Đang tải... (xem toàn văn)
Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn
Lời Cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn PGS. TS. Trần Vui đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong q trình làm khố luận. Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn trường ĐHSP Huế đã tận tình giảng dạy và chỉ bảo tơi trong suốt 4 năm học vừa qua. Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trường THPT Hai Bà Trưng (đặc biệt là tổ Tốn) đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tơi tiến hành thực nghiệm sư phạm phục vụ cho khố luận. Nhân dịp này, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên để tơi n tâm học tập và hồn thành khố luận này. Huế, tháng 5 năm 2008 Sinh viên Bùi Thị Đức MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU 5 I. Lý do chọn đề tài .5 II. Mục đích nghiên cứu 6 III. Đối tượng nghiên cứu 6 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 6 V. Phương pháp nghiên cứu .6 CHƯƠNG 1 8 CƠ SỞ LÝ LUẬN 8 1. Tư duy toán học .8 1.1. Các mức độ của tư duy toán học .8 1.2. Nhiệm vụ của dạy học môn Toán .11 2. Phương pháp giải quyết vấn đề .12 2.1. Giới thiệu về phương pháp GQVĐ 12 2.2. Các phương án GQVĐ cơ bản 14 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán .15 3.2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán 20 3.3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán 23 3.4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật 27 Dãy số tam giác 28 CHƯƠNG 2 35 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG 35 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .35 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày .35 2 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán .38 2.1. Tìm quy luật của một dãy số 38 2.2. Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học 45 2.3. Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật 54 2.4. Bài toán tính tổng 56 2.5. Một số bài toán khác 58 CHƯƠNG 3 61 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm .61 1.1. Mục đích .61 1.2. Ý nghĩa 61 2. Quá trình thực nghiệm 61 2.1. Phương pháp thực nghiệm 61 2.2. Nội dung thực nghiệm 62 2.3. Thu thập dữ liệu .62 3. Kết quả phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh .65 4. Kết luận sư phạm .72 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .75 3 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GQVĐ : Giải quyết vấn đề HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông 4 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Một trong những bất cập lớn nhất của giáo dục Việt Nam hiện nay là chất lượng đào tạo thấp, thiên về lý thuyết, thiếu thực tế và tính sáng tạo. Dạy học theo kiểu áp đặt, truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh, khiến các em có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật toán bất di bất dịch, sẽ không còn chổ cho những ý tưởng mới, hay ít ra là cũng không có cơ hội để những học sinh bình thường đưa ra những suy nghĩ, cách nhìn mới của bản thân, sáng tạo mới có lẽ chỉ dành cho những thiên tài như Isacc Newton … Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống (lối truyền thụ tri thức áp đặt, một chiều từ người dạy đến người học, người học tiếp thu một cách thụ động theo phương thức tái hiện) đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Đây là phương pháp dạy học mà chúng ta đang rất quan tâm. Tìm kiếm quy luật là một phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán học (art of maths). Nhiều lần, một nhà khoa học đã tiến hành các quan sát, khám phá ra các quy luật và thiết lập các kết luận khoa học. Nhiều lần, các em học sinh (HS) đã tìm tòi, khám phá ra các quy luật, giải được các bài tập không quen thuộc. Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy của các em đã được rèn luyện và phát triển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để dạy cho HS. 5 Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tim kiếm quy luật, để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong giải toán. Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình. II. Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật, vai trò và hiệu quả của nó trong GQVĐ; • Nghiên cứu sự phát triển tư duy toán của học sinh thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán. III. Đối tượng nghiên cứu • Các tài liệu liên quan đến đề tài, SGK THPT; • Các hoạt động thiết kế phục vụ cho việc tìm quy luật; • HS và GV ở trường THPT. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu cơ sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán; • Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ; • Nghiên cứu về khó khăn và thuận lợi của HS trong việc tìm quy luật khi giải toán; • Vận dụng cơ sở lý luận vào tìm quy luật để giải một số bài toán. V. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận • Nghiên cứu nội dung và lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán; • Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán. 6 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn • Thực hành giảng dạy; • Điều tra, phỏng vấn, thu thập ý kiến; • Nghiên cứu hoạt động. VI. Cấu trúc khoá luận Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận 1. Tư duy toán học 2. Phương pháp giải quyết vấn đề 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hằng ngày 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 2. Quá trình thực nghiệm 3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm 4. Kết luận sư phạm Kết luận 7 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Polya (1887 - 1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục. Đặc biệt là những nghiên cứu của ông tập trung nhiều vào phương pháp và các bước để giải quyết bài toán. Polya đã cho rằng Euler là nhà Toán học vĩ đại nhất trong những nhà Toán học bởi vì Euler luôn giải thích bằng cách nào ông tìm ra kết quả. Polya cũng thường nói với học sinh mình rằng: “Tôi biết chứng minh của em là hoàn toàn đúng nhưng hãy giải thích cho tôi bằng cách nào em đã tìm ra nó”. Điều này chứng tỏ Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi học sinh có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà học sinh đó đưa ra. Tìm kiếm một quy luật là một con đường hiệu quả để HS tiếp cận, giải quyết một bài toán. Một số người còn gọi đó là nghệ thuật của Toán học. Đây là một phương án được quan tâm hàng đầu trong các phương án của GQVĐ. Vậy hiệu quả của phương án này như thế nào? Chúng ta tiến hành tìm quy luật như thế nào? Thông qua quá trình tìm kiếm quy luật phát triển tư duy toán của học sinh như thế nào? Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu và lần lượt trả lời những câu hỏi này. Trước hết chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề về tư duy toán và nhiệm vụ phát triển tư duy toán của dạy học môn Toán hiện nay. 1. Tư duy toán học 1.1. Các mức độ của tư duy toán học Hiện thực xung quanh có rất nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu thấu những cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra được cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy. Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức ý nghĩ con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ nóng hổi nhất của giai đoạn lịch sử đó. 8 Tư duy được nảy sinh khi trong hoạt động thực tiễn xuất hiện một mục đích mới, một vấn đề mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động quen thuộc không đủ để giải quyết (những hoàn cảnh (tình huống) như thế gọi là hoàn cảnh có vấn đề). Thuật ngữ tư duy dùng để chỉ khả năng của HS để đạt đến một kết luận có cơ sở từ những dữ liệu đã cho. HS phải đặt giả thuyết, những tính chất trừu tượng từ những mối liên hệ trong những tình huống có vấn đề, sau đó đi đến kết luận và lý giải các kết quả đạt được. Những kết luận này sẽ được tổng hợp để hình thành những ý tưởng mới. Chúng ta cần phân biệt hai thuật ngữ “suy luận” và “tư duy”. Suy luận được xem là một bộ phận của tư duy, nó nằm trên mức độ kiến thức hay nhắc lại. Các khối tư duy toán học được xếp theo mức độ từ thấp đến cao như hình vẽ dưới đây: Chúng ta chia tư duy thành bốn thành phần chính: nhắc lại, hiểu, phê phán, sáng tạo. Giữa các mức độ tư duy có sự tương tác qua lại, mỗi mức độ tư duy sử dụng rộng rãi những kỹ năng bên dưới nó. Ngay trong những mức độ của tư duy bậc cao cũng đã có sự tương tác qua lại rất lớn giữa tư duy phê phán và tư duy sáng tạo. 9 Suy luận Bậc cao Sáng tạo Phê phán Hiểu Nhắc lại • Nhắc lại: bản chất dường như là tự động và phản xạ. Những phép tính nhẩm, những công thức, những định lý, những thuật toán, … mà học sinh đã được học sẽ được học sinh thu nhận và nỗ lực một cách có nhận thức để chuyển vào bộ nhớ. Việc gọi lại một sự kiện cơ bản hoặc thể hiện một thuật toán gọi là tư duy nhắc lại. Khu vực gọi ra được mở rộng một cách thường xuyên khi cá nhân xúc tiến quá trình học tập của mình. • Hiểu: đây là loại tư duy cơ bản, gồm việc hiểu các khái niệm toán và nhận ra sự áp dụng của chúng vào giải toán, vào thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: Ta có khái niệm: “Trung bình điều hoà của hai số là nghịch đảo của trung bình cộng của hai nghịch đảo của hai số đã cho”. Từ khái niệm này HS hiểu rằng trung bình điều hoà của hai số a và b là ba ab ba h + = + = 2 2 11 1 Và nhận ra sự áp dụng của công thức này là để tính vận tốc trung bình của hai vận tốc trên cùng một đoạn đường. Xét các vận tốc 1 v , 2 v tương ứng với các thời gian 1 t , 2 t trên cùng một đoạn đường s. Khi đó vận tốc trung bình trên toàn bộ các đoạn đường đi được là: 2121 21 11 222 vvv s v s s tt s + = + = + . Đó chính là trung bình điều hoà. • Phê phán: là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả mọi khía cạnh của tình huống hoặc bài toán. Các kỹ năng của tư duy phê phán bao gồm: - tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn; - thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán; - nhớ và kết hợp với thông tin đã học. Bản chất của tư duy phê phán là phân tích và phản ánh. Đây là loại tư duy đóng vai trò quan trọng trong giải toán của người học, giúp người học đọc hiểu được bài toán. 10 [...]