ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 10 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y  x  2x có đồ thị (C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Trên đồ thị  C  lấy hai điểm phân biệt a,b để hai tiếp tuyến  C  Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: Câu 3: (1 điểm) A, B A, B có hồnh độ a,b Tìm điều kiện song song với sin x  c o s x  sin x  c o s x   Tính tích phân: I    m in  ta n x , x  d x  Câu 4: (1 điểm) Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức phức z thỏa mãn     1 i z  biết số z 1  Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ có phương trình là: d1 : O xyz x  , cho tam giác y 1 3  z2 2 ABC với x  1 t  d2 :  y   z  1 t A  1;  1;1  hai đường trung tuyến Viết phương trình đường phân giác góc A Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S ABC D có đáy Hình chiếu vng góc đỉnh ABCD S hình bình hành thỏa mãn AB  2a , BC  a BD  a , lên mặt phẳng  A B C D  trọng tâm tam giác BCD Tính theo a thể tích khối chóp S A B C D , biết khoảng cách hai đường thẳng A C S B a Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O x y , cho tam giác A B C cân đỉnh C biết phương trình đường thẳng AB x y2  , trọng tâm tam giác Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015  14  G  ;   3 ABC diện tích tam giác ABC 65 13x  x  10  x  13 x  17  17 x  48 x  36  2 36 x  x  21  Câu 9: (1 điểm) Cho a , b , c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: a  2ab  b  b  3b c  c  a  2 ac  c HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Tập xác định: Ta có: D   x  y   x  x; y '     x  1 y ''  x  ; y ''(  1)  ; y ''( )  ; y ''(1)  Suy hàm số đạt cực tiểu x   x  hàm số đạt cực đại x  Hàm số nghịch biến khoảng (   ;  1) ( ;1) , hàm số đồng biến khoảng (  1; ) (1;   ) Tính giới hạn: lim y  lim    x   x   Bảng biến thiên: x -1   y' 0     +  y -1 -1 Đồ thị: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Ta có: y ' 4x  4x Hệ số góc tiếp tuyến  C  là: A, B k A  a  a; k B  4b  4b 3 Tiếp tuyến A có phương trình: y  y ' a   x  a   y  a   y  y ' a   y  a   ay ' a  Tiếp tuyến B có phương trình: y  y 'b   x  b   y b   y  y 'b   y b   by 'b  Hai tiếp tuyến  C  A song song trùng khi: B k A  k B  a  a  4b  4b  a  ba Vì , suy ra: a  ab  b   A B phân biệt nên Hai tiếp tuyến  C  a  b A  ab  b  1  2 trùng khi: B  a  2 2  a  ab  b    a  ab  b    b  1       a  b a  b  a  1   4  y  a   ay ' a   y b   by 'b   a  a   3b  b    b   Vậy điều kiện để hai tiếp tuyến  C  A B song song với là: a  ab  b    a   1; a  b  2 Nhận xét: Bài tốn địi hỏi kỹ biến đổi bản, nhiên, nhiều học sinh không điểm trọn vẹn quên không xét trường hợp tiếp tuyến trùng Tiếp tuyến điểm khác đồ thị trùng tính chất đặc biệt hàm bậc 4, tính chất khơng xuất hàm bậc 3, hay hàm phân thức bậc Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho hai đường thẳng d : y  a x  b ; d : y  a x  b , ta có: 1 2 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015  d1, d cắt  d1, d song song với  d1, d trùng  a1  a  a1  a    b1  b  a1  a    b1  b Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hàm số y  x  mx  m 1 qua hai điểm cố định Đáp số: có đồ thị , tìm A, B (C m ) Chứng minh để tiếp tuyến m m thay đổi  C m  