ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ

23 5.2K 15
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b)

CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TỐN KINH TẾ Mã Mơn Học: MAT101 Nhóm: 03 DANH SÁCH THÀNH VIÊN DQT103387 DQT103388 DQT103389 DQT103390 DQT103391 DQT103392 DQT103393 DQT103395 DQT103396 DQT103397 DQT103398 DQT103399 DQT103400 DQT103402 DQT103403 DQT103404 DQT103405 DQT103406 DQT103407 DQT103408 DQT103409 DQT103410 DQT103411 DQT103413 DQT103414 DQT103416 DQT103417 DQT103419 DQT103421 DQT103423 DQT103631 Hà Bảo Anh Huỳnh Ngọc Lan Anh Huỳnh Thị Xuân Anh Nguyễn Lê Minh Anh Nguyễn Cao Duy Ân Phan Bảo Ân Lê Thị Ngọc Bích Đỗ Minh Chánh Phan Thị Minh Châu Trần Thị Chi Lê Thiện Chí Ngơ Văn Cơng Nguyễn Hồng Cung Trần Võ Quốc Cường Hồ Thị Mỹ Danh Lưu Văn Dợn Đặng Thị Thúy Duy Trình Ngọc Duy Phạm Thị Thanh Duyên Huỳnh Anh Dũng Nguyễn Phước Dư Nguyễn Thị Thùy Dương Nguyễn Thị Thùy Dương Võ Thanh Đào Nguyễn Thanh Đạt Vũ Trường Giang Nguyễn Hồ Hải Lou Anh Hào Dương Thị Thanh Hằng Trần Thị Kim Hằng Nguyễn Thị Gọn A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I Cơ sở lý thuyết Một số kết toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định (a,b) xo ∈( a, b), ∀x ∈( a, b) : ∆x = x − xo ∆y = ∆f = f ( x) − f ( xo ) Đạo hàm f xo là: f ' ( xo ) = df ( xo ) f ( x) − f ( xo ) ∆y = lim = lim dx x − xo ∆x →o ∆x x → xo b.Đạo hàm độ dốc đường cong: y (C) M (T) y y0+ ∆ M0 y0 α N ϕϕ x0 x x0+ ∆ x Cho y = f(x) có đồ thị đường cong (C), xo ∈ D: miền xác định hàm số - Gọi ϕ góc nghiêng đường thẳng MoM so với trục Ox - Gọi α góc nghiêng tiếp tuyến MoT so với trục Ox MN ∆y Ta có: tgϕ = M N = ∆x o ∆x → ⇒ M → M ⇒ đường thẳng (MoM) đến vị trí tiếp tuyến MT ⇒ ϕ → α Khi ∆y lim ∆x = lim tgϕ = tgα ⇔ f ' ( x0 ) = α ∆x →0 ϕ →α Ta kết luận: Đạo hàm y = f(x) xo hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số Mo(xo,yo) Và f ' ( xo ) số đo độ dốc đường cong y = f(x) Mo(xo,yo) c Vi phân hàm số y = f(x) dy = df = f ' ( x ) dx d Đạo hàm xu hướng biến thiên hàm số Cho y = f(x) có đạo hàm (a,b) ⊂ R, đó: f ' ( x ) > 0, ∀x ∈( a, b) ⇒ hàm số tăng f ' ( x ) < 0, ∀x ∈( a, b) ⇒ hàm số giảm f ' ( x) = 0, ∀x ∈( a, b) ⇒ f hàm e Cực trị hàm số Cho y = f(x), xác định (a,b) - Điểm cực trị địa phương x0 ∈ (a,b) hàm f điểm mà hàm số đạt trị lớn (cực đại), trị nhỏ (cực tiểu) - Điều kiện cần: f đạt cực đại cực tiểu x0 ∈ (a,b) x0 hàm f có đạo hàm Thì f ' ( x0 ) = - Điều kiện đủ: cho y = f(x), có f ' ( x ) (a,b) ⊂ R Giải f ' ( x ) = , ta tìm nghiệm x0, x1,… gọi điểm tới hạn Nếu: + Tại x0, f ' ( x ) đổi dấu từ + sang – f có cực đại + Tại x0, f ' ( x ) đổi dấu từ - sang + f có cực tiểu + Nếu f ' ( x ) khơng đổi dấu hàm f khơng có cực trị - Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2: + Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp + Nếu x0 ta có f ' ( x0 ) =0 f ' ' ( x) ≠ hàm số đạt cực trị x0   x0 điểm mà f đạt cực đại f ' ' ( x0 ) < x0 điểm mà f đạt cực tiểu f ' ' ( x0 ) > Ý nghĩa đạo hàm kinh tế Đạo hàm giá trị biên tế kinh tế Cho mơ hình hàm số y = f(x), x y biến kinh tế x: biến độc lập hay biến đầu vào y: biến phụ thuộc hay biến đầu Trong quản trị kinh doanh, quan tâm đến xu hướng thay đổi y, x thay đổi lượng nhỏ Với định nghĩa đạo hàm toán bản, ta có: f ' ( x0 ) = lim ∆x→0 ∆y x ∆ đủ nhỏ, ta viết: ∆x ∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = = f ' ( x0 ) ∆x ∆x ⇔ ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ' ( x0 ).