Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT 1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b]. *) Nếu [ ] ( ) 0, ;f x x a b≥ ∀ ∈ thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có [ ] [ ] ; ; min ( ) ( ); max ( ) ( ) x a b x a b f x f a f x f b ∈ ∈ = = *) Nếu [ ] ( ) 0, ;f x x a b≤ ∀ ∈ thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có [ ] [ ] ; ; min ( ) ( ); max ( ) ( ) x a b x a b f x f b f x f a ∈ ∈ = = 2. Định lý 2: ( Định lý Fermart) Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của [ ] 0 ;x a b∈ và có đạo hàm tại điểm 0 x . Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại 0 x thì 0 ( ) 0f x ′ = . 3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị) Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và 0 x . Trong một lân cận đủ bé ε của 0 x , nếu 0 ( )f x ′ thay đổi dấu khi x qua 0 x (có thể không tồn tại 0 ( )f x ′ ) thì f(x) đạt cực trị tại 0 x . *) Nếu [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ < ∀ ∈ − và [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ > ∀ ∈ + thì 0 x là điểm cực tiểu. *) Nếu [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ > ∀ ∈ − và [ ] 0 0 ( ) 0, ;f x x x x ε ′ < ∀ ∈ + thì 0 x là điểm cực đại. 4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và [ ] 0 ;x a b∈ . Trong một lân cận đủ bé ε của 0 x , hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ ≠ thì 0 x là một điểm cực trị của hàm số. *) Nếu 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ > thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số. *) Nếu 0 ( ) 0f x ′ = và ( ) 0f x ′′ < thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số. Phạm Văn Dũng 1 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1. Bất đẳng thức một biến số 1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997) Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số sin sin ( ) 1 sin sin x A x B f x x C x C − − = + − − − . Giải: Ta có sin sin sin (1)A B C a b c A B C> > ⇔ > > ⇔ > > . Hàm số xác định khi và chỉ khi ) sin 0 sin sin (* sin sin 0 sin x A x C x C x B x A x C           − ≥ < − ⇔ − > ≥ − Ta có sin sin sin sin sin sin ( ) . . 2 2 sin sin 2( sin ) 2( sin ) A C x C B C x C f x x A x B x C x C − − − − ′ = + − − − − . Do (1) nên ( ) 0,f x x ′ > ∀ thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên x −∞ sinC sinA +∞ f’(x) f(x) +∞ 1 1 f(sinA) Vậy sin sin min ( ) (sin ) 1 sin sin A B f x f A A C − = = − − . Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình sin sin sinx A x B x C− + − = − có đúng một nghiệm vì trên [ ) sin ;A +∞ . Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì 0 < sinA – sinB < sinA – sinC). Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có 1 1 2 n n n n n n n n + + − < . Giải: Đặt ( ) * 0;1 , n n x n N n = ∈ ∀ ∈ . BĐT cần chứng minh trở thành Phạm Văn Dũng 2 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ( ) 1 1 2, 0;1 n n x x x+ + − < ∀ ∈ . Xét hàm số ( ) 1 1 n n f x x x= + + − liên tục [ ) 0;1x∈ có ( ) 1 1 1 '( ) 0, 0;1 1 1 (1 ) (1 ) f x x n n nn n x x    ÷  ÷  ÷   = − < ∀ ∈ − − + − Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2, ( ) 0;1x∀ ∈ (đpcm). Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997) Cho n là số lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi 0x ≠ ta có 2 2 3 1 1 1 2! ! 2! 3! ! n n x x x x x x x n n     ÷ ÷  ÷ ÷    + + + + − + − + + < . Giải: Đặt 2 ( ) 1 2! ! 2 3 ( ) 1 2! 3! ! n x x u x x n n x x x v x x n        = + + + + = − + − + + Ta cần chứng minh ( ) ( ). ( ) 1f x u x v x= < . Ta có ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2! ( 1)! ! 2 3 1 ( ) 1 2! 3! ( 1)! ! v x n n x x x u x x u x n n n n x x x x v x x n n   =    + = − −   − = + + + + − − − = − + − + + − Vậy [ ] [ ] ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! 2 4 1 2 1 ! 2! 4! ( 1)! f x u x v x u x v x u x v x n n n x x x u x v x u x v x u x v x n n n n n x x x x n n                     ′ ′ ′ ′ = = + = − + − − = − + − = − + + + + − Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên ( )f x ′ cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ y’ + 0 - Y 1 Từ bảng biến thiên ta có .( ) (0) 1, 0f x f x< = ∀ ≠ (đpcm) Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học) Phạm Văn Dũng 3 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 . 1 2 . n x x n e − < với mọi ( ) 0;1x∈ . Giải: Ta có 2 1 1 . 1 (1 ) (*) 2 2 . n n x x x x ne n e − < ⇔ − < Xét hàm số 2 ( ) (1 ) n f x x x= − với ( ) 0;1x∈ . Ta có [ ] 2 1 ( ) 2 (2 1) n f x x n n x − ′ = − + Nên ta có bảng biến thiên x 0 2 2 1 n n + 1 f’(x) + 0 - f(x) Vậy 2 2 1 (0;1) (2 ) ax ( ) (2 1) n n n m g x n + = + . Ta chứng minh 2 1 2 2 1 (2 ) 1 2 1 (2 1) 2 2 1 n n n n n n ne n e + +   < ⇔ <  ÷ + +   [ ] 2 1 2 1 (2 1) ln(2 1) ln(2 ) 1 2 n n e n n n n + +   ⇔ > ⇔ + + − >  ÷   1 ln(2 1) ln(2 ) (2) 2 1 n n n ⇔ + − > + Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số ( ) lnf x x= trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại [ ] 2 ;2 1c n n∈ + thuộc sao cho (2 1) (2 ) ( ) 2 1 2 f n f n f x n n + − ′ = + − . Suy ra 1 1 ln(2 1) ln(2 ) (3) 2 1 n n e n + − = > + . Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng với mọi 0; 2 x π   ∈     ta có 2 2 4 4 sinx x x π π ≤ − . Bài 2: Chứng minh rằng nếu x > 0 và mọi số nguyên dương n ta có Phạm Văn Dũng 4 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2 3 1 2! 3! ! n x x x x e x n > + + + + + . Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 1 2ln 2 (2 1) n k k k = < − ∑ . HD: Xét hàm số 2 3 2 1 2 ( ) ln(1 ) 2 3 2 1 2 n n x x x x f x x x n n −   = + − − + − + +  ÷ −   trên [ ) 0;+∞ . Hàm số đồng biến trên [ ) 0;+∞ suy ra ( ) (0)f x f> , đpcm. Bài 4: Cho x > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 x x e x x +     + < < +  ÷  ÷     . Bài 5: (ĐH Bách khoa, 1980) Chứng minh rằng 3 2 3 sin 2 x x x − < với 0; 2 x π   ∈  ÷   . Bài 6: Tìm GTLN của hàm số 4 4 ( ) 1 1f x x x x x= + − + + − với [ ] 0;1x∈ . 1.