ln vng góc với A, B 5  m   ;  2  2 Cho hàm số y   x  1  x  1 có đồ thị Cho điểm (C ) A  a;  , tìm để từ a A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C  Đáp số: 1  a   1 a  2 Câu 2: Phương trình tương đương với: s in x  c o s x  s in x c o s x  c o s x    sin x    c o s x   sin x   c o s x    sin x  1   co s x   co s x     sin x   c o s x      sin x    sin x      sin x   c o s x    sin x   1   s in x     c o s x  s in x    x    k 2 k  2  (Phương trình Vậy họ nghiệm phương trình là: x  co s x  sin x   k   k 2 Nhắc lại kiến thức phương pháp: Phương trình a sin x  b co s x  c có nghiệm Thật vậy: chọn góc cho a  a b 2 a cos a = c a + b  s in ( x + a ) = Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 2  2 )  b ; s in a = a + b s in x c o s a + c o s x s in a =  c vô nghiệm a + b , phương trình trở thành: c a + b Phương trình có nghiệm c  1 c  a b a b 2 2 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: 2  s in x  c o s x  c o s x   c o s x Đáp số: Phương trình vơ nghiệm Giải phương trình: Đáp số: c o s x   c o s x  s in x  s in x  c o s x s in x   k 2   x    k 2 ;  ,k  42     Câu 3: Xét hàm số Ta có: f x  f ' x   Mà ta có: tan x  x      ;  4    đoạn   0,  x  cos x      ;  f  4     x  hàm số đồng biến      ;  4       , nên suy ra: f m in  ta n x , x   ta n x , x      ;0        m in  ta n x , x   x ,  x  ;      Vậy: I    m in  ta n x , x  d x    m in  ta n x, x  dx     ta n x d x    xdx  ln c o s x    x 4     ln 32 2 Nhận xét: Bài tốn khơng khó, nhiên cách phát biểu thường gặp học sinh Cách giải hoàn toàn giống cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, xét khoảng khác biến số.Một điều vô thú vị hàm số m in hay m a x biểu diễn thơng qua hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.Cụ thể là: m in  a , b   ab  a b  m ax  a , b   ab  a b Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Tính tích phân: I   m in  x ,  x dx Đáp số: I  1  Tính tích phân: I    x x  m ax  e  cos x,  x   dx   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015  Đáp số:  I  1   e  Tính tích phân: I  m a x  ta n x  s in x , x  d x    Đáp số: 4 I   ln  Câu 4: Giả sử z  24  a  b i;   x  y i; a , b , x , y  Ta có: z 1   Lại có:   1 i z   a  1  b     x  yi   i   a  bi   x  a  b      y  3a  b   x    a  1  b     y    a  1  b  Do đó:  x    y  2   a  1  b     Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức có tâm  I 3;  bán kính R   mặt phẳng phức hình trịn  x    y   16 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn z z z i  k , k số thực dương cho trước Đáp số: Nếu k 1 tập hợp đường thẳng y    k I  0;   k 1 Nếu k 1 tập hợp đường trịn tâm bán kính k R  k Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z 1 thỏa mãn zi z 1  z i z 1 số ảo Đáp số: Tập hợp điểm cần tìm đường trịn   x   y  2  trừ điểm A   1;  Câu 5: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Nhận thấy Gọi Do A  d1, A  d trung điểm M ,N thuộc N nên giả sử nên tọa độ d2 AC , AB có dạng N trung tuyến kẻ từ đỉnh d1, d B,C N   t ; 0;1  t  Vì trung điểm N AB suy tọa độ B B   t ;1;1  t  Mà Do C M Mà thuộc B d1 thuộc t  Vậy tọa độ đỉnh B B  0;1;  nên tọa độ d1 có dạng M  s ;1  s ;  s  Vì M M trung điểm AC suy tọa độ C  s  1;  s ;  s  C thuộc