Email: Jackie9x.spb@gmail.com Phương trình và Hệ phương trình Vi phân A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình biến số phân ly + Dạng:      + Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm của phương trình + Chú ý:      + Ví dụ: a)    Tích phân hai vế               b)     Tích phân hai vế         2. Phương trình vi phân toàn phần + Dạng:       Thỏa mãn     + Cách giải:             Trong đó     được xác định bởi công thức                         c minh cng lm (0,0) 3. Phương trình tuyến tính cấp 1 + Dạng:        + Cách giải: Email: Jackie9x.spb@gmail.com Tính:          Công thức nghiệm:     4. Phương trình Bernoulli + Dạng:               + Cách giải: Đưa về phương trình tuyến tính cấp 1 và áp dụng công thức nghiệm thông qua hai bước - Bước 1: Làm mất  ở vế phải - Bước 2: Đặt    Cụ thể: - Kiểm tra   có là nghiệm của phương trình - Nếu  chia hai vế phương trình cho              Đặt                                   Phương trình trở về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 5. Phương trình thuần nhất + Dạng:        + Cách giải: Đặt    (với  là hàm biến )                              (Cách nhớ: Đặt    Đưa về phương trình biến số phân ly) Email: Jackie9x.spb@gmail.com 6. Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1 Đây là kinh nghiệm cá nhân Nếu không giải được thì đưa về dạng   B. Phương trình vi phân cấp 2 (Tuyến tính với hệ số hằng) Dạng:        + Nếu     Phương trình thuần nhất + Nếu     Phương trình không thuần nhất 1. Phương trình thuần nhất (PTTN) Dạng:      Cách giải: + Xác định phương trình đặc trưng (PTĐT):    + Giải PTĐT, nghiệm của PTĐT sẽ quyết định dạng nghiệm của PTTN - PTĐT có 2 nghiệm phân biệt     Phương trình Dạng:   Dạng:   PT tuyến tính cấp 1 PT Bernoulli PT thuần nhất PT biến số phân ly PT vi phân toàn phần Email: Jackie9x.spb@gmail.com  Nghiệm PTTN:               (TQTN: Tổng quát thuần nhất) - PTĐT có nghiệm kép       Nghiệm PTTN:         - PTĐT có cặp nghiệm phức liên hợp    Nghiệm PTTN:          2. Phương trình không thuần nhất Dạng:        Cách giải: +  Có PTTN tương ứng là      Khi đó  có công thức nghiệm là:        Trong đó    là nghiệm riêng được xác định từ vế phải của PT    Cụ thể ta sẽ xét các trường hợp của   a. TH1:               Trong đó:          Ta tính được     Sau đó thế vào    của PT    để tìm các hệ số của   b. TH2:        Tính  Kiểm tra xem    là nghiệm bội  của PTĐT               Email: Jackie9x.spb@gmail.com 3. Chú ý Trong quá trình tìm nghiệm riêng ta có thể sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm riêng. Ví dụ: Xét 3 phương trình vi phân                             Khi đó          C. Hệ hai phương trình vi phân cấp 1 Dạng:         Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2 Chú ý: Rút  theo  và  hoặc rút  theo  và  . PTTN - PT T có 2 nghiệm phân biệt     Phương trình Dạng:   Dạng:   PT tuyến tính cấp 1 PT Bernoulli PT thuần nhất PT biến số phân ly PT vi phân toàn phần Email:. Jackie9x.spb@gmail.com Phương trình và Hệ phương trình Vi phân A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình biến số phân ly + Dạng:      + Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm. trình vi phân cấp 1 Dạng:         Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2 Chú ý: Rút  theo  và  hoặc rút  theo  và