∆x Khi ∆x = ⇒ ∆y = f ' ( x0 ) Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi biến số y biến số x tăng thêm đơn vị Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả thay đổi biến kinh tế y, biến kinh tế x thay đổi, ta gọi f ' ( x0 ) giá trị biên tế y x0 (còn gọi biên tế) Với hàm kinh tế, ta có tên gọi riêng: Thí dụ: dTR a Với hàm doanh thu: TR = p.Q dQ gọi doanh thu biên tế dTC df = :chi phí biên tế dx dx dQ df = c Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động sản lượng biên tế dL dL b Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng II Một số tốn ứng dụng sản xuất kinh doanh Bài toán giá trị biên a Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi sản lượng lao động vốn tăng lên đơn vị Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất doang nghiệp là: Q = f(L) = L L: số công nhân Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 cơng nhân Q = 100 = 50 đơn vị sản phẩm Sản phẩm biên tế lao động L = 100 là: 5 dQ = f’(L) = = = 0.25 L = 100 100 dL L 100 Điều có nghĩa là: tăng mức sử dụng lao đơng từ 100  101 sản lượng tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm Thử xét: L 100 110 120 150 200 400 1.000 MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079 Nhận xét: MQ hàm số giảm dần, đến số lượng cơng nhân định đó, việc tuyển thêm cơng nhân khơng cịn hiệu quả, tăng thêm chi phí MQ 0.25 0.17 0.12 400 Thí dụ 2100 sử hàm sản xuất doanh nghiệp may mặc: : Giả 200 Q= f(L) = + L:số công nhân Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân Q= 355 dơn vị sản phẩm Sản phẩm biên tế lao động L=2500 là: = f’(L) = = = 0.07 L= 2500 Điều có nghĩa : tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 sản lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm b Sự thay đổi giá theo cầu: Là số đo thay đổi giá mức sản lượng tăng lên đơn vị Thí dụ 1: Hàm cầu sản phẩm: P = 10 – Q2 , Q sản lượng, P giá bán Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q Gỉa sử mức Q = đơn vị P’(5) = -10: Nghĩa tăng sản lượng lên đơn vị (từ lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ Thí dụ 2: Giả sử shop cửa hàng quần áo có hàm cầu áo :P= -2Q 2, Q sản lượng , P giá bán Sự thay đổi giá theo lượng cầu :P’ = -4Q Giả sử mức Q= 10 đơn vị P’(10) =-40 nghĩa tăng sản lượng đơn vị giá giảm 40 đơn vị tiền tệ c Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC: Hàm chi phí: TC = TC(Q) Chi phí biên đại lượng đo thay đổi chi phí sản lượng Q tăng lên 1đơn vị Thí dụ 1: Hàm chi phí sản phẩm cho là: TC = 0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 100 Tìm MC MC Q = 50 đơn vị sản lượng ? dTC d = (0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 500) dQ dQ =0.0003Q2 – 0.04Q + Khi Q = 50, MC = 3.75 Điều có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ Chúng ta tính MC số mức sản lượng khác nhau: Q MC 30 4.07 40 3.88 50 3.75 60 3.68 70 3.67 80 3.72 90 3.83 Q MC 100 120 4.52 150 5.75 180 7.52 200 300 20 500 60 Nhận xét: -Chi phí biên hàm tăng -Sản lượng sản xuất lớn chi phí biên lớn d Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng 4.07 30 200 300 Nếu: Q thị trường định, giá doanh nghiệp định, MR hay giá trị cận biên doanh thu đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Nếu: Q doanh nghiệp định, P thị trường định MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu đại lượng đo thay đổi cảu doanh thu giá tăng đơn vị Ví dụ1: Cho hàm chi phí C =C(Q) giá trị biên chi phí MC(Q) đại lượng đo thay đổi chi phí Ckhi Q tăng lên đơn vị Cho hàm chi phí trung bình để san xuất máy tính là: 200 C = 0.0003Q2 - 0.001Q + + Q Tìm giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q.giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q =70 Giải: Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C =Q C =0.0003Q3 -0.001Q2 +3Q+200 Gía trị cận biên chi phí là: dC MC(Q) = =0.0009Q2 -0.002Q +3 dQ Khi Q =70 MC(70) =7,72.Như vậy, tăng Q lên đơn vị từ 70 lên 71 chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị Ví dụ 2: Một sản phẩm có hàm cầu Q=1000-14P, Q sản lương, P giá bán.tìm doanh thu biên P=10,50 Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P2 Có : MR= 1000 – 28P Với P=10, ta có MR=720 nghĩa tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng đơn vị tiền tệ) doanh thu tăng 720 đơn vị tiền tệ Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 doanh thu giảm mức 400 đơn vị tiền tệ Thí dụ 3: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu là: Q= 1.000 - 14P, Q sản lượng, P giá bán Tìm MR P = 40 P = 30 Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P2 MR = 1.000 – 28 P *Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120 Nghĩa doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng đơn vị tiền tệ), doanh thu giảm 120 đơn vị tiền tệ *Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160 Nghĩa doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng đơn vị tiền tệ), doanh thu tăng 160 đơn vị tiền tệ Ta tính MR số mức khác nhau: P MR 30 120 32 104 Nhận xét: - MR hàm số giảm, - Có mức giá MR = 34 48 35 20 35.5 36 -8 38 -64 40 -120 MR 120 40 P 30 -120 Cũng với thí dụ Q = 1000 – 14P, tính cách khác 1.000 − Q 14P = 1.000 – Q  P = , doanh thu 14  1.000 − Q  Q = 1.000Q − Q TR = PQ =  ÷ 14   14 d TC dTR  1.000Q − 2Q  MR = = ÷ đo lượng thay đổi 14   dP dQ doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị MR số mức sản lượng sau: Q MR 200 42.8 300 28.5 400 14.9 500 600 -14.9 Nhận xét: - MR hàm số giảm, - Có mức sản lượng MR = MR 42.8 200 -42.8 500 800 Q 700 -28.5 800 -42.8 e Lợi nhuận biên Xét hàm lợi nhuận sản phẩm A: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)), Trong đó: - TR hàm doach thu; - TC hàm chi phí; - FC định phí, VC(Q) biến phí Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên số đo thay đổi lợi nhuận giá tăng thê đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm đơn vị Một doanh nghiệp muốn đạt lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn: Cách 1: Gía bán P xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng sản xuất Q Giả định π hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa điều kiện: dπ d dTR dTC (1) = (TR-TC) = = MR – MC = dQ dQ dQ dQ (2) d 2π d2 = (TR – TC) < dQ dQ Từ (1)  MR = MC, nghĩa doanh thu biên = chi phí biên d 2TR d 2TC Từ (2)  < dQ dQ Đã biết: Doanh thu biên hàm giảm, chi phí biên hàm tăng Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q xác định theo yêu cầu thị trường π = TR – TC dπ d dTR dTC dTR dTC = (TR – TC) = =0 = dP dP dP dP dP dP (1) d 2π d2 d 2TR d 2TC = (TR – TC) = MUt : giảm thịt tăng, cá không đổi 2 ∂ t ∂t ∂t dU ∂ U ∂2U ∂2 f Và : = < => = MUc : Ui = dx giảm cá tăng thịt không đổi, 2 ∂ c i ∂c ∂c Thì thịt khơng đổi Thí dụ : Q = f(K,L) K L Thì: Và: : Hàm sản xuất doanh nghiệp : Tư vay vốn : Số lao động ∂ f ∂2 Q ∂2 f = < => = MPK : giảm K tăng, L không đổi 2 ∂ K ∂K ∂K ∂ f ∂2 Q ∂2 f = < => = MPL : giảm L tăng, K không đổi 2 ∂ L ∂L ∂L Tính hệ số co dãn (trường hợp nhiều biến) Gọi y đại lượng kinh tế phụ thuộc vào biến kinh tế khác : x1, x2,…, xn biểu diễn qua quan hệ làm: Y = f(x1, x2,…, xn ) Khi độ co dãn y theo biến xj định nghĩa là: y E xj = ∂ x j , y ∂ j x y Thí dụ: ∀ = 1, n j Với hàm sản xuất Q = AKαL1-α ; A < 0, < α Tìm cự trị cùa hàm lợi nhuận Ta có: ∂ π ∂ f = p -α ∂ K ∂ K ∂ π ∂ f = p -β ∂ L ∂ L Điều kiện cần để có cực trị là: ∂π ∂f ∂f  =p −α = ⇔ p = α ∂K ∂K ∂K (1)  ∂π ∂f ∂f = p −β =0⇔ p =β ∂L ∂L ∂L  Gọi : ∂2 π ∂2 π ∂π R= , s= , t= 2 ∂ L K∂ ∂K ∂L Điều kiện đủ để cực trị cực đại (Lợi nhuận tối đa) s − rt <   r

Ngày đăng: 10/04/2013, 10:21

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan