ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 12 1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann. 24 2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1 Mở đầu Năm 1990, Jakubith đã nghiên cứu quá trình oxy hóa phân tử CO trên bề mặt nguyên tử Pt(110). Ông khám phá ra rằng trên bề mặt nguyên tử Pt, quá trình các phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo ra phân tử khí Cacbonic diễn ra rất phức tạp. Vì vậy, để hiểu được cơ chế của các hiện tượng trên, Hildebrand - Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] và Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl [1] đã trình bày một mô hình động lực học đơn giản của phản ứng đó có tên gọi là mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám. Nội dung của luận văn là nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Neumann. Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả bao gồm: Định nghĩa về các không gian hàm cơ bản; Định nghĩa toán tử quạt và tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính. Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann. Nội dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương bằng cách viết lại mô hình trên về dạng bài toán Cauchy trừu tượng. Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệm cho các nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá đó chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình đã cho. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [3] và [5]. 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Viết Chiến 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Cuối cùng, ta trình bày bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính. Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [5]. 1.1 Những không gian hàm cơ bản 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X . Ta có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau. R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n  . R n + =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n, x i > 0  . C([a, b]; X) =  f : [a, b] → X : f liên tục trên [a, b]  . C m ([a, b]; X) =  f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m  . L(X, Y ) =  f : X → Y : f tuyến tính liên tục  . L p (Ω) =  f đo được trên Ω :  Ω |f(x)| p dx < +∞  , p ≥ 1. L ∞ (Ω) =  f đo được trên Ω : ess sup Ω |f| < +∞  , với ess sup Ω |f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω. L p loc (Ω) =  f đo được trên Ω : f ∈ L p (Ω  ), ∀Ω  compact ⊂ Ω  . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian Banach. a) Kí hiệu B ([a, b] ; X) =  u : [a, b] → X : u bị chặn trên [a, b]  . Khi đó B ([a, b] ; X) là không gian Banach với chuẩn u B = sup a≤t≤b u(t) , ∀u ∈ B ([a, b] ; X) . b) Cho η > 0, không gian B −η {a} ((a, b] ; X) =  u : (a, b] → X : (t − a) η u ∈ B ((a, b] ; X)  . Không gian trên được trang bị chuẩn u B −η {a} = sup a<t≤b (t − a) η u(t) =   (t − a) η u   B . Định nghĩa 1.3. Cho Ω ⊂ R n là một tập mở. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| γ , x, y ∈ Ω; 0 < γ ≤ 1. Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. b) Không gian C  ¯ Ω  =  u : Ω → R : u bị chặn và liên tục trên Ω  với chuẩn u C(Ω) := sup x∈Ω |u(x)|. c) Cho m = 0, 1, 2, và số mũ σ thỏa 0 < σ < 1, không gian C m,σ ([a, b] , X) =  u ∈ C m ([a, b] , X) : u (m) (t) liên tục H¨older bậc σ  . Không gian trên được trang bị chuẩn u C m,σ = u C m + sup a≤s<t≤b   u (m) (t) − u (m) (s)   |t − s| σ . d) Cho 0 < σ < 1, không gian C σ {a} ([a, b] ; X) =  u : [a, b] → X : u liên tục H¨older bậc σ tại x = a  . Ta định nghĩa chuẩn của không gian trên là u C σ {a} = u C + sup a<t≤b u(t) − u(a) (t − a) σ , ∀u ∈ C σ {a} ([a, b] ; X) . Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F β,σ ((a, b]; X). Cho (X, .) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1. Không gian F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau: 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị (1) Khi β < 1, (t − a) 1−β F (t) có giới hạn khi t → a. (2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a) 1−β+σ , nghĩa là sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ = sup a≤t≤b sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ < ∞. (3) Khi t → a thì ω F (t) = sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ → 0. Không gian F β,σ ((a, b]; X) cùng với chuẩn F  F β,σ = sup a≤t≤b (t − a) 1−β F (t) + sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ là một không gian Banach. Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev. Trước tiên, chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L 1 loc (Ω). Định nghĩa 1.4. Với một hàm u ∈ L 1 loc (Ω), ta nói rằng v ∈ L 1 loc (Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến x j , ký hiệu v = D j u, nếu  Ω vφ dx = −  Ω u ∂φ ∂x j dx, với mọi φ ∈ C ∞ c (Ω). Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L 1 loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u, viết là v = D α u, nếu  Ω D α uφ dx = (−1) |α|  Ω uD α φ dx, với mọi φ ∈ C ∞ 0 (Ω). Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau W k,p (Ω) =  u : D α u ∈ L p (Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k  , với chuẩn u W k,p =    0≤|α|≤k D α u p L p   1/p . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Không gian Sobolev W k,p (Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach khả ly. Trường hợp p = 2, ký hiệu H k (Ω) = W k,2 (Ω). Người ta chọn ký hiệu này vì H k (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau (u, v) H k =  0≤|α|≤k (D α u, D α v) L 2 , u, v ∈ H k (Ω). Khi đó, chuẩn của H k (Ω) được xác định bởi công thức u H k =    0≤|α|≤k D α u 2 L 2   1 2 . Tiếp tục, ta định nghĩa không gian H s p (Ω) với s là một số không âm. Khi Ω = R n H s p (R n ) =  u ∈ S(R n )  : F −1 [(1 + |ξ| 2 ) s/2 Fu] ∈ L p (R n )  , ở đây S(R n )  là không gian các hàm suy rộng, F và F −1 lần lượt là biến đổi Fourier và biến đổi ngược Fourier trên S(R n )  . Không gian H s p (R n ) là không gian Banach với chuẩn u H s p = F −1 [(1 + |ξ| 2 ) s/2 Fu L p , u ∈ H s p (R n ). Hơn nữa, khi s = k thì H k p (R n ) = H s p (R n ). Khi Ω = R n + hoặc Ω là một miền bị chặn trong R n với biên Lipschitz, ta định nghĩa H s p (Ω) =  u ∈ L p (Ω) : ∃U ∈ H s p (R n ), U |Ω = u,  . Không gian H s p (Ω) là không gian Banach với chuẩn u H s p (Ω) = inf U∈H s p (R n ),U |Ω =u U H s p (R n ) . 1.1.2 Định lý nhúng Định lý 1.1 (Định lí 1.36 [5]). Giả sử Ω là R n , R n + hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. 1. Nếu 0 ≤ s < n p thì H s p (Ω) ⊂ L r (Ω) với phép nhúng liên tục, (1.1) ở đây p ≤ r ≤ pn n − ps . 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2. Nếu s = n p thì H s p (Ω) ⊂ L r (Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2) ở đây p ≤ r < ∞. 3. Nếu s > n p thì H s p (Ω) ⊂        C(R n )(tương ứng C(R n + )) khi Ω = R n (tương ứng R n + ), C(Ω) khi Ω bị chặn . (1.3) Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục. Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨older trong không gian L p , ta thu được các đánh giá thường được dùng sau. Giả sử Ω là R n , R n + hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Cho 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thỏa 1 p + 1 q = 1 r , ta có đánh giá uv L r ≤ u L p v L q , u ∈ L p (Ω), v ∈ L q (Ω). (1.4) Khi 0 ≤ s < 1, H s (Ω) ⊂ L p (Ω), 1/p = (1 − s)/2 ta có ước lượng u L p ≤ Cu H s , u ∈ H s (Ω) ∩ L p (Ω) . (1.5) Khi s = 1, H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω) với 2 < q < ∞ thỏa mãn u L q ≤ C p,q u 1−(p/q) H 1 u p/q L p , u ∈ H 1 (Ω) ∩ L q (Ω) . (1.6) Khi 1 ≤ p < q < ∞, s > 1, H s (Ω) ⊂ C( ¯ Ω) ta đưa vào ước lượng u C ≤ Cu H s , u ∈ H s (Ω) ∩ C  Ω  . (1.7) Với 0 < θ ≤ 1 ta có uv H 1+θ ≤ C θ u H 1+θ v H 1+θ , u, v ∈ H 1+θ (Ω). (1.8) 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn ., A : D(A) ⊂ X → Y . D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A. 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị • Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X. • Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là G A = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng. Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X. Kí hiệu • Tập giải ρ(A) =  λ ∈ C : (λ − A) −1 ∈ L(X)  . • Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A) −1 được gọi là giải thức. • Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A). Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật trên X.Giả sử phổ của A nằm trong miền Σ ω = {λ ∈ C : |argλ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.9) và giải thức thỏa mãn đánh giá   (λ − A) −1   ≤ M |λ| , ∀λ /∈ Σ ω , (1.10) trong đó M ≥ 1. Khi đó, A được gọi là là toán tử quạt. Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X. Kí hiệu ω A = inf ω {σ(A) ⊂ Σ ω } được gọi là góc của A. Khi đó với mọi ω A < ω ≤ π luôn tồn tại M ω > 1 sao cho   (λ − A) −1   ≤ M ω |λ| , ∀λ /∈ Σ ω . a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc ω A < π 2 và với góc ω A < ω < π 2 ta có σ(A) ⊂ Σ ω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω}, ω A < ω < π 2 , (1.11) và (λ − A) −1  ≤ M ω |λ| , λ /∈ Σ ω , ω A < ω < π 2 . (1.12) 9 [...]... các phản ứng hóa học Hệ số g và h tương ứng là tỉ lệ nhả hút bám và hút bám của từng phần tử CO với bề mặt kim loại Hàm f e−αχ(ρ) là tỉ lệ hút bám của phân tử CO phụ thuộc hàm χ(ρ), và −µ [u(1 − u) χ(ρ)] là hàm biểu thị lưu lượng của u trên Ω 24 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Trong phương trình trên, Ω là miền có biên bị chặn... 1)(1 − ξ) − v(ξ − 1 ) 2 34 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Chứng minh tương tự ở trên với ω0 ≥ 0, ξ0 ≥ 0 ta cũng suy ra ω(t) ≥ 0, ξ(t) ≥ 0 với mọi 0 < t ≤ TU0 Do đó ta có điều phải chứng minh 2.2 2.2.1 Nghiệm toàn cục Đánh giá tiên nghiệm  Định lý 2.2 U =  u    là nghiệm của (2.1) với giá trị ban đầu U0 =  ρ u0  ∈... luận tương tự ˜ ˜ ˜ như trên với thời điểm ban đầu S và giá trị ban đầu U (S) = U (S), ta suy ra ˜ ˜ ˜ U (S + τ ) = U (S + τ ) với hằng số τ > 0 Như vậy, sau hữu hạn bước, ta được ˜ U (t) = U (t), với mọi 0 < t ≤ TU0 23 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Ta xét bài toán biên - ban đầu với điều kiện biên Neumann dưới đây   ∂u ... mãn điều kiện (1.38) Tóm lại, ta thấy các điều kiện của Định lý 1.7 được thỏa mãn Như vậy mô hình bài toán ở trên đã được đưa về bài toán Cauchy trong không gian Banach X như sau   dU dt + A(U )U = F (U ), 0 < t < ∞, (2.17)  U (0) = U 0 Khi đó theo Định lý 1.7 tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán trên 31 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với. .. e−αχ(ρ) u + h(1 − u) −µ [u(1 − u) −dρ(1 − ρ)2 + v 2  , (2.14)  với U =  u   ∈ W Ta phải chứng minh F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Để ρ 28 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann thực hiện chứng minh đó, ta đánh giá các thành phần của F (U ) − F (V ) lượt là các chuẩn [u(1 − u) χ(ρ)] − [v(1 − v) χ(ξ)] và cuối cùng là −ρ(1 −... Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Từ những đánh giá trên, ta suy ra ϕ (t) ≤ CU H (u) 2 L2 ≤ CU u 2 L2 ≤ CU ϕ(t) Vì vậy ϕ(t) ≤ eCU t ϕ(0) và ϕ(0) = 0, suy ra ϕ(t) ≤ 0 Mà theo cách xây dựng hàm ϕ(t) ta có ϕ(t) ≥ 0 nên suy ra ϕ(t) ≡ 0 Từ đó, ta có điều phải chứng minh là u(t) ≥ 0 với mọi 0 < t < TU0 Tương tự, ta sẽ chứng minh ρ(t)... được định nghĩa là một toán tử từ HN 2 (Ω) = D(A2 ) đến HN (Ω) = D(A2 ) Sau 2 26 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann đây ta sẽ tìm miền xác định D(A(U )) của A(U ) Trước hết, ta chứng minh B(U )   2 là toán tử bị chặn trong HN (Ω) Thật vậy, với mỗi U =  u  ∈ Z, B(U ) là ρ 2 một toán tử từ HN (Ω) vào chính nó Từ (1.8), B thỏa... Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann với 0 < ε < 1/2 cố định tùy ý Thêm nữa, ta đặt không gian giá trị ban đầu      u0 1 3  : u0 ∈ H (Ω) , ρ0 ∈ HN (Ω), 0 ≤ u0 ≤ 1, 0 ≤ ρ0 ≤ 1 (2.6) K=    ρ 0 Cuối cùng, với mỗi 0 < R < ∞ ta đặt tập con KR ⊂ Z được xác định bởi KR = {U ∈ Z : U Z < R} Ta có kết quả sau Định lý 2.1 Với mỗi... chứng minh A(U ) là toán tử quạt với góc ωA(U ) = 0 Cho λ ∈ (0, ∞) ta thấy rằng /  ˜ ˜ (λ − A(U ))U = F , U =  u   ˜  ∈ KR , U =  ρ u ˜ ρ ˜ 27   ˜  ∈ D, F =  ˜ f ˜ ζ   ∈ X, Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann tương đương   u = (λ − A1 )−1 f , ˜ ˜  ρ = (λ − A )−1 ζ + B(U )(λ − A )−1 f ˜ ˜ ˜ 2 1 Theo (2.10), cùng với. .. + 1) ( V 4 Z V + v(1 − v)ξ(ξ − ρ)∆ρ L2 + v(1 − v)ξ(1 − ξ) (∆ρ − ∆ξ) L2 U +C V 4 Z + V 4 Z 30 4 Z U −V +1 W L2 W U −V Z U W W Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann  Như vậy từ những đánh giá ở trên với U =  u   , V =  ρ [u(1 − u) χ(ρ)] − 4 Z ≤ C( U + V  v  ∈ W , ta suy ra ζ [v(1 − v) χ(ξ)] 4 Z + 1)[ U − V +( U W W + V W) . 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann. Nội dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình hiệu ứng biến. 16 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann. 24 2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Nghiệm. - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN