MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1) Diện tích tam giác 1 [ , ] 2 ABC S AB AC= uuur uuur 2) Diện tích hình bình hành ABCD [ , ] ABCD S AB AC= uuur uuur 3) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ . ' ' ' ' [ , ]. ' ABCD A B C D V AB AD AA= uuur uuur uuur 4) Thể tích khối tứ diện: 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD= uuur uuur uuur 5) Tọa độ hóa không gian : Bổ sung vào bài toán hệ trục tọa độ Oxyz như sau : Vì , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một nên nếu trong mô hình có chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. DẠNG 1. BÀI TOÁN ĐƯỢC CHO TRONG KHÔNG GIAN Oxyz Bài 1. Cho ba điểm A, B, C thỏa 2 , 3 , 2OA i j k OB i j k OC i j= + − = + + = + uuur r r r uuur r r r uuur r r a) CMR: A, B, C không thẳng hàng b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Giải a) Theo định nghĩa tọa độ điểm ta có: A(1;2;-1), B(3;1;1), C(2;1;0) (2; 1;2), (1; 1;1)AB AC= − = − uuur uuur Ta có: , (1;0; 1) 0AB AC   = − ≠   uuur uuur r ,AB AC⇒ uuur uuur không cùng phương ⇒ A, B, C không thẳng hàng. b) 2 2 2 1 1 2 , 1 0 ( 1) 2 2 2 ABC S AB AC   = = + + − =   uuur uuur (đvdt) c) 3, 3, 2AB AC BC= = = p = 3 3 2 2 2 AB AC BC+ + + + = 2 3 3 2 ABC ABC S S pr r p = ⇒ = = + + (đvđd) Bài 2. Cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;1;3), C(0;-2;-4), D(3;1;-2) a) CMR: A, B, C, D tạo thành một tứ diện b) Tính cos của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD. c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện kẻ từ A. Giải. a) (1;2;1), ( 1; 1; 6), , ( 11;5;1), (2;2; 4) , . 11.2 5.2 1.( 4) 16 0 AB AC AB AC AD AB AC AD = = − − −   = − = −     = − + + − = − ≠   uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur , ,AB AC AD⇒ uuur uuur uuur không đồng phẳng. Do đó: A, B, C, D tạo thành một tứ diện b) (1;2;1), (3;3;2)AB CD= = uuur uuur   ( ) AB. 3 6 2 4 cos( , ) cos , . 6 22 33 CD AB CD AB CD AB CD + + = = = = uuur uuur uuur uuur c)  1 16 8 , . 6 6 3 ABCD V AB AC AD   = = =   uuur uuur uuur (đvtt) ( 2; 3; 7), (1;0; 5)BC BD= − − − = − uuur uuur , (15; 17;3)BC BD   = −   uuur uuur  1 1 , 523 2 2 BCD S BC BD   = =   uuur uuur (đvdt) 3 1 16 . 3 523 ABCD ABCD BCD BCD V V AH S AH S = ⇒ = = Bài 3 . Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0) a) Viết phương trình mp ( ) α qua A , B , C. Đáp số : 12x+4y+3z-12=0 b) ( ) α cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P. Tính thể tích khối chóp OMNP. Viết phương trình mp(MNP). Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12 = 0 Bài 4 . Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Viết pt mp ( ) α qua 3 điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC. Đáp số : ( ) α : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3 2 ; V OABC = 3 2 Bài 5 . Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , 4OB i j k= + − uuuv v v v , C(2,4,3) , 2 2OD i j k= + − uuuv uuv v v 1/. Chứng minh : ; ;AB AC AC AD AD AB ⊥ ⊥ ⊥ . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Đáp số : V= 4/3 DẠNG 2. GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Bài 1:( Đề thi ĐHCĐ khối A-2007)  !"#$%&'( !)*+,!-%&).#/'&0.1 .*2'('3#$ !45"6"7%8%9:%&1#;.<) " "!=>; ?@A67BC !D 45E%&1#;.<)!5A1FEG$H)D ,E"EG"E$"EH-1I'3,E"E!"E6"E- =)D 3 ; ; ), (0; ;0), ( ; ;0) 4 2 4 2 2 3 ( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ;0), ( ;0;0), (0;0; ) 2 2 2 2 2 ( a a a a a N a P a a a a A B a C a D S a M − − − JD 1 , . 6 CMNP CM CN CPV   =   uuuur uuur uuur '3 2 2 3 , (0; ; ) 8 4 a a CM CN   =   uuuur uuur '& ( ; ;0) 4 2 a a CP = − uuur JK$D 3 3 96 CMNP a V = Bài 2:  !L LL!L#$%&'()"+LB=>;?@A !!LLBC !D 5).A%&," "!"L-)D    ( ; ;0); ' ( ; ; ); ' (0; ; )BD a a BD a a h BC a h= − = − = uuur uuuur uuuur &D DD' ' 1 . ' ' 6 B C BD BD BCV   =   uuur uuuur uuuur '3 . ' ( ; ;0)BD BD ah ah   =   uuur uuuur JK$D 2 DD' ' 6 B C ha V = Bài 3: ( Đề thi TS CĐSP Tây Ninh-2006) 1.*2,7-'( !)M)1#;.N<) O #9P2'('3.*2, !-=1+%Q$#;.)D 3 2 a SI =  )- =>;?!BC - =>RST#U,!-BC !D )- 45E%&1#;.<) V%&1#;.<)! 5).A%&D,EVE VEVE-  2 2 3 3 1 3 . ; . (0; ; ) 6 2 1 3 3 6 2 12 SACD SACD a SC SD SA SC SD a a a V V     = =     − ⇒ = = uuur uuur uur uuur uuur - 3 . ( 3;0; 1) ( ) : 3 0 2 a SA SD SAD x z   = − ⇒ − + =   uur uuur  ( ) 3 ( ) 2 a d C SAD⇒ → =  W . Thể tích khối tứ diện: 1 [ , ]. 6 ABCD V AB AC AD= uuur uuur uuur 5) Tọa độ hóa không gian : Bổ sung vào bài toán hệ trục tọa độ Oxyz như sau : Vì , , Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một