NI DUNG CHUYấN Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s 2 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm );( 0 bax ∈ nếu tồn tại giới hạn (Hữu hạn): 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx − − → thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x 0. Ký hiệu: 0 0 )()( lim' 0 xx xfxf y xx − − = → 2. Các quy tắc tính đạo hàm. 2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x)) • ( C ) / = 0 ( C là hằng số ) • ( x ) / = 1 • (x n ) / = nx n - 1 với (n 2 ≥ ; n∈N) • / 2 1 1 x x   = −  ÷   với 0x ≠ • ( ) / 1 2 x x = với (x > 0) • (u n ) / = nu n – 1 u / • / / 2 1 u u u   = −  ÷   với u ≠ 0 • ( ) / / 2 u u u = = x2 1 với (x > 0) 2.2. Các qui tắc tính đạo hàm : • ( ) / / / u v u v± = ± • ( ) ( ) / / / / / . à kuu v u v v u v ku= + = • 2 , '.'. v uvvu v u − =       2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)] • ( ) ( ) ( ) / / / .g x f u u x= 3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số * Định lý: Cho hàm số : )(xfy = có đạo hàm trên K a) Nếu 0)(' > xf với mọi Kx ∈ thì hàm số )(xf đồng biến trên K. b) Nếu 0)(' < xf với mọi Kx ∈ thì hàm số )(xf nghịch biến trên K. (Chú ý: )(' xf dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; )(' xf âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 * Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm tập xác định. - Tính đạo hàm )('' xfy = tìm các điểm n xxx ; ;; 21 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm n xxx ; ;; 21 theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số. * Định lý. Giả sử hàm số : )(xfy = liên tục trên khoảng );( 00 hxhxK +−= và có đạo hàm trên K hoặc { } 0 \ xK , với 0 > h . a) Nếu 0)(' > xf trên khoảng );( 00 xhx − và 0)(' < xf trên khoảng );( 00 hxx + thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số )(xf . b) Nếu 0)(' < xf trên khoảng );( 00 xhx − và 0)(' > xf trên khoảng );( 00 hxx + thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số )(xf . (Chú ý: Nếu gọi );( 00 hxhxK +−= là một lân cận của điểm 0 x thì ta phát biểu định lý trên bằng lời như sau: a. Nếu )(' xf đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm 0 x thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số )(xf . b. Nếu )(' xf đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm 0 x thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số )(xf .) * Bảng biến thiên minh họa định lý a) x x 0 -h x 0 x 0 +h f’(x) + - f(x) f CĐ b) * Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số - Tìm tập xác định. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 x x 0 -h x 0 x 0 +h f’(x) - + f(x) f CT - Tính đạo hàm )('' xfy = tìm các điểm n xxx ; ;; 21 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm n xxx ; ;; 21 theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số. 5. Phương pháp tìm đường tiệm cận. 5.1 Đường tiệm cận ngang. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng: );(),;(),;( +∞−∞−∞+∞ ba ) Đường thẳng: 0 yy = được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 )( lim yxf x = +∞→ ; 0 )( lim yxf x = −∞→ 5.2 Đường tiệm cận đứng. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng: );(),;(),;( +∞−∞−∞+∞ ba ) Đường thẳng: 0 xx = được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: −∞= + → )( lim 0 xf xx ; +∞= + → )( lim 0 xf xx −∞= − → )( lim 0 xf xx ; +∞= − → )( lim 0 xf xx ; 6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. 6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a ≠ 0) - Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0 ⇔ a b x −= - Bảng xét dấu: 6.2 Dấu của tam thức bậc hai: )0()( 2 ≠++= acbxaxxf - Giải phương trình: (*)2 0=++ cbxax + Nếu phương trình (*) vô nghiệm )0( <∆ thì f(x) luôn cùng dấu a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số x ∞− a b − ∞+ f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a 5 + Nếu phương trình (*) có nghiệm kép )0( =∆ a b xx 2 21 −== thì f(x) luôn cùng dấu a và 0) 2 ( =− a b f . + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt )0( >∆ giả sử hai nghiệm đó là 21 ; xx và 21 xx < thì ta có bảng xét dấu: x ∞− 1 x 2 x ∞+ f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 7. Sơ đồ khảo sát hàm số. * Tìm tập xác định của hàm số. * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: +) Tính đạo hàm )('' xfy = tìm các điểm n xxx ; ;; 21 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm )('' xfy = +) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số - Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của 'y ) - Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có) - Lập bảng biến thiên của hàm số. * Đồ thị: - Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung - Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành - Tính thêm một số điểm đặc biệt - Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của hàm số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 6 II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC. 1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a ≠ 0) ) 1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a ≠ 0) * Tập xác định: RD = * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Tính 'y Giải phương trình: 0' = y xét dấu 'y đưa ra chiều biến thiên của hàm số. - Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của 'y ) - Tính các giới hạn: y x −∞→ lim và y x +∞→ lim Chú ý - Lập bảng biến thiên: * Đồ thị: - Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y - Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình 0 23 =+++ dcxbxax Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện bước này). - Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm I x và tính )( II xfy = điểm );( II yxI là tâm đối xứng của đồ thị. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số * Nếu a > 0 ⇒ −∞=+++= −∞→−∞→ )(limlim 23 dcxbxaxy xx +∞=+++= +∞→+∞→ )(limlim 23 dcxbxaxy xx * Nếu a < 0 ⇒ +∞=+++= −∞→−∞→ )(limlim 23 dcxbxaxy xx −∞=+++= +∞→+∞→ )(limlim 23 dcxbxaxy xx 7 - Lấy thêm một vài điểm (nếu cần) - Vẽ đồ thị. 1.2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 + 3x 2 – 4 * Tập xác định: RD = * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: xxy 63' 2 += Giải phương trình: 0'=y 063 2 =+⇔ xx    −= = ⇔ 2 0 x x Dấu của y’ x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: );0()2;( +∞∪−−∞ và nghịch biến trên khoảng (- 2; 0). - Cực trị: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = -2 ⇒ y C§ = y(-2) = 0 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0 ⇒ y CT = y(0) = -4 - Giới hạn: −∞=−+= −∞→−∞→ )43(limlim 23 xxy xx và +∞=−+= +∞→+∞→ )43(limlim 23 xxy xx - Bảng biến thiên: x - ∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y - ∞ 0 -4 + ∞ * Đồ thị: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 8 - Giao điểm với Oy: Cho x = 0 ⇒ y = -4 - Giao với Ox: Cho y = 0 giải phương trình: x 3 + 3x 2 – 4 = 0 ⇒    −= = 2 1 x x - Tâm đối xứng của đồ thị: 66'' += xy ⇒ 0'' =y ⇒ 066 =+ x x = -1 ⇒ y = -2 Bảng giá trị: x -3 1 y -4 0 y 1 -1 -2 -3 2 O 1 -1 -2 -2 -3 -4 Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 * Tập xác định: RD = * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 363' 2 ++= xxy Giải phương trình: 0'=y ⇔ 0363 2 =++ xx ⇒ phương trình có nghiệm kép: 1 21 −== xx y’ > 0 với mọi giá trị của x và y’(-1) = 0. ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên D - Hàm số không có cực trị. - Giới hạn: −∞=+++= −∞→−∞→ )233(limlim 23 xxxy xx và +∞=+++= +∞→+∞→ )233(limlim 23 xxxy xx - Bảng biến thiên: x - ∞ -1 + ∞ y’ + 0 + y - ∞ 1 + ∞ * Đồ thị: - Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2 - Tâm đối xứng của đồ thị: 66'' += xy ⇒ 0'' = y ⇒ 066 =+ x x = -1 ⇒ y =1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 9 - Bảng giá trị x -2 -3 y 0 -7 -Vẽ đồ thị -3 -2 -1 1 2 x y O 1 2 -1 Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 4x +2 * Tập xác định: RD = * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 4 -6x -3x' 2 += y Giải phương trình : y’= 0 ⇔ -3x 2 +6x – 4 = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm. ⇒ y’< 0 Dx ∈∀ ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên D - Hàm số không có cực trị - Giới hạn +∞=+−+−= −∞→−∞→ )243(limlim 23 xxxy xx và −∞=+−+−= +∞→+∞→ )243(limlim 23 xxxy xx - Bảng biến thiên: x - ∞ + ∞ y’ - y + ∞ - ∞ * Đồ thị: - Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 10 [...]... Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên: 3 x4 -x 2 + 2 2 - Chiều biến thiên: y ' = -2 x 3 − 2x = -2x(x 2 + 1) y ' = 0 ⇔ -2x(x 2 + 1) = 0 ⇔ x = 0 ta có bảng dấu của y’: x -∞ 0 +∞ y’ + 0 Hàm số đồng biến trên (- ∞ ;0) và nghịch biến trên (0; + ∞ ) 14 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ y CĐ = 3 ; hàm số khơng... GIẢI 19 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba a) y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 b) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 5 c) y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8 2 3 1 2 d) y = x − x + 3 3 1 3 e) y = − x + 4 x 3 f) y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 1 g) y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 3 h) y = x 3 − 3 x i) y = − x 3 + 3 x −1 3 x − x 2 + 3x − 4 j) y = 3 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc... xác định: D = R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 4x 3 − 4x giải phương trình:  x = ±1 y ' = 0 ⇔ 4x 3 − 4x = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔  x = 0 Bảng dấu của y’: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ 0 + 0 0 + 13 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (-1; 0) ∪ (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng: (-∞; - 1) ∪ (0;1) - Hàm số đạt cực đại tại: x = 0 ⇒ y CĐ = 2 - Hàm số đạt cực tiểu... Chiều biến thiên: y ' = 22 -1 Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = * Sự biến thiên: O 11 3− x x−2 −1 < 0 ⇒ Hàm số nghịch biến trên D ( x − 2) 2 - Cực trò : Không có - Giới hạn và tiệm cân : lim y = −1 và lim y = −1 ⇒ đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thò x → +∞ x →−∞ lim y = −∞ và limy = +∞ ⇒ đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thò x →2 − x →2 + - Bảng biến thiên. .. − * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = E (cx + d ) 2 +) Nếu E > 0 ⇒ y ' > 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số ln đồng biến trên D +) Nếu E < 0 ⇒ y ' < 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số ln nghịch biến trên D - Hàm số khơng có cực trị + − d d - Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi x → ±∞ và x → − ; x → − ) lim y = lim x→±∞ ax + b a = cx + d c c ⇒ Tiệm cận ngang: y= c a c 16 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lim... 3.2 Các ví dụ Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = * Tập xác định: D = R \ { − 1} d a ; ) là giao của c c − 2x − 4 x +1 * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = 2 > 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đông biến trên D ( x +1) 2 - Cực trò : Không có - Giới hạn và tiệm cân : lim y = −2 và lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thò x → +∞ x → −∞ lim y = +∞ và limy = −∞ ⇒ đường thẳng... nghiƯm cđa b¶n th©n t«i rót ra trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vỊ viƯc gi¶i tốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C¸c vÊn ®Ị ®· ®a ra cã thĨ cßn cã nh÷ng thiÕu sãt , t«i rÊt mong ®ỵc sù gãp ý cđa c¸c b¹n ®ång nghiƯp ®Ĩ b¶n s¸ng kiÕn nµy ®ỵc hoµn chØnh h¬n T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ! 21 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ... số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a≠0) a>0 a . thêm một số điểm đặc biệt - Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của hàm số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 6 II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN. - ∞ 0 + ∞ y’ + 0 - Hàm số đồng biến trên (- ∞ ;0) và nghịch biến trên (0; + ∞ ) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 14 O - Hàm số đạt cực đại tại x = 0 2 3 =⇒ CĐ y ; hàm số không có cực. vẽ đồ thị hàm số 9 - Bảng giá trị x -2 -3 y 0 -7 -Vẽ đồ thị -3 -2 -1 1 2 x y O 1 2 -1 Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 4x +2 * Tập xác định: RD = * Sự

Ngày đăng: 16/06/2015, 21:29

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan