CHƯƠNG 1 CHƯƠNG 1 1. Một số đònh nghóa về ma trận :  Ma trận             !"# $%&'()* +),)-  MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  $/# $/ # 0 1)ỉ 1)101                      = mnmjmm inijii nj nj aaaa aaaa aaaa aaaa A 21 21 222221 111111 0↓ 2 ← 34 45 6%+7 6%+7 Trửụứng hụùp m = n)# [ ] njmiaA ij ,1,,1 === 34 485 = nnnn innn n n aaa aaa aaa aaa A 21 2)1(1)1( 22221 11211 ủửụứng cheựo chớnh ủửụứng cheựo phuù 9)# 9)# 44 44 ) ) :: :: ); ); (%%*)# (%%*)# 4 4 ) ) 3.45: 3.45: ); ); 4 4 (%%# (%%# Ma traọn haứng, ma traọn coọt $) %)% Ma traọn khoõng7#% 9< %&%&'#=" $1 $1 ẹaỳng thửực ma traọn ẹaỳng thửực ma traọn 7>( 7>( % # # % # # ( 9%7 ( 9%7 +?, Thớ duù7-:#: 34 :5 @+(, = = 0 42 , 01 n B qp A +?,%#?:)A?B?4    $#%% $#%% *#%( *#%( % $%# % $%# 7 7  6%#   ()  #              =             nnnn a a a a a a 0 0 00 0 0 0 0 22 11 22 11             =             a a a a a a 0 0 00 0 0 0 0    6%?4)# 6%?4)# '#=%(2 '#=%(2   C C %&%&%/#' %&%&%/#' =%D%%7 =%D%%7 $'#7    ≠ = = jikhi jikhi ij 0 1 δ [ ] njiI ijn ,1,, 1 00 0 10 0 01 ==             = δ    $#%3 $#%3 5%*( 5%*( 7 7 9 0 ?<E0%              = nn n n b bb bbb B 00 0 222 11211             = nnnn ccc cc c C 0 0 0 11 2221 11 9 0 ?<F0 Ma traọn chuyeồn vũ7$=%&' +)=%+ 9 ' ) / =%1 G)%#% % Ma traọn ủoỏi xửựng, phaỷn xửựng7$ +?H 0 I"% 0 ? 0 )#"% 0 ?. 0 ))0?4) J+#"  J+#"   9')# 4#4)# :#:);  9=%&'+7             = mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 [...]... ,  a32   b 11 B= b 21 b12 b13 b22 b23 b14   b24   a11b 11 + a12 b 21 a b + a b  21 11 22 21  a31b 11 + a32 b 21 a11b12 + a12 b22 a11b13 + a12 b23 a21 b12 + a22 b22 a21 b13 + a22 b23 a31b12 + a32 b22 a11b14 + a12b24   a21 b14 + a22 b24  a31b14 + a32 b24  a31b13 + a32b23 Tích BA không tồn tại 1 2.Cho A =  3 Tính tích AB 7 8 AB =  6 5 2 1 1 , 0 1 B = 2  3  2 0 5 3 1  4  9 ... ma trận BTAT 4 Phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình đại số tuyến tính  Dạng ma trận của hệ phương trình đại số tuyến tính Ma trận hệ số Nới rộng Nghiệm Ẩn tự do Ẩn cơ sở Hệ phương trình đại số tuyến tính (HPTĐSTT) gồm m phương trình, n ẩn số có dạng : a 11 x1 + a12 x 2 + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 2 n x n = b2 a m1 x1 + a m 2 x 2 + a mn x n = bn (1. 20) Hệ phương trình trên có thể... dạng ma trận : AX = B (1. 20) Trong đó :  a 11 a A =  21    am1 a12 a 22 am2 a1n   x1   x  a2n  2 , X =  ,       a mn   xn  b1  b  B= 2     bm  A được gọi là ma trận hệ số, X : ma trận ẩn số, B : ma trận hằng số Ngoài ra ta thiết lập ma trận À gọi là ma trận hệ số nới rộng là ma trận hệ số và thêm cột hằng số Thí dụ : 1 Cho trình :  a 11   a 21 A=   a  m1 a12... a 11 a AT =  12    a1n a 22 a 22 a2n a m1   am2    a mn  AT là ma trận cấp m x n Trường hợp đặc biệt, vectơ cột chuyển vò là vectơ hàng và ngược lại T a 11  a 11  a  a  AT =  21  = [ a 11 a 21 a n1 ], [ a 11 a12 a1n ] =  12          a 11  a n1   Đònh lý 1 : (AT)T = A trong đó A là ma trận cấp m x n 2 Đại số ma trận :  Cộng các ma trận : Đònh nghóa : Tổng của 2 ma trận. .. aij ] i = 1, m; j = 1, n (1. 