... nhiều dạng: quy luật của các số, quy luật của hình học, quy luật của từ ngữ, vv … Như chúng ta đã nói tìm kiếm quy luật là một bài toán thách thức khả năng tư duy của chúng ta Đòi hỏi chúng ta phải biết phân tích, so sánh, đối chiếu, suy đoán, … Chúng ta phải có trực giác, sự trải nghiệm, … tức chúng ta phải có tư duy và ở đây quan trọng là tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và tư duy giải quy t vấn... quy luật, chúng ta sẽ phân tích quá trình tìm kiếm để thấy được hiệu quả của phương án này trong GQVĐ và thấy được sự phát triển tư duy thông qua việc tìm kiếm quy luật Hơn nữa, qua đây chúng ta tích luỹ thêm kinh nghiệm của việc sử dụng phương án này nói riêng và kinh nghiệm giải toán nói chung 3 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Có những bài toán thiết lập bởi một quá trình lặp đi lặp... việc tiến hành giải quy t vấn đề bằng phương án tìm kiếm một quy luật Chúng ta cũng lưu ý rằng, đối với mỗi bài toán có thể sử dụng nhiều mô hình tư ng ứng với nhiều cách giải khác nhau Do đó, chúng ta cần tìm kiếm những mô hình mới, không nên gò bó theo một khuôn mẫu đã định sẵn 34 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUY T VẤN ĐỀ 1 Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quy t các vấn đề... Thật sự thì cũng không có một quy trình nào thật cụ thể cho quá trình tìm kiếm quy luật Quy luật từ trên trời rơi xuống” và chúng ta phải đi tìm Tuy nhiên, chúng ta có thể đưa ra ở đây một số cách mà chúng ta thường làm để tìm 16 kiếm một quy luật ẩn chứa trong bài toán 3.1 .Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất Nhiều bài toán khi xuất phát giải ta không biết bắt đầu... tạo: là tư duy có tính khởi đầu, hiệu quả và sản sinh ra một sản phẩm phức tạp Tư duy sáng tạo có tính phát minh, trực giác và tư ng tư ng Các kỹ năng của tư duy sáng tạo bao gồm: - tổng hợp các ý tư ng; - tổng quát các ý tư ng; - áp dụng các ý tư ng 1.2 Nhiệm vụ của dạy học môn Toán Chúng ta đang đổi mới cách dạy học toán từ thụ động một chiều sang dạy học tích cực hoá nhằm phát triển tư duy toán học... nằm đâu đó, chúng ta hãy đi tìm kiếm bất biến đó Một cách suy luận tư ng tự như thế chúng ta có thể giải quy t được nhiều bài toán khác Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trong quan sát, sự nhảy cảm dự đoán và kiểm tra của chúng ta Từ những kinh nghiệm đã trải qua trong tính toán và các bài toán tư ng tự, từ khả năng liên hệ bài toán tư ng tự với điều kiện mới,... khám phá bài toán Nếu một cách tiếp cận mà không dẫn đến đâu, đừng thất vọng, hãy tìm một ý tư ng mới Hãy nhìn lại bài toán theo nhiều khía cạnh sẽ có phong phú ý tư ng thay thế Mỗi cách tiếp cận là một ý tư ng để khám phá bài toán Tư duy sáng tạo được đánh dấu bởi những tiếp cận để giải quy t bài toán mang tính tư ng tư ng và phân kỳ Ở thời điểm đầu thì số lượng, sự phong phú của tư duy là quan trọng... trình toán Các phương án GQVĐ: Suy luận lôgic Tìm quy luật Làm ngược Nhìn theo một cách khác Tổng quát hóa Phương án GQVĐ Chứng minh bằng phản chứng Xét trường hợp đặc biệt Liệt kê khả năng có thể Đoán và thử thông minh Minh họa bằng hình vẽ Trong mười phương án này, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu phương án tìm kiếm quy luật Thông qua việc giải một số bài toán bằng phương án tìm kiếm một 14 quy luật, ... phương pháp toán học khác nhau một cách có hiệu quả để giải quy t các bài toán không quen thuộc trước đó” Phát triển và rèn luyện cho HS những kỹ năng suy luận và GQVĐ sẽ là nhiệm vụ chính mà các GV toán phải thường xuyên thực hiện trong lớp học toán Tóm lại, dạy có hiệu quả là dạy như thế nào để làm cho HS hiểu thế nào là Toán học và có tư duy toán học để phát triển 2 Phương pháp giải quy t vấn đề... sống Thông qua dạy học GQVĐ, giáo viên sẽ dạy học sinh suy luận Những chương trình toán thí điểm hiện nay chú trọng đến những nhu cầu dạy những kỹ năng tư duy bậc cao” bao gồm tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học theo phương pháp giải quy t vấn đề và khảo sát toán học Chúng ta dạy cho HS biết con đường mà kiến thức toán được thiết lập, chứ không chỉ là nội dung của các kiến thức toán . lý luận về phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán; • Phân tích sự phát triển tư duy toán thông qua việc tìm quy luật khi giải toán. 6 2. Phương. sở lý luận của sự phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán; • Nghiên cứu vị trí của phương án tìm kiếm quy luật trong GQVĐ; •