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu Trong một số bài toán có thể phải đạo hàm nhiều lần liên tiếp thậm chí phải khảo sát thêm hàm số phụ. Ta thường sử dụng • f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a. • f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi 0x > ta có 3 sinx 6 x x x− < < . Giải: Xét hàm số 3 ( ) sinx 6 x f x x += − + trên [ ) 0;+∞ . Ta có 2 ( ) 1 cos 2 ( ) sinx ( ) 1 cos x f x x f x x f x x ′ = − + ′′ = − ′′′ = − Ta có [ ) ( ) 1 cos 0, 0; ( ) (0) 0f x x x f x f ′′′ ′′ ′′ = − ≥ ∀ ∈ +∞ ⇒ ≥ = , nên f’(x) đồng biến trên [ ) 0;+∞ . Suy ra ( ) (0) 0 ( )f x f f x ′ ′ ≥ = ⇒ đồng biến trên [ ) 0;+∞ . Do đó ( ) (0) 0, 0f x f x≥ = ∀ ≥ và ( ) (0) 0, 0.f x f x> = ∀ > Tức là 3 3 sinx>0 sinx 6 6 x x x x− + <⇔ − với x > 0 (1) Lưu ý ( ) (0) 0f x f ′′ ′′ > = với x > 0 ta có sinx x< (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm. Phạm Văn Dũng 5 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Bài toán 6: Tìm GTNN của hàm số 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + + − + . Giải: TXĐ: R. Xét hàm số 2 2 ( ) 1 1f x x x x x= + + + − + trên R. Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) 1 3 1 3 1 3 1 3 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 2 2 x x x x f x x x x x g x g x + − + − ′ = + = +         + + − + + + − +  ÷  ÷  ÷  ÷             = + + −  ÷  ÷     với mọi x, trong đó 2 ( ) , . 3 4 t g t t R t = ∈ + Vì hàm g đồng biến trên R nên ( ) 0 0 1 1 ( ) 0 0 2 2 f x x f x g x g x x ′ = ⇔ =     ′ > ⇔ + > − ⇔ >  ÷  ÷     Ta có bảng biến thiên x −∞ 0 +∞ f’(x) - 0 + f(x) +∞ +∞ 2 Từ bảng biến thiên suy ra min ( ) 2 0f x x= ⇔ = . Bài toán 7: Cho a, b, x > 0 và a b≠ . Chứng minh rằng b x b a x a b x b + +     >  ÷  ÷ +     Giải: Xét hàm số ( ) , 0. b x a x f x x b x + +   = ≥  ÷ +   Khi đó ( ) ln ( ) ln a x f x b x b x +   = +  ÷ +   . Suy ra [ ] ln ( ) ( )ln a x f x b x b x ′ +   ′ = +   +   Phạm Văn Dũng 6 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức ( ) ln ( ) . ln ( ) f x a x b x a x a x b a b x f x b x a x b x b x a x ′ ′ + + + + −   ⇔ = + + = +  ÷ + + + + +   ( ) ( ) ln ln . ( ) b x b x a x b a f x f x b x a x a x a x b a a x g x b x b x a x b x + + + −   ′ ⇒ = + =  ÷ + +   + + − +       = + =  ÷  ÷  ÷ + + + +       trong đó ( ) ln a x b a g x b x a x + − = + + + . Ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) . 0. ( ) ( ) ( ) ( ) b x b a a b a b g x a x b x a x a x b x + − − − ′ = + = − < + + + + + Do đó g(x) nghịch biến trên ( ) 0;+∞ . Suy ra ( ) lim ( ) lim ln 0 x x a x b a g x g x b x a x →∞ →∞ + −   > = + =  ÷ + +   . Vậy ( ) 0, 0f x x ′ > ∀ > , nên f(x) đồng biến trên ( ) 0;+∞ . Suy ra f(x) > f(0) (đpcm). Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 2 , 0;1 x x x x x x e − − + > ∀ ∈ . HD: Xét hàm số ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) . (1 ) , 0;1 x x x x x x x x x f x x x x x x x x x − − − − − = + = + = + ∀ ∈ . Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có 3 3 5 sinx 3! 3! 5! x x x x x− < < − + . Bài 3: Chứng minh rằng với mọi x ta có 2 2 17 os 4cos 6 os 2cos 3 2 11c x x c x x≤ + + + − + ≤ + . Bài 4: Tìm tập giá trị của hàm số 2 2 ( ) 2 4 2 4f x x x x x= + + − − + . 1.3 Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy- Schwarz, BĐT Chebyshes,… Bài toán 8: Chứng minh rằng nếu 0 2 x π ≤ < thì sinx t anx 1 2 2 2 x+ + ≥ . Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có sinx t anx sinx t anx 2 2 2. 