Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Khái niệm về đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Các đồ thị Paley và biến thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c . . . . 18 2.1. Đồ thị n-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Đồ thị 2-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Đồ thị 3-e.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh . 31 3.1. Xây dựng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Xây dựng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Mở đầu Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học nghiên cứu về tính chất của các đồ thị, chiếm vị trí quan trọng về cả lý thuyết lẫn ứng dụng. Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh được nối với nhau bằng các cạnh. Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm và các điểm nối với nhau bằng các đoạn thẳng(các cạnh). Luận văn này đề cập tới việc xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt. Cụ thể ở đây chính là các đồ thị có tính chất n-e.c. Tính chất này được phát hiện và nghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd ˝ os và Re’nyi [16] và ngày càng nhận được sự quan tâm chú ý của các nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau. Nội dung chính của luận văn là tập trung làm rõ các tính chất của đồ thị n-e.c, sau đó xây dựng và phân loại các đồ thị n-e.c, cuối cùng nêu ra một số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c. Luận văn bao gồm ba chương.  Chương 1 : Giới thiệu về đồ thị n-e.c, các tính chất của đồ thị n-e.c và một vài dạng đồ thị n-e.c đã biết.  Chương 2: Xây dựng các đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện nhất định sau đó cụ thể hơn cho các lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị n-e.c với n ≥ 4.  Chương 3 : Nêu ra hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh, sau đó chứng minh các đồ thị sinh ra thỏa mãn tính chất kề n-e.c. 3 Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót khi trình bày. Em rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến xây dựng của thầy cô và các bạn đọc. Em xin chân thành cảm ơn! 4 Chương 1 Đồ thị n-e.c 1.1. Khái niệm về đồ thị n-e.c Trước khi đi vào khái niệm đồ thị n −e.c, chúng ta sẽ nhắc lại một vài kiến thức cơ bản của đồ thị. Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), thì V (hay V (G)) là tập đỉnh của đồ thị G và E (hay E(G)) là tập các cạnh của đồ thị. Tập đỉnh phải khác rỗng, còn tập cạnh có thể là tập rỗng. Số đỉnh của đồ thị gọi là cấp của đồ thị và ký hiệu là |V |. Số cạnh của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị và ký hiệu là |E|. Với x, y ∈ V , ta có {x, y} ∈ E hay xy là cạnh nếu x được nối với y và ta nói rằng x kề với y. Đồ thị G  là đồ thị con của đồ thị G nếu: V (G  ) ⊆ V (G) và {x, y} ∈ E(G  ) khi và chỉ khi {x, y} ∈ E(G). Một đồ thị ngẫu nhiên được tạo bởi một tập n đỉnh cho trước và thêm dần các cạnh một cách ngẫu nhiên. Trong khi nghiên cứu về đồ thị ngẫu nhiên, Erd ˝ os và Re’nyi [16] đã phát hiện ra tính chất kề và nghiên cứu về