d2 Khi ta có: Gọi , nên ta có: AD Ta có: , nên ta có: s  Vậy tọa độ đỉnh AB  6; AC  C  1; 0;1  đường phân giác góc A  2 DC  D  ; ; 1 1 1  DB   C Từ suy phương trình đường thẳng AD     là: x 1 1  y 1 2  z 1 Nhận xét: Bài toán giống toán hay gặp mặt phẳng, nhiên tương đối khó khăn phức tạp ta cố tình áp dụng phương pháp truyền thống mặt phẳng vào không gian Chúng ta cần sử dụng kỹ thuật nâng cao để giải Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho tam giác A B C có đường phân giác A D Theo tính chất đường phân giác, ta có: DB   AB D C AC Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong không gian với tọa độ đường d1 : x2 tam giác Đáp số: cao  AH y3 ABC  , z3 2 O xyz phương ;d2 : x 1 trình  y4 2  đường z3 ABC với tọa độ đỉnh phân giác C  3; 2;  BD Viết phương trình đường thẳng BC phương trình là: tính diện tích  x   2t  B C :  y   2t   z  S A B C  Trong không gian với hệ toạ độ thuộc mặt phẳng  P  : x  Đáp số: , cho tam giác   11  C  ;  4  O xyz y  z 1 ;   2  để , cho hai điểm ABC B   1; 4;  Tìm toạ độ điểm C tam giác   11  C  ;  4  Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 A  1; 2;  ;     Câu 6: Gọi hình chiếu vng góc H đáy ABCD Do trung tuyến AO lên mặt phẳng  A B C D  , S M  AD 3a AO  2a Lại có: BM ABD tâm O nên AO AB  2  BD  BC  CD   AB Mà AH  SH  AH   SH B   AO  a  3a  BM  a  BH  2a Kẻ H K  SB 3 HK  a Vì AH   SH B   AH  HB AH  4a 2  HB Ta có: BD  CD  AH  AO  trung điểm nên SH B , ta có: HK V S ABCD  S H S A B C D  S H S O A B   SH  HB với mặt phẳng  A B C D  Biết góc S H O A B H   a 21 ;d  4a a 77 SA o , BD SA AB  a , AD  2a hợp với  A B C D  góc 45 o SC a vng góc Tính thể tích khối 11 AB  a , AD  2a , BAD  60 o Cạnh M ,N,P hình chiếu vng góc A lên B C , D C , S C tương ứng Tính thể tích khối tứ theo , suy 2 Cho hình chóp S A B C D có đáy A B C D hình bình hành với S A  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi diện khoảng cách đường thẳng AM NP SB BAD  60 khoảng cách S ABC D Đáp số: V  SH  2a Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hình chóp S A B C D , đáy A B C D hình bình hành với chóp AC Trong tam giác vng Ta có: đơạn vng góc chung AH  HK  HK NP, AC Đáp án: V  5a 64 ;d  10a 2829 943 Câu 7: Gọi M trung điểm A B , suy ra: C M  A B Đường thẳng C M qua G vng góc với đường thẳng trình x  y   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 AB nên đường thẳng CM có phương Tọa độ M nghiệm hệ: Hay tọa độ M Lại có:  1  M  ;   2  C M  3G M Vì A Do  14  G  ;   3 , suy tọa độ thuộc đường thẳng x y2  trọng tâm tam giác Khi ta có: AB  Ta có: 65 S ABC   x   x  y       x y 3   y     2  5  65  a  , ta có:  a 5 , ta có: A  a;  a  B B 5  a; a  3 2a  a   65  2a     a  13 2a  A  0;  , B  5;   Với có dạng A Với nên tọa độ đỉnh ABC C  9;  nên tọa độ 2a   2a  5 A B C H  C A  5;   , B  0;  Giả sử phương trình đường trịn  C  ngoại tiếp Vì  C  qua A, B , C nên ta có hệ: là: ABC x  y  ax  2by  c  2 137  a    26 4b  c  4   59    10 a  6b  c  34   b   26   1 a  b  c   1  66  c  13  Vậy phương trình đường tròn  C  là: x  y  2 137 59 x 13 y 13 66  13 Nhận xét: Với tốn có xuất trọng tâm tam giác, ta cần vận dụng công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác để biểu diễn mối quan hệ tọa độ đỉnh tam giác, từ giảm số biến cần tìm xuống Nhắc lại kiến thức phương pháp: Cho BC có trọng tâm G ta có: x A  x B  xC  x   G    y  y A  y B  yC G   Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y , cho tam giác góc A có phương trình d :x 2y 5  Điểm ABC 1  G  ;  3  có đỉnh B   2;1  , đường phân giác trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng B C Đáp số: x  y   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oy E cho AE  2EB phương trình đường thẳng Đáp số: x  y   O xy , cho tam giác Biết tam giác BC có ABC AEC A  2;  cân A đường thẳng có trọng tâm AB cắt trục  13  G  2;    Viết Câu 8: Định hướng: Nhận thấy biểu thức vế trái hàm số đồng biến với x đủ lớn biểu thức vế phải hàm số nghịch biến với x đủ lớn Nếu sử dụng phương pháp khảo sát hàm số gặp phải biểu thức đạo hàm cồng kềnh Vậy nên ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đánh giá Lời giải: Ta có: P  13x  x  10  x  13 x  17  17 x  48 x  36 2 3x   1   x   2     2x     x        x  4x  6  2  3x   2x   x  3x   2x   x  6x   6x  Dấu xảy 3 x  Lại có: Q  36 x  x  21  1 x    x     x    2 Dấu xảy x  Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x  Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: 3x 1  x  x  x 2 x 1  2 Đáp số: x  x  4  1 Giải phương trình: Đáp số: 7 x x  1 2x  x  1 2x  x   x  1 2x  x  1 Giải phương trình: 3 x  2 x  Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10 Đáp số: x  Câu 9: Xét tứ giác có OABC O A  a; O B  b; O C  c; A O B  45 ; B O C  30 o o Áp dụng định lý hàm số cosin ta có: AB  a  2ab  b BC  b  3b c  c AC  a  2 2 2 ac  c , 2 cos 75  o Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: A B  B C  A C , nên ta suy điều phải chứng minh Dấy xảy A , B , C thẳng hàng S OAB  S OBC  S OAC   ab  bc  a b s in  b c s in 2 ac o o  a c s in  b  2 ac o c a Nhận xét: Bài tốn ví dụ cho tốn chứng minh bất đẳng thức phương pháp hình học Trong toán này, cần sử dụng linh hoạt cơng thức: phương trình đường trịn, phương trình đường thẳng, cơng thức tính khoảng cách, định lý hàm số cos, … Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn Chứng minh rằng:  1   a a  b 1  2a  b  c   b  d 2    Hướng dẫn: Xét điểm M  a , b  , N  c , d  ta có: N nằm đường tròn tâm Cho 35 x, y B  6;  bán kính số thực thỏa mãn 1  c d 2  36  12  c  d nằm đường tròn tâm M  A  1;1  bán kính R1  R1  x  0; y  0; x  y  2; x  y  Chứng minh rằng:  x  y  x  y  45 2 Hướng dẫn: Tập hợp điểm M  x ; y  thỏa mãn x, y điều kiện cho phần bên tứ giác với ABCD A  1;  ; B  0;  ; C  0;  ; D  9;  Dễ dàng chứng minh được:  MI  65 với điểm I có tọa độ I  2;  Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 11 ... 2 Đáp số: x  x  4  1 Giải phương trình: Đáp số: 7 x x  1 2x  x  1 2x  x   x  1 2x  x  1 Giải phương trình: 3 x  2 x  Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10 Đáp. .. tự để tự luyện: Tính tích phân: I   m in  x ,  x dx Đáp số: I  1  Tính tích phân: I    x x  m ax  e  cos x,  x   dx   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015  Đáp số:  I... thỏa mãn zi z 1  z i z 1 số ảo Đáp số: Tập hợp điểm cần tìm đường tròn   x   y  2  trừ điểm A   1;  Câu 5: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Nhận thấy Gọi Do A  d1,