2 .2+ ≥ . Ta chứng minh sinx tanx 1 sinx t anx 2 2 2 .2 2 2 2 sinx tanx 2 x x x + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ . Phạm Văn Dũng 7 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Xét hàm số ( ) sinx tanx 2f x x= + − liên tục trên 0; 2 π       , có 2 2 2 1 1 ( ) cos 2 cos 2 0, 0; os os 2 f x x x x c x c x π   ′ = + − > + − ≥ ∀ ∈     . (vì với 0; 2 x π   ∈     thì 2 cos osx c x> và theo BĐT AM-GM ta có 2 2 1 cos 2 os x c x + ≥ ) Do đó f(x) đồng biến trên 0; 2 π       . Suy ra ( ) (0) 0f x f≥ = , hay sinx tanx 2x+ ≥ với mọi 0; 2 x π   ∈     (đpcm). Bài toán 9: (Olympic 30 - 4 - 1999) Chứng minh rằng 3 sinx cos , 0; 2 x x x π     > ∀ ∈  ÷  ÷     . Giải: Ta biến đổi 3 3 2 3 3 sinx sin cos cos sin .tan - x 0 (1) x x x x x x x   > ⇔ > ⇔ >  ÷   . Xét hàm số 2 3 ( ) sin .tan - f x x x x= với 0; 2 x π   ∈     . Ta có ( ) 2 2 2 2sin tan 3f x x x x ′ = + − . Áp dụng BĐT ( ) 2 2 2 2 3( )a b c a b c+ + ≥ + + ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin sin tan 3 2sin tan 3 3 f x x x x x x x x ′ = + + − ≥ + − . Đặt ( ) 2sin tan 3 , 0; 2 g x x x x x π   = + − ∈ ÷    , thì ( ) 2 3 2 2 2 1 1 1 2cos 3 cos cos 3 3 cos . 3 0 cos cos cos g x x x x x x x x ′ = + − = + + − ≥ − = với mọi 0; 2 x π   ∈ ÷    , nên g(x) đồng biến trên 0; 2 π   ÷    . Suy ra ( ) ( ) 0 0, 0; 2 g x g x π   ≥ = ∀ ∈ ÷    . Do đó ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 3 f x x x ′ ≥ − = nên f(x) đồng biến trên 0; 2 π       . Suy ra ( ) ( ) 0 0, 0; 2 f x f x π   > = ∀ ∈     . Phạm Văn Dũng 8 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Nhận xét: Khi trong BĐT có chứa các loại hàm số khác nhau ta thường cô lập mỗi loại hàm số để dễ xét dấu của đạo hàm, hoặc ta có thể đạo hàm liên tiếp để khử bớt một loại hàm số như trong bài toán 5. Cách 2: Theo bài 5 ta có 3 sinx 6 x x <− , suy ra ( ) 3 3 2 2 4 6 2 4 sin 1 1 1 2 6 2 12 216 2 24 x x x x x x x x     > − = − + − > − +  ÷  ÷     Ta chứng minh được ( ) 2 4 cos 1 2 2 24 x x x < − + Từ (1) và (2) ta có đpcm. Bài toán 10: Cho [ ] , 0;1a b∈ . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1, 0;1 1 1 1 x b a f x x a b x a b x a x b = + + + − − − ≤ ∀ ∈ + + + + + + . Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 2 0, 0;1 1 1 b a f x a b a b x a x b b a f x x a x b ′ = − − − − − + + + + + + ′′ = + ≥ ∀∈ + + + + Nên hàm số f’(x) đồng biến trên [0; 1], suy ra phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên (0; 1). • Nếu phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm thì f(x) đơn điệu trên [0; 1], thì ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0;1 ax ax 0 ; 1 .f x m f x m f f≤ = Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a a b a b ab a b f a b a b a b a b + + + + + + = + + − − = ≤ = + + + + + + ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 a b a b f a b b a a b b a a b = + + ≤ + + = + + + + + + + + + + Suy ra ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0;1 ax ax 0 ; 1 1f x m f x m f f≤ = ≤ • Nếu phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất 0 x x= . Khi đó do f’(x) đồng biến trên [0; 1], nên ( ) [ ] 0 0, 0;f x x x ′ < ∀ ∈ và ( ) [ ] 0 0, ;1f x x x ′ > ∀ ∈ . Do đó 0 x là điểm cực tiểu của hàm số, mà f(x) liên tục trên [0; 1] nên ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) { } 0;1 ax ax 0 ; 1 1f x m f x m f f≤ = ≤ . Từ hai trường hợp ta có đpcm. Bài toán 11: (VMO – 2003, Bảng B) Phạm Văn Dũng 9 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) cot sin 2 cos2 , 0;f x x x x π = + ∀ ∈ . Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 sin . cosg x f x f x = trên R. Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cot sin 2 cos2 , 0; 2cot cot 1 cot 2cot 1 cot , 0; cot 1 cot 1 cot 1 f x x x x x x x x f x x x x x π π = + ∀ ∈ − + − ⇔ = + = ∀ ∈ + + + Từ đó với chú ý rằng với mỗi t R∈ đều tồn tại ( ) 0;x π ∈ sao cho cot x = t ta được ( ) 2 2 2 1 , 1 t t f t t R t + − = ∀ ∈ + . Dẫn tới ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 4 2 sin 2 32sin 2 32 sin . cos , (1) sin 2 8sin 2 32 x x g x f x f x x R x x + − = = ∀ ∈ − + . Đặt 2 1 sin 2 4 u x= . Dễ thấy Khi x chạy qua R thì u chạy qua 1 0; 4       . Vì vậy từ (1) ta được 1 0; 4 min ( ) min ( ) x R g x h u ∈       = và 1 0; 4 max ( ) max ( ) x R g x h u ∈       = trong đó ( ) 2 2 8 2 2 2 u u h u u u + − = − + . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 4 6 2 2 u u h u u u − + + ′ = − + . Dễ dàng chứng minh được ( ) 1 0, 0; 4 h u u   ′ > ∀ ∈     . Suy ra hàm h(u) đồng biến trên 1 0; 4       . Vì vậy trên 1 0; 4       ta có ( ) ( ) min 0 1h u h= = − và ( ) 1 1 max 4 25 h u h   = =  ÷   . Vậy ( ) min 1g x = − , đạt được chẳng hạn khi x = 0 và ( ) 1 max 25 g x = , đạt được chẳng hạn khi 4 x π = . Bài luyện tập Bài 1: Chứng minh rằng 3 2 sin tan 2 4 2 2 , 0; 2 x x x x π +   + ≥ ∀ ∈ ÷    . 2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Phạm Văn Dũng 10 [...].. .Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quan trọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó 2.1 Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng Bài toán 12: Chứng minh rằng a) b) x +1 x − x +1 2 ≤ 2, ∀x x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z 2 − z + 1 ≥ 3, ∀x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Giải: a) Xét hàm số... 4) c2 c2 − 3 −1 3 5c ( c 2 + 5 ) Xét hàm số f ( c ) = với c ≥ 3 3 c2 − 3 Ta được f ( c ) ≥ 12 3 Dấu bằng xảy ra khi c = 3 3 Suy ra P ≥ 12 3 2 21 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Đẳng thức xảy ra khi u = v = s = 3 , tức là a = 1 3 3 ,b = 3 Vậy min P = 12 3 Bài luyện tập Bài 1: Cho các số dương a, b, c với a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng 1 1 1 3 ( a + b + c ) +... x = = x0 > 0 x x x B n ⇒ x0 ≤ xn+1 Tại x0 , hàm f đạt cực tiểu vì vậy Do A ≤ nxn +1; B ≥ xn+1 f ′( x ) = 31 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 2  A  B  f ( x ) ≥ f ( x0 ) =  + A ÷ + B ÷ = AB + 1  B  A  Theo giả thiết AB ≥ g ( n; k ) và đẳng thức xảy ra được nên ( ) g ( n + 1; k ) ≥ ( g ( n; k ) + 1) 2 Đẳng thức xảy ra tại ( x1, x2 , , xn , xn+1 ) = x1 +... Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Nhân các BĐT trên ta được 5 ≤ a ≤ 5 5 −1 Từ 3 x 4 + y 4 + z 4 ( a − 16 ) − 112 suy ra = 44 128 9 383 − 165 5 min P = và max P = 128 256  1+ 5 1+ 5  , Đạt được khi (x, y, z) là các hoán vị của (2, 1, 1) và  3 − 5, ÷ 2 2   2 Bài luyện tập Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh rằng Bài 2: Chứng minh rằng... Bài toán 14: (ĐH Quốc gia Hà Nội, 2000) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c ( ) Giải: Xét hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 2 x − 2 x ln 2 trên R Ta có f ′ ( x ) = 3.( 2 x ) ln 2 − 2 x.ln 2 − 2ln 2 = ( 2 x − 1) ( 3.2 x + 2 ) ln 2 2 và f ′( x ) = 0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 0 12 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Ta có bảng biến thiên −∞ +∞ x f’(x) f(x) 0 - +∞ +∞... quả phần a) và b) ta có 28 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 9 P ( x, y, z ) =  + ÷+ 2  + ÷ ≤ 4 + 2 = 13 2 x y  y z 2 1 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = , y = , z = 3 2 5 Vậy maxP = 13 Bài toán 32: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12 Tìm GTNN của biểu thức P ( a , b, c ) = Giải: Đặt x = 1 2 3... Hãy tìm GTLN của biểu thức P ( x, y , z ) = xyz + 2 27 8 Bài 5: (USAMO, 1980) 30 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng a b c + + + ( 1 − a) ( 1 − b) ( 1 − c) ≤ 1 b + c +1 c + a +1 a + b +1 Bài 6: Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Tìm GTLN của biểu thức P = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a + b + c) 3 Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế... − x ) ( 1 − y ) ( 1 − z ) Chứng minh rằng 17 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 3 x2 + y 2 + z 2 ≥ 4 Giải: Ta có xyz = 1 − ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) − xyz ⇔ xy + yz + zx = 2 xyz − 1 + ( x + y + z ) Mà ( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ⇔ x 2 + y 2 + z 2 = 2 − 2 ( x + y + z ) + ( x + y + z ) − 4 xyz 2 3 x+ y+z Áp dụng BĐT AM-GM ta có xyz ≤... b) Áp dụng câu a ta có x +1 x2 − x + 1 ≤ 2, ∀x ⇔ x 2 − x + 1 ≥ 1 ( x + 1) 2 (1) Tương tự ta có 1 ( y + 1) 2 1 z 2 − z + 1 ≥ ( z + 1) 2 y2 − y + 1 ≥ ( 2) ( 3) Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có x2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z 2 − z + 1 ≥ 11 1 ( 3 + x + y + z ) ≥ 3 (đpcm) 2 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Trong một số bài toán ta có thể nhìn thấy ngay hàm đặc... có ( 1) 2 tan x 2x − > 0; ∀x ∈ ( 0;1) cos x cos 2 x 2 2 Suy ra g ( b ) > g ( 0 ) = 0 ⇒ tan b − tan b > 0 ( 2 ) g′( x ) = Từ (1) và (2) suy ra đpcm 22 Phạm Văn Dũng Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Bài toán 28: Chứng minh rằng 2 ( x3 + y 3 + z 3 ) − ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≤ 3, ∀x, y , z ∈ [ 0;1] Giải: BĐT đã cho tương đương với f ( x ) = 2 x 3 − yx 2 − z 2 x + 2 ( y 3 + z 3 ) . Dũng 1 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 1. Bất. Dũng 8 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Nhận xét: Khi trong BĐT có chứa các loại hàm số khác nhau ta thường cô lập mỗi loại hàm số để dễ xét dấu của đạo hàm, hoặc ta có thể đạo hàm. 1: Chứng minh rằng 3 2 sin tan 2 4 2 2 , 0; 2 x x x x π +   + ≥ ∀ ∈ ÷    . 2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Phạm Văn Dũng 10 Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Để