nó. Tính chất kề là tính chất tổng quát của một đồ thị và được phát biểu cho mọi tập S các đỉnh của một loại đồ thị cố định nào đó, có một đỉnh được nối vào một tập đỉnh S nào đó theo một cách nhất định. Tính chất kề mà được gọi là n-e.c nhận được rất nhiều sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết đồ thị, logic học, xác suất và hình học Định nghĩa 1.1.1. Một đồ thị là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của tập đỉnh V sao cho U ∩ W = ∅ và |U| + |W | = n (một trong hai tập U 5 hoặc W có thể là tập rỗng), thì có một đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W . Ví dụ 1: Đồ thị 1-e.c là một đồ thị không có đỉnh cô lập (tức là đỉnh không kề với bất cứ đỉnh nào) cũng không có đỉnh phổ quát (tức là đỉnh được nối với tất cả các đỉnh còn lại) (xem Hình 1.1). Ví dụ 2: Một đồ thị là 2-e.c nếu với mỗi cặp đỉnh riêng biệt u và w, có 4 đỉnh khác với u và w nối với chúng theo tất cả những cách có thể (xem Hình 1.2). Định nghĩa tính chất kề n-e.c khá rõ ràng nhưng từ định nghĩa lại không dễ để chỉ ra đồ thị tồn tại tính chất này. Tuy nhiên, theo chứng minh đầu tiên trong [16], hầu hết tất cả các đồ thị hữu hạn đều là n-e.c. Với một số nguyên m, không gian xác suất G(m, 1 2 ) bao gồm một đồ thị với tập đỉnh{0, , m −1} sao cho hai đỉnh riêng biệt được nối với nhau một cách độc lập với xác suất 1 2 . Định lý 1.1.1. ([3]) Cố định số nguyên n > 1. Với xác suất 1 khi m → ∞, G(m, 1 2 ) thỏa mãn tính chất n-e.c. Chứng minh. Cố định một tập S chứa n phần tử trong tập đỉnh V , và cố định hai tập con A và B rời nhau của S với A ∪ B = S. Cho z /∈ S, xác suất để z chỉ kề với một trong hai tập A và B là ( 1 2 ) n . Như vậy xác suất để z không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong hai tập A và B là 1 −( 1 2 ) n . Do đó, xác suất để các đỉnh thuộc G −(A ∪B) không thỏa mãn tính chất chỉ kề với một trong hai tập A và B là (1 −( 1 2 ) n ) m−n . Do có  m n  cách chọn S và 2 n cách chọn của A và B trong S nên xác suất để G(m, 1 2 ) không là n-e.c là  m n  .2 n .(1 −( 1 2 ) n ) m−n −−−→ m→∞ 0. 6 Định lý 1.1.1 cho thấy rằng có nhiều ví dụ về đồ thị n-e.c. Ta cũng có thể dễ dàng tổng quát hóa bằng cách thay 1 2 bằng một số thực p ∈ (0, 1) cố định nào đó. Điều đó cho thấy đồ thị n-e.c khá phổ biến. Nhưng thực tế thì cho đến những năm gần đây chỉ có duy nhất một họ đồ thị n-e.c được biết đến, đó là các đồ thị Paley. Nếu một đồ thị là n-e.c với ∀n thì đồ thị đó được gọi là e.c (chú ý rằng bất kỳ đồ thị e.c nào cũng là vô hạn). Bất cứ hai đồ thị e.c đếm được nào đó cũng đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu này có tên là đồ thị ngẫu nhiên vô hạn hoặc đồ thị Rado và được viết là R. Đồ thị R trở thành tiêu điểm của nhiều hoạt động nghiên cứu gần đây. Một ví dụ đáng chú ý về R, nếu một đồ thị hữu hạn G là n-e.c có thể được xem như phiên bản hữu hạn của R. Do đó, tính chất n-e.c là một độ đo tất định của tính ngẫu nhiên trong đồ thị. Hai khái niệm khác của tính ngẫu nhiên trong đồ thị được đưa ra và nghiên cứu một cách toàn diện là tính ngẫu nhiên chuẩn [12] và tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng chúng ta sẽ không thảo luận ở đây). Nhiều đồ thị trong số các đồ thị ở luận văn này thỏa mãn các tính chất này, ví dụ như đồ thị Paley. Tuy nhiên, các tính chất ngẫu nhiên này không nhất thiết biểu thị tính n-e.c. Ví dụ được cho trong [14] là ngẫu nhiên chuẩn nhưng không phải 4-e.c. 1.2. Một số tính chất cơ bản của đồ thị n-e.c Đầu tiên ta nhắc lại một số khái niệm trong đồ thị như sau. Định nghĩa 1.2.1. Phần bù của đồ thị G ký hiệu là ¯ G. Đó là một đồ thị với tập đỉnh là tập đỉnh của đồ thị G đồng thời nếu 2 đỉnh kề trong G thì không kề trong ¯ G và ngược lại. Định nghĩa 1.2.2. Sắc số của một đồ thị G là số màu tối thiểu cần dùng để tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau. Sắc số của đồ thị G kí hiệu là χ(G). 7 Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x là đồ thị con của G thu được bằng cách xóa đi điểm x. Đặt N(x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G)} và N c (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} /∈ E(G)}. Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu G  S là đồ thị cảm sinh của G trên S, tức là với x, y ∈ S thì {x, y} ∈ E(S) khi và chỉ khi {x, y} ∈ E(G). Với N(S) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G), x ∈ S}, thì N(S) = ∪ x∈S N(x) Định nghĩa 1.2.3. Chỉ số clique của đồ thị G là số đỉnh lớn nhất của tập U ( U là tập con của tập đỉnh V ) thỏa mãn tính chất: Với mỗi cặp đỉnh thuộc U luôn tồn tại một cạnh của G nối chúng. Chỉ số clique của đồ thị G được ký hiệu là ω(G). Nếu một đồ thị G có tính chất n-e.c, thì G chứa các tính chất cấu trúc khác được tổng hợp trong hai định lý dưới đây. Định lý 1.2.1. Cố định một số nguyên dương n, và cho G là một đồ thị n-e.c. (1) Đồ thị G là m-e.c, với ∀m, 1 ≤ m ≤ n − 1. (2) Đồ thị G có cấp ít nhất là n + 2 n , và có ít nhất n.2 n−1 cạnh. (3) Đồ thị ¯ G là n-e.c. (4) χ(G) ≥ n + 1, ω(G) ≥ n + 1. (5) Nếu S ⊆ V (G) thì |N(S)| ≥ |S|. Chứng minh. (1) Với ∀m, 1 ≤ m ≤ n −1, xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ thị G sao cho U ∩W = ∅ và |U| + |W | = m. Lấy tập A ⊃ U và B ⊃ W sao cho A ∩B = ∅ và |A|+ |B| = n. Do G là n-e.c nên khi đó có một đỉnh v ∈ V − (A ∪B) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của A và không kề với đỉnh nào của B. Khi đó hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) và v kề với tất cả các đỉnh của U nhưng không kề với đỉnh nào của W . Theo định nghĩa thì G là m-e.c với ∀m, 1 ≤ m ≤ n −1. (2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n). Theo chứng minh của Định lý 1.1.1, ta có xác suất để G không là n-e.c là 8  m n  .2 n .(1 −( 1 2 ) n ) m−n Do G là n-e.c nên  m n  .2 n .(1 −( 1 2 ) n ) m−n < 1. Theo bất đẳng thức Becnuli ta có (1 −( 1 2 ) n ) m−n ≥ 1 − (m −n)( 1 2 ) n . Hơn nữa  m n  ≥ 1, nên ta có 2 n .