Chuyên đề Sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức newtơn 1. Nhận dạng: * Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1. (đạo hàm 1 lần) * Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp 2; hoặc mất 0 n C và 1 n C hoặc n n C và 1-n n C 2. Các bớc giải * Bớc 1: Chon khai triển (b + x) n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k k n C a k-1 b n-k * Bớc 2: Chọn đạo hàm cấp 1, cấp 2. * Bớc 3: Chọn x = a kết quả. 3. Bài tập. Bài 1. Tính tổng: S = 1.2 0 1 n C + 2.2 1 2 n C + 3.2 2 3 n C + + n.2 n - 1 n n C HD: (1 + x) n = C 0 n + xC 1 n + x 2 C 2 n + x 3 C 3 n + + x n C n n n(1 + x) n 1 = C 1 n + 2x 1 C 2 n + 3x 2 C 3 n + + nx n - 1 C n n Thay x = 2 ta đợc S = n.3 n 1 Bài 2. Tính tổng: S = n.3 0 n n C + (n - 1)3 1 1-n n C + (n - 2).3 2 2-n n C + + 1.3 n - 1 1 n C HD Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 3 ta đợc S = n4 n 1 Bài 3. Chứng minh rằng: 1 1 n C + 2 2 n C + 3 3 n C + + n n n C = n2 n 1 HD: Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 1 Bài 4. Chứng minh rằng: 1n n n 1n 3 n 2 2 n 1 1 n 0 2 3 nC 2 n C 2 3 C 2 2 C 2 1 =++++ HD: Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 2 1 Bài 5. Tìm n Z + thoả mãn: 1.2 0 1 12n C + - 2.2 1 2 12n C + + 3.2 2 3 12n C + - + (2n + 1).2 2n 12n 12n C + + = 2005 (Đề ĐH + CĐ - A - 2005) HD: Khai triển (-1 + x) 2n + 1 , lấy đạo hàm bậc nhất hai vế, thay x = 2 ta đợc 2005 = 2n + 1 Bài 6. Tìm số nguyên dơng n thoả mãn: 2006 + 1.2 0 1 2n C - 2.2 1 2 2n C + 3.2 2 3 2n C - + 2n.2 2n - 1 2n 2n C = 0 HD: Sử dụng khai triển (1 + x) 2n Bài 7. Tính tổng: S = 1.2 2 n C + 2.3 3 n C + 3.4 4 n C + + (n-1)n n n C HD: Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta đợc S = n(n-1)2 n - 2 Bài 8. S = 2.1.3 0 2 200 C - 3.2.3 1 3 200 C + 4.3.3 2 4 200 C - + 200.199.3 198 200 200 C HD: Khai triển (1 - x) 200 , lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 3, ta đợc S = 200.199.2 198 Bài 9. Tính tổng S = 1 2 C 1 n + 2 2 C 2 n + 3 2 C 3 n + 4 2 C 4 n + + n 2 C n n HD: Ta có: S = 1(1+0)C 1 n + 2(1+1)C 2 n + 3(2+1)C 3 n + 4(3+1)C 4 n + + n(n-1+1)C n n = = [2.1C 2 n + 3.2C 3 n + 4.3C 4 n + + n(n-1)C n n ] + [1C 1 n + 2C 2 n + 3C 3 n + 4C 4 n + + nC n n ] Bài 10. Tính tổng S = 2C 1 100 + 3C 2 100 + 4C 3 100 + + 101C 100 100 HD: Khai triển x(1 + x) 100 , tính đạo hàm và thay x = 1. Bài 11. Tính tổng: S = 3 1 .2.C 1 n + 3 2 .3.C 2 n + 3 3 .4.C 3 n + + 3 n (n + 1)C n n HD: Khai triển x(1 + x) n , tính đạo hàm 2 vế và thay x = 3 Bài 12. Tính tổng; S = 1.2 1 C 1 n + 2.2 2 C 2 n + 3.2 3 C 3 n + + n.2 n C n n HD: S = 1.2 1 C 1 n + 2.2 2 C 2 n + 3.2 3 C 3 n + + n.2 n C n n = (2 - 1).2 1 C 1 n + (3 - 1).2 2 C 2 n + (4 - 1).2 3 C 3 n + + (n + 1- 1).2 n C n n = (2.2 1 C 1 n + 3.2 2 C 2 n + 4.2 3 C 3 n + + (n+1).2 n C n n ) - (2 1 C 1 n + 2 2 C 2 n + 2 3 C 3 n + + 2 n C n n ) Bài 13. Chứng minh rằng: 2.2 1 C 2 100 + 4.2 3 C 4 100 + 6.2 5 C 6 100 + + 100.2 99 C 100 100 = 50(3 99 + 1) HD: Khai triển: (1 + x) 100 và lấy đạo hàm. Khai triển: (1 - x) 100 và lấy đạo hàm Cộng vế với vế và thay x = 2 Bài 14. Tính tổng: S = 1.C 1 2n + 3.C 3 2n + 5.C 5 2n + + (2n - 1)C 12n 2n HD: Khai triển: (1 + x) 2n và lấy đạo hàm. Khai triển: (1 - x) 2n và lấy đạo hàm Trừ vế với vế và thay x = 1 Bài 15. Chứng minh rằng: 2C 2 12n + + 4C 4 12n + + 6C 6 12n + + + 2nC 2n 12n + = (2n + 1).2 2n 1 HD: Khai triển: (1 + x) 2n+1 và lấy đạo hàm. Khai triển: (1 - x) 2n+1 và lấy đạo hàm Cộng vế với vế và thay x = 1 4. Giải đề thi: Bài 15. Chứng minh rằng: C 1 n .3 n 1 + 2.C 2 n .3 n 2 + 3.C 3 n .3 n 3 + + nC n n = n.4 n 1 , trong đó n là một số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1. (ĐH Luật HCM A - 2001) HD: Khai triển (3 + x) n , lấy đạo hàm và thay x = 1 Bài 16. Tìm số nguyên dơng n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 + + + + + + + + + = k k k n n n n n n C C k k C n n C (Tài liệu ôn thi đại học) HD: Khai triển (1 - x) 2n + 1 , lấy đạo hàm và thay x = 2 Bài 17. Tính tổng: 0 1 2 2009 2009 2009 2009 2009 S C 2C 3C 2010C= + + + + . Bài 18. Tính tổng: 2 3 25 25 25 25 S 1.2. 2.3. 24.25.C C C= + + + Bài 19. Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x) 2n , với n là số nguyên dơng. Từ đó chứng minh rằng: 1. ( ) n nnn n nnn nC C.C.Cn CC 2 2 4 2 2 2 12 2 3 2 1 2 242123 +++=+++ . đề Sử dụng đạo hàm tính tổng của khai triển nhị thức newtơn 1. Nhận dạng: * Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1. (đạo hàm 1 lần) * Khi trong tổng. x) 100 và lấy đạo hàm Cộng vế với vế và thay x = 2 Bài 14. Tính tổng: S = 1.C 1 2n + 3.C 3 2n + 5.C 5 2n + + (2n - 1)C 12n 2n HD: Khai triển: (1 + x) 2n và lấy đạo hàm. Khai triển: (1 -. dụng khai triển (1 + x) 2n Bài 7. Tính tổng: S = 1.2 2 n C + 2.3 3 n C + 3.4 4 n C + + (n-1)n n n C HD: Khai triển (1 + x) n , lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta đợc S = n(n-1)2 n - 2 Bài