Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN A3 TIỂU LUẬN: Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 1 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhóm thực hiện: nhóm 8 Lớp: B211300307 Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: Th.s Võ Hoàng Trụ TPHCM, Ngày 01 tháng 11năm 2008 KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN A3 TIỂU LUẬN: Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 STT Họ và tên MSSV 1 Lê Duy 0770247 2 Phạm Nguyễn Bá Trình 0770059 3 Phạm Như Nhiên 0770063 4 Phạm Sơn Tùng 0770284 5 Nguyễn Thành Nhân 0770561 6 Phạm Đức Huân 0771719 7 Dương Thị Thu 0770276 8 Phạm Thị Dung 0770707 9 Lê Thành Đạt 2 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhóm thực hiện: nhóm 8 Lớp: B211300307 Khóa: 2007-2011 Giáo viên hướng dẫn: Th.s Võ Hoàng Trụ TPHCM, Ngày 01 tháng 11năm 2008 MỤC LỤC Chương I : Phép vi tích phân hàm nhiều biến 1 Chương II: Tích phân bội 3 Chương III: Tích phân đường, tích phân mặt 5 Chương IV: phương trình vi phân 8 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 3 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Câu 1: Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M(x o ,y o ). Đặt A=f’’ xx (x o ,y o ), B=f’’ xy (x o ,y o ), C=f’’ yy (x o ,y o ), ∆ =AC-B 2 Ta có: Nếu ∆ < 0 thì f(x,y) không có cực trị Nếu    < >∆ 0 0 A M là điểm cực đại Nếu    > >∆ 0 0 A M là điểm cực tiểu Nếu ∆ = 0 ta chưa kết luận được gì. Câu 2: cho hàm z=x 4 -8x 2 +y 2 +5. Tìm cực trị của hàm số. Ta có : z’ x =4x 3 -16x , z’ y =2y    = = 0' 0' y x z z ⇔    = =− 02 0164 3 y xx ⇔        =      = −= = 0 0 2 2 y x x x ⇒ hàm số có 3 điểm dừng : M 1 (0,0), M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Xét : z’’ xx = 12x 2 -16, z’’ yy = 2, z’’ xy = 0 + Tại M 1 (0,0) thì A=z’’ xx (0,0) = -16 ⇒ ∆ =AC-B 2 = 2.(-16) - 0=-32 < 0 ⇒ hàm số không có cực trị tại M 1 (0,0). +Tại M 2 (-2,0) thì A=z’’ xx (-2,0) = 32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0 và A= 32>0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu M 2 (-2,0) + Tại M 3 (2,0) thì A=z’’ xx (2,0)=32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0 và A=32 >0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại M 3 (2,0) Vậy hàm số đạt hai cực tiểu tại M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Câu 3: Cho hàm số z= 2x 2 - 4x+ siny - y/2 với x ∈ R, - π <y< π . Tìm cực trị của hàm số. Ta có : z’ x = 4x-4, z’ y = cosy - 1/2 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 4 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM    = = 0' 0' y x z z ⇔    =− =− 02/1cos 044 y x      =    = −= ⇔ 1 3/ 3/ x y y π π ⇒ hàm số có hai điểm dừng M 1 (1, 3/ π ), M 2 (1,- 3/ π ) Ta có : z’’ xx = 4, z’’ xy = 0, z’’ yy = - siny + Tại M 1 (1, 3/ π ) thì C = z’’ yy (1, 3/ π )= - 2 3 ⇒ ∆ =AC-B 2 =- 2 3 <0 ⇒ hàm số không có cực trị tại M 1 (1, 3/ π ) +Tại M 2 (1,- 3/ π ) thì C=z’’ yy (1,- 3/ π )= 2 3 ∆⇒ =AC-B 2 = 2 3 > 0 và A= 4 >0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại M 2 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M 2 (1,- 3/ π ) Câu 4 : Tìm cực trị của hàm sốz=x 2 (y-1)-3x+2 với điều kiện x-y+1=0 : Ta có : x-y+1=0 ⇒ y = x+1 nên z= x 3 -3x+2 ⇒ z’ x =3x 2 -3 ⇒ z’ x =0 ⇔    =⇒−= =⇒= 01 21 yx yx Hàm số có hai điểm dừng M 1 (1,2), M 2 (-1,0) x - ∞ -1 1 + ∞ z’ x + 0 - 0 + z 0 CT + ∞ - ∞ CĐ 2 Vậy hàm số đạt cực cực đại M 2 (-1,0), đạt cực tiểu tại M 1 (1,2) Câu 5 : tìm cực trị của hàm số z=x 2 (y+1)-3x+2 với điều kiện x+y+1=0. tìm cực trị của hàm số. Ta có : x+y+1=0 ⇒ y= -x-1 ⇒ z= -x 3 -3x+2 Z’ x =0 ⇔ -3x 2 -3=0 ⇔ x 2 =-1 (vô nghiệm) Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 5 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Vậy hàm số không có cực trị . CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI Câu 1 : Xác định cận của tích phân 3 1 0 0 ( , ) x I dx f x y dy = ∫ ∫ trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: y = 3x , y = x 2 . Bài giải: Ta có: D: 2 2 3 0 3 9 3 9 y x y x y y y y y y x y x y   = = =    ⇔ ⇒ = ⇔ = ⇔    = =    =   ⇒ 3 0 9 y x x y y y  =    =   =  =   Vậy: 9 0 3 ( , ) y y I dy f x y dx = ∫ ∫ Câu 2 : Tính tích phân I = ln D x ydxdy y ∫∫ trong đó D là hình chữ nhật 0 2;1x y e ≤ ≤ ≤ ≤ . Bài giải: I = ln D x ydxdy y ∫∫ = 2 2 0 1 0 1 ln ln . (ln ) e e x dx ydy dx x y d y y = ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 2 2 0 2 ln ey xdx ∫ = 2 2 2 2 0 0 ln ln 1 1 .( ). 2 2 2 e x dx xdx − = ∫ ∫ = 2 2 0 1 2 2 x = ( ) 2 2 1 2 0 4 − = 1 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 6 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Câu 3 : Tính tích phân I = ( ) 2 1 D dxdy x y+ + ∫∫ trong đó D là hình vuông 0 2;0 1x y ≤ ≤ ≤ ≤ . Bài giải: I = ( ) 2 1 D dxdy x y + + ∫∫ = ( ) 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 ( 1) ( 1) d y x dy dx dx y x y x + +    =     + + + +     ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 1 0 0 1 . 1 dx x y   −  ÷ + +   ∫ = 1 0 1 1 2 1 dx x x   − −  ÷ + +   ∫ = 1 1 0 0 ln( 2) ln( 1)x x − + + + = ln3 ln 4 − + . Câu 4 : Tính tích phân I = 2 2 D x ydxdy ∫∫ trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0); B(1,1). Bài giải: Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân như sau: 0 1 0 x y x ≤ ≤   ≤ ≤  I = 1 2 2 2 0 0 0 0 2 x x x dx x ydy dxx y= ∫ ∫ ∫ = 1 1 5 4 0 0 1 5 5 x x dx = = ∫ . Câu 5 :Chuyển tích phân sau sang tọa độ cực ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ , trong đó D là hình tròn 2 2 4x y y + ≤ . Bài giải: Ta có: D: 2 2 2 2 4 ( 2) 4x y y x y + ≤ ⇔ + − ≤ , Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 7 A O B x y 1 1 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2 Đặt cos sin x r y r φ φ =   =  0 2 0 r φ π ≤ ≤  ⇒  ≤ ≤  Nên I= ∫∫ 2 00 )sin,cos(. rdrrrfd φφφ π CHƯƠNG III. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG , TÍCH PHÂN MẶT Câu 1 : Tính tích phân đường ( ) C I x y dl= + ∫ , trong đó C có phương trình x+y=1;0 ≤ x ≤ 1. Giải: x+ y = 1 ⇒ rút y theo x ta được : y=1- x ⇒ ' ( )x y = - 1 dl= ' 2 ( ) 1 ( ) x y+ dx = 2 dx → I = 1 0 2dx ∫ = 2 [ ] 1 0 x = 2 Vậy I = 2 Câu 2: Tính tích phân đường 2 ( ) C I x y dl= + ∫ trong đó C có phương trình x+y=a , 0 ≤ x ≤ a. Giải: x+y=a ⇒ y=a – x → ' ( )x y = -1 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 8 o 1 2 4 x y A r o o o 2 o Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM dl= ' 2 ( ) 1 ( ) x y+ dx = 2 1 ( 1)+ − dx = 2 dx → I= 2 0 ( ) 2 a x a x dx − − ∫ = 2 0 2 a a dx ∫ =a 2 2 [ ] 1 0 x =a 3 2 → I= 1 0 2dx ∫ = 2 [ ] 1 0 x = 2 Câu 3: Cho điểm A(0,1) và B(1,0) tính tích phân đường . ( 2 1) ( 1) AB I y x dx y dy = + + + − ∫ .lấy theo đường y=1-x đi từ A đến B. Giải: y=1-x → dy = -dx 1 0 (1 2 1) (1 1)( 1)I x x dx x dx = − + + + − − − ∫ = 1 0 ( 2 )x x dx+ + ∫ = 1 0 (2 2)x dx + ∫ = 1 2 0 2x x   +   =3 Vậy I= 3 Câu 4: Tính 2 3 (3 2 ) OA I xydx x y dy= − − ∫ lấy theo đoạn nối từ O(0,0) đến A(-1,-1). Giải: Pt đường thẳng OA : 1 1 x y x y dx dy= ⇔ = ⇔ = − − 1 2 2 0 3 (3 2 )I y dx y y dy − = − − ∫ = 1 0 2ydy − ∫ = 1 2 0 y −     =1 Vậy I = 1 Câu 242:Tính I= 2 2 ( ) ( ) OA x y dx x y dy − + + ∫ lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(3,0) Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 9 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải: Pt đường thẳng OA : 0 0y dy dx= → = I= 3 2 0 0x dx + ∫ = 3 3 0 3 x       =9 I = 9 Câu 5: tính tích phân mặt loại 1:I = ( ) s x y z dS + + ∫∫ trong đó S là mặt của hình lập phương [ ] 0,1 x [ ] 0,1 x [ ] 0,1 Giải Miền S gồm 6 mặt : S 1 = { } ( , , ): 0,0 1,0 1x y z z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ S 2 = { } ( , , ): 1,0 1,0 1x y z z x y= ≤ ≤ ≤ ≤ S 3 = { } ( , , ): 0,0 1,0 1x y z y x z= ≤ ≤ ≤ ≤ S 4 = { } ( , , ): 1,0 1,0 1x y z y x z= ≤ ≤ ≤ ≤ S 5 = { } ( , , ): 0,0 1,0 1x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤ S 6 = { } ( , , ): 1,0 1,0 1x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤ Trên mặt S 1 , ta có z = 0 dS dxdy⇒ = Vậy 1 ( ) s x y z ds + + ∫∫ = ( ) D x y dxdy + ∫∫ = 1 1 0 0 ( )dx x y dy + ∫ ∫ = [ ] 1 1 2 0 0 1 ( ) 2 xy y dx + ∫ = [ ] 1 1 0 0 1 ( ) 2 x dx + ∫ = 1 2 0 2 2 x x   +     =1 Trên mặt S 2 ta có : z =1 dS dxdy ⇒ = , do đó 2 ( ) s x y z dS + + ∫∫ = ( 1) D x y dxdy + + ∫∫ = ( ) D x y dxdy + ∫∫ + D dxdy ∫∫ =1+1=2. Vậy ( ) s x y z dS+ + ∫∫ =3(1+2) =9 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 10 [...].. .Tiểu luận toán A3 Nhóm 8 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ngày 01 tháng 11 năm 2008 11 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’ + y =0 x +1 Bài giải: Ta có : y’ + Hay dy y y =0... ⇔ ln x + 1 + x 2 - 1 − y 2 = C là phương trình tổng quát của (*) y y2 ≠ Câu 5 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’= − 2 (x 0) x x (*) Bài giải: Đặt u = y ⇒ y =ux ⇒ y’= u +u’x và y’= u -u 2 x ⇒ u +u’x = u -u 2 ⇔ u’x + u 2 =0 ⇔ du x + u 2 = 0 dx ⇔ du dx + =0 x u2 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 13 Tiểu luận toán A3 Lấy tích phân hai vế ta được − ⇔− Đại Học Công Nghiệp TPHCM 1 + ln x =... phương trình vi phân (1 − y 2 )dx + x ln xdy = 0 ,(x >0) (1) Bài giải: Ta có : Nhóm 8 dx (1 − y ) dx + x ln xdy = 0 ⇔ x ln x + 2 dy 1 − y2 = 0 ,(y ≠ ± 1 ) Ngày 01 tháng 11 năm 2008 12 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM lấy tích phân hai vế ta được dx xét ∫ x ln x và ∫ dy 1 − y2 = ∫ ∫ dx + x ln x ∫ dy 1 − y2 = C (2) d (ln x) = ln ln x ln x =arctgy (2) ⇔ ln ln x + arctgy= C là phương trình tổng . Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN A3 TIỂU LUẬN: Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 1 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhóm. =9 Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 10 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 11 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu. Ta có : x+y+1=0 ⇒ y= -x-1 ⇒ z= -x 3 -3 x+2 Z’ x =0 ⇔ -3 x 2 -3 =0 ⇔ x 2 =-1 (vô nghiệm) Nhóm 8 Ngày 01 tháng 11 năm 2008 5 Tiểu luận toán A3 Đại Học Công Nghiệp TPHCM Vậy hàm số không có