(1 −(m −n)( 1 2 ) n ) < 1 Điều đó tương đương với m > n + 2 n − 1 hay nói cách khác m ≥ n + 2 n . Vậy G có cấp ít nhất là n + 2 n . Giả sử S là một tập con chứa n đỉnh. U, W là cặp tập con của S của đồ thị sao cho U ∩W = ∅ , U ∪W = S và |U| ≥ n 2 ≥ |W |. Do G là n-e.c nên có một đỉnh v ∈ V −(U ∪W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W, và cũng tồn tại một đỉnh w ∈ V −(U ∪W) sao cho w kề với tất cả các đỉnh của W và không kề với đỉnh nào của U. Khi đó ta có |U| cạnh nối v với các đỉnh trong U và |W | cạnh nối w với các đỉnh trong W . Như vậy với mỗi cặp tập con ta chỉ ra được ít nhất là |U| + |W | = n cạnh khác nhau. Giả sử U 1 , W 1 là một cặp tập con khác cũng thỏa mãn U 1 ∩ W 1 = ∅ , U 1 ∪ W 1 = S và |U 1 | ≥ n 2 ≥ |W 1 |. Khi đó cũng tồn tại 2 đỉnh v 1 , w 1 ∈ V − (U 1 ∪ W 1 ) sao cho v 1 kề với tất cả các đỉnh của U 1 và không kề với đỉnh nào của W 1 còn w 1 thì ngược lại. Do U = U 1 và |U|, |U 1 | ≥ n 2 nên tồn tại x ∈ U 1 ∩ W mà v không kề với W còn v 1 kề với U 1 nên v = v 1 . Lập luận tương tự ta cũng có w = w 1 và hiển nhiên v = w 1 , w = v 1 . Như vậy với cặp tập con U 1 , W 1 ta cũng chỉ ra ít nhất |U 1 |+ |W 2 | = n cạnh khác nhau và khác n cạnh ứng với cặp tập con U, W. Do có 2 n−1 cặp tập con của S nên đồ thị G có ít nhất n.2 n−1 cạnh. (3) Do G là n-e.c nếu với mọi cặp tập con U, W của tập đỉnh V của đồ thị sao cho U ∩W = ∅ và |U|+|W | = n, khi đó có một đỉnh v ∈ V −(U ∪W ) 9 sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W . Khi đó trong ¯ G thì v không kề với đỉnh nào của U và kề với tất cả các đỉnh của W . Do đó, ¯ G cũng là n-e.c. (4) Chọn U gồm n điểm và W là tập rỗng. Do G là n-e.c nên tồn tại v ∈ V − (U ∪ W ) sao cho v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với đỉnh nào của W . Phải tô màu υ và các đỉnh trong U bởi các màu khác nhau nên cần n + 1 màu. Vậy χ(G) ≥ n + 1. Chọn U 1 = {u 1 } và W 1 là tập gồm n − 1 đỉnh. Do G là n-e.c nên tồn tại u 2 ∈ V − (U 1 ∪ W 1 ) sao cho u 2 kề với u 1 . Chọn U 2 = {u 1 , u 2 } và W 2 là tập gồm n − 2 đỉnh. Khi đó cũng tồn tại u 3 ∈ V − (U 2 ∪ W 2 ) sao cho u 3 kề với U 2 = {u 1 , u 2 }. Chọn U 3 = {u 1 , u 2 , u 3 } khi đó U 3 có các đỉnh đôi một kề nhau. Tiếp tục quá trình trên ta sẽ thu được tập U n+1 = {u 1 , u 2 , u 3 , , u n+1 } gồm n + 1 đỉnh đôi một kề nhau. Như vậy ω(G) ≥ n + 1. (5) Chọn x ∈ S. Do G là n − e.c nên tồn tại đỉnh z x kề với x và không kề với các đỉnh khác của S. Ta có z x ∈ N(S). Hơn nữa, với x = x  thì z x = z x  . Từ đó ta suy ra |N(S) ≥ |S|. Định lý 1.2.2. Nếu n > 1, thì với mỗi đỉnh x của G ta có các đồ thị G −x, G  N(x) và G  N c (x) là đồ thị (n − 1)-e.c. Chứng minh. Với x ∈ V (G), xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V (G  N c (x)) sao cho U ∩W = ∅ và |U|+ |W | = n −1. Khi đó (U + x) ∩W = ∅ và |U + x|+ |W | = n. Do G là n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G) −(U + x ∪W ) kề với tất cả các đỉnh trong U + x và không kề với đỉnh nào trong W . Khi đó υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W . Như vậy G  N c (x) là (n − 1)-e.c (đồ thị G − x chứng minh hoàn toàn tương tự). Đối với đồ thị G  N(x), ta cũng xét cặp tập con U, W của tập đỉnh V (G  N(x)) sao cho U ∩W = ∅ và |U|+ |W | = n −1. Khi đó U ∩(W + x) = ∅ 10 và |U|+|W + x| = n. Do G là n-e.c nên tồn tại υ ∈ V (G)−(U ∪(W +x)) kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W + x. Khi đó, υ kề với tất cả các đỉnh trong U và không kề với đỉnh nào trong W . Như vậy G  N(x) là (n − 1)-e.c. Hệ quả 1.2.1. Với m ec (n) là cấp nhỏ nhất của một đồ thị n-e.c thì m ec (n) ≥ 2.m ec (n −1) + 1 với n > 1. Chứng minh. Giả sử G là đồ thị n-e.c có cấp nhỏ nhất m ec (n). Với ký hiệu N(x) và N c (x) như ở định lý trên, ta xét hai trường hợp sau: • Nếu |N(x)| ≤ m ec (n)−1 2 . Theo Định lý 1.2.2, G  N(x) là (n − 1)-e.c nên m ec (n −1) ≤ m ec (n)−1 2 . Từ đó ta có m ec (n) ≥ 2.m ec (n −1) + 1. • Nếu |N(x)| ≥ m ec (n)−1 2 . Do |N(x)|+ |N c (x)|+ 1 = |G| = m ec (n) nên |N c (x)| ≤ m ec (n)− m ec (n)−1 2 −1 ( giá trị 1 ở đây là điểm x). Cũng theo Định lý 1.2.2 thì G  N c (x) là (n −1)-e.c nên m ec (n −1) ≤ m ec (n)−1 2 . Từ đó ta có điều cần chứng minh. Dễ dàng để chỉ ra rằng m ec (1) = 4. Có chính xác ba đồ thị 1-e.c cấp 4 không đẳng cấu là: 2K 2 , C 4 và P 4 ( xem Hình 1.1). Hình 1.1: Đồ thị 1-e.c với cấp nhỏ nhất Theo Hệ quả 1.2.1, m ec (2) ≥ 2.m ec (1) + 1 = 9. Với hai đồ thị G và H, tích Descartes của G và H (ký hiệu là GH) có tập đỉnh V (G) × V (G) và các cạnh {(a, b); (c, d)} ∈ E(GH) nếu và chỉ nếu {a, c} ∈ E(G) và b = d hoặc a = c và {b, d} ∈ E(G). 11 [...]... 3 Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Như đã biết thì hầu hết các đồ thị n-e.c đều là đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Vì vậy trong chương này thay vì xây dựng các đồ thị n-e.c chúng ta đi xây dựng các đồ thị ngẫu nhiên chính quy mạnh Sau đó chúng ta sẽ chứng minh các đồ thị này có tính chất kề n-e.c Hai xây dựng đề cập trong luận văn này đều xây dựng trên cấu trúc affine Cho v và λ là hai số. .. có đỉnh cô lập cũng không có đỉnh phổ quát Trong chương này chúng ta sẽ tập trung xây dựng các đồ thị n -e.c sau đó sẽ phân loại và tìm hiểu cụ thể hơn các lớp đồ thị: 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị n-e.c với n ≥ 4 2.1 Đồ thị n-e.c Đầu tiên, ta đi xây dựng đồ thị n-e.c bằng cách sử dụng hình học hữu hạn Cố định hai số nguyên dương v, λ và cố định k sao cho 2 ≤ k < v Một cấu trúc khối cân bằng khuyết cấp... nghĩa về đồ thị Paley chúng ta có khái niệm về đồ thị chính quy như sau Định nghĩa 1.3.1 Đồ thị chính quy là một đồ thị trong đó mỗi đỉnh có số đỉnh kề bằng nhau, nghĩa là các đỉnh có bậc bằng nhau Một đồ thị chính quy với các đỉnh có bậc bằng k được gọi là đồ thị chính quy bậc k hay đồ thị k -chính quy Định nghĩa 1.3.2 Một đồ thị G là k - chính quy với v đỉnh, sao cho mỗi cặp đỉnh nối với nhau có chính... n, phải có một đỉnh v kề với tất cả các đỉnh của U và không kề với bất cứ đỉnh nào của W Do đó cần có một lớp song song Lij sao cho U và W được chứa trong hai khối rời nhau của Lij Để đảm bảo điều kiện đó thỏa mãn cấu trúc của chúng ta sẽ là cấu trúc Hadamard được xây dựng từ giải đấu Paley Một giải đấu là một đồ thị có hướng không có vòng lặp và đồ thị của nó là đồ thị đầy đủ Giả sử q là số nguyên... đương với σi,j (lij (v)) = lij (ω)) 2 −1 2 −1 Xây dựng 2 cho chúng ta đồ thị SRG((q + 1)2 , q(q+1) , q 4 , q 4 ) 2 i∈I q+1 Bổ đề 3.2.1 ([17]) Xây dựng 2 cho ra ít nhất 2( 2 )(1− (q)) đồ thị không đẳng cấu Chứng minh Lập luận như trong Nhận xét ở Xây dựng 1 ta có số đồ thị q+1 sinh ra từ Xây dựng 2 là 2( 2 ) (q!)q+1 Để chặn số đồ thị G đẳng cấu với ˜ đồ thị cụ thể G, chúng ta xét cách chọn đỉnh như... hơn ta có: Định lý 2.2.2 ([15]) Một đồ thị giao-khối của một BIBD(v, k, 1) với k ≥ 3 là 2-e.c nếu và chỉ nếu v ≥ k 2 + k − 1 2.3 Đồ thị 3-e.c Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa ra một xây dựng đồ thị 3-e.c bằng cách sử dụng khái niệm góc một phần tư của không gian Euclid hữu hạn Zd p Giả sử rằng p là số nguyên tố lẻ và Zp = {0, 1, , p − 1} là trường nguyên tố với p phần tử Chúng ta sẽ xây dựng một đồ thị 3-e.c... chung, và mỗi cặp đỉnh không 13 nối với nhau có chính xác µ đỉnh kề chung thì được gọi là đồ thị chính quy mạnh, và ký hiệu G là SRG(v, k, λ, µ) Hầu hết các đồ thị n-e.c mà chúng ta biết là đồ thị chính quy mạnh Họ đồ thị đầu tiên được phát hiện ra chứa các đồ thị n-e.c với ∀n là các đồ thị Paley Các đồ thị Paley được định nghĩa trên trường hữu hạn, và chúng 1 thỏa mãn nhiều tính chất của đồ thị ngẫu... tạo thành một lớp song song: một tập gồm n khối rời nhau phân chia tất cả các điểm của cấu trúc Định nghĩa s = r−1 n−1 Số các lớp song song là p = n2 s + n + 1 và mỗi khối trong lớp song song chứa k = nr = n2 s − ns + n điểm 31 3.1 Xây dựng 1 Xây dựng này xuất hiện lần đầu tiên trong [22] và được mô tả trong [11] bởi Fon-Der-Flaass Cho S1 , , Sp+1 là các cấu trúc affine tùy ý với thông số (n, r, s);... 4 và 1 1 2n.22n < (8n2 28n ) < q 4 4 Do đó, |f (S)| > 0 và vì vậy tồn tại w ∈ Fq S kề với mọi đỉnh thuộc U = {u1 , u2 , , un1 } và không kề với bất cứ đỉnh nào thuộc W = {v1 , v2 , , vn2 } mà U ∩ W = ∅ và |U | + |W | = n1 + n2 = n Vậy P ∗ (q) là n-e.c theo định nghĩa 17 Chương 2 Xây dựng và phân loại một số đồ thị n-e.c Như đã mô tả ở phần đầu của Chương 1, ta đã biết đồ thị 1-e.c là đồ thị không có. .. chúng ta ước lượng xác suất để không có đỉnh nào của PU kề với một trong hai tập X và Y Giả sử rằng |X| = m và |Y | = n − m Nếu x, y là hai điểm phân biệt của U thì với z ∈ PU luôn có tính chất là zx và zy có hệ số góc phân biệt (do (1)) Hơn nữa zx là cạnh của G nếu và chỉ nếu πz (x) ∈ S Do đó, xác suất để một đỉnh z không kề với một trong hai tập X và Y là một hằng số dương pn = 1 − pm (1 − pn−m ) Từ . của đồ thị n-e.c, sau đó xây dựng và phân loại các đồ thị n-e.c, cuối cùng nêu ra một số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c. Luận văn bao gồm ba chương.  Chương 1 : Giới thiệu về đồ thị n-e.c,. của đồ thị n-e.c và một vài dạng đồ thị n-e.c đã biết.  Chương 2: Xây dựng các đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện nhất định sau đó cụ thể hơn cho các lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c và các đồ thị n-e.c. loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt. Cụ thể ở đây chính là các đồ thị có tính chất n-e.c. Tính chất này được phát hiện và nghiên cứu bởi hai nhà khoa học Erd ˝ os và Re’nyi [16] và ngày