6) Ma trận A cấp m x n, ma trận λA cũng có cấp m x n Ma trận – A = ( -1 ) A được gọi là ma trận đối của ma trận A tổng của ma trận A với ma trận đối của nó –A bằng ma trận 0 A + (-A) = 0 (1. 7) Như trên đã nêu, số 0 được dùng để biểu thò ma trận không cấp m x n bất kỳ Với 2 ma trận A, B cùng cấp mxn, đẳng thức sau là hiển nhiên : A – B = A + ( -1 ) B = A + (-B) (1. 8) Các tính chất... hàng i của ma trận A và cột j của ma trận B (hình 1. 1) [ ] C = cij = [ai1b1 j + ai 2 b2 j + + air brj  r  = ∑ aik bkj   k =1  1. 12 Hàng i Hình 1. 1 Cột j Cần nhấn mạnh rằng, tích 2 ma trận chỉ tồn tại nếu số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai (hình 1. 2) A cấp mxr B cấp rxn bằng nhau AB cấp m x n Hình 1. 2 Thí dụ :  a 11 1.Cho A =  a 21   a 31  Tính tích AB a12  a 22... các ma trận A, B và ma trận C1 có cùng cấp m x n  Nhân ma trận với một số thực : Một số thực còn được gọi là vô hướng, nên phép tính nhân ma trận với một số thực còn được gọi là nhân ma trận với vô hướng  Đònh nghóa : Tích của ma trận A = [aij] với vô hướng λ là ma trận thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số λ  λ a 11 λ a  21 λA =    λ a m1 λ a12 λ a 22 λ a m 2 λ a1n  λ a2n... = 1, m, j = 1, n và B = bij , i = 1, m, j = 1, n   cùng cấp m xn là ma trận cấp m x n với các phần tử cij = aij + bij [ ] C = cij , i = 1, m, j = 1, n i = 1, m, j = 1, n (1. 3) Tổng của hai ma trận được ký hiệu : C=A+B Vậy theo đònh nghóa ta có : a 22 a1n   b 11  a 11 a  b a 22 a 2 n   21  21 +       a m 2 a mn   bm1  a m1 (a12 + b12 )  (a 11 + b 11 )  (a + b ) (a 22 + b22 ) 21. .. Giao hoán : A+B=B+A (1. 4) 2 Kết hợp : A + (B + C) = (A + B) + C (1. 5) Cần nhấn mạnh : 2 ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma trận tổng có cấp bằng cấp của các ma trận đã cho Tương tự phép tính cộng các ma trận, ta có đònh nghóa phép tính trừ các ma trận :  a 11 − b 11 a − b  21 21 A − B = C1 =    a m1 − bm1 a12 − b12 a 22 − b22 a m 2 − bm 2 a1n − b1n  a 2n − b2 n  ... n n   1 1 2 2   c n  Thí dụ : 2  R = [15 3], C =  − 1   4    2  RC = [15 3] 1 = 1. 2 + 5( 1) + 3.4 = 9   4     Đònh nghóa tích các ma trận : Tích AB của ma trận A với ma trận B được đònh nghóa với giả thiết số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B Cho ma trận A = [aij] cấp m x r và ma trận B = [bij] cấp r x n tích AB là ma trận C = [cij] cấp m x n với các phần tử cij là .              = mnnn m m T aaa aaa aaa A 21 22 212 12 211 [ ] [ ]             ==             = 11 12 11 11 211 1 211 1 1 21 11 , a a a aaaaaa a a a A nn T n T   Đònh lý 1 : Đònh lý 1 :   (A (A T T ) ) T T . K85             +++ +++ +++ =             +             )( )()( )( )()( )( )()( 2 211 222222 212 1 11 1 212 111 1 21 222 21 12 211 21 222 21 12 211 mnmnmmmm nn nn mnmm n n mnmm n n bababa bababa bababa bbb bbb bbb aaa aaa aaa . 9+), - 4  #"              −−− −−− −−− ==− mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa CBA 2 211 222222 212 1 11 1 212 111 1 1  Nhân ma trận với một số thực Nhân