Đang tải... (xem toàn văn)
các bài toán biên phí tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng( vật lý. hóa học, cơ học, kỹ thuật...) rất phong phú và đa dạng. đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu
74 Chương 3 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF – CARRIER 3.1. Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng ),,,,,())(( 2 0 txxxxtt uuutxfuuBbu =+− ,0 ),1,0( Ttx <<=Ω∈ (3.1.1) ,0),1(),0( == tutu (3.1.2) ),( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t == (3.1.3) trong đó 0 0 >b là hằng số cho trước, fB, là các hàm cho trước và )( 2 x uB phụ thuộc vào tích phân .),( 2 2 ∫ Ω ∂ ∂ = dxtx x u u x (3.1.4) Phương tình (3.1.1) là phương trình được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi như đã được trình bày trong phần mở đầu. Đầu tiên, chúng tôi kết hợp bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với một dãy quy nạp tuyến tính bò chận trong một không gian hàm thích hợp. Sự tồn tại nghiệm đòa phương được chứng minh bằng phương pháp compact thông dụng. Trường hợp ,1 0 = b 0≡B và điều kiện biên Dirichlet thuần nhất thay bởi điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả trong [9]. Tuy nhiên, kết quả ở trong chương nầy cũng không dùng đến giả thiết ),),0[( 30 IRC t f ×∞×Ω∈ ∂ ∂ tức là không sử dụng đến điều kiện 75 ).),0[( 31 IRCf ×∞×Ω∈ Nếu ),( 2 + ∈ IRCB ),( 1 1 + ∈ IRCB )),0[( 32 IRCf ×∞×Ω∈ và ),),0[( 31 1 IRCf ×∞×Ω∈ chúng tôi chứng minh rằng nghiệm của phương trình xxxxtt uuBuBbu )]()([ 2 1 2 0 ε ++− ),,,,,(),,,,( 1 txtx uuutxfuuutxf ε += liên kết với (3.1.2), (3.1.3) có một khai triển tiệm cận đến cấp hai theo ε khi ε đủ bé. Kết quả của chương này đã được công bố trong [D1]. 3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Chúng tôi thành lập các giả thiết sau )( 1 H , ~ , ~ 1 01 21 00 HuHHu ∈∩∈ )( 2 H ,0 0 >b )( 3 H ,0),( 1 ≥∈ + BIRCB )( 4 H )),0[( 30 IRCf ×∞×Ω∈ thỏa mãn )( / 4 H ,0,t ,0)0,,0,,1()0,,0,,0( IRvvtfvtf ∈∀≥∀== )( // 4 H ).),0[(,,, 30 IRC u f u f u f x f tx ×∞×Ω∈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Cho ,0,0 >> TM ta đặt ,),,,,(sup),,( 00 tx uuutxffTMKK == (3.2.1) ),,,,,)(sup(),,( //// 11 txwvux uuutxfffffTMKK +++== (3.2.2) trong đó sup được lấy trên miền . ,0 ,10 MwvuTtx ≤++≤≤≤≤ ),(sup),( ~~ 2 0 00 sBBMKK Ms ≤≤ == (3.2.3) .)(sup),( ~ ),( ~~ / 0 / 011 2 sBBMKBMKK Ms ≤≤ === (3.2.4) Với mỗi 0>M và ,0>T ta đặt ),(),;,0(:);,0({),( 21 0 21 0 Tttt QLvHTLvHHTLvTMW ∈∈∩∈= ∞∞ },,, )();,0();,0( 21 0 21 0 MvMvMv T QL tt HTL t HHTL ≤≤≤ ∞∞ ∩ (3.2.5) )},;,0(:),({),( 2 1 LTLvTMWvTMW tt ∞ ∈∈= (3.2.6) 76 với ).,0( TQ T ×Ω= Bây giờ ta sẽ xây dựng dãy quy nạp }{ m u theo lược đồ như sau. Ta chọn số hạng đầu . ~ 00 uu = Giả sử rằng ).,( 11 TMWu m ∈ − (3.2.7) Ta liên kết bài toán (3.1.1) – (3.1.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm ),( 1 TMWu m ∈ thỏa mãn bài toán ,),(,))((),( 0 〉〈=〉∇〈∇++〉〈 vtFvutBbvtu mmmm && 1 0 Hv ∈∀ (3.2.8) , ~ )0( , ~ )0( 10 uuuu mm == & (3.2.9) ở đây ),)(()( 2 1 tuBtB mm − ∇= (3.2.10) )).(),(),(,,()( 111 tutututxftF mmmm −−− ∇= & (3.2.11) Khi đó ta có đònh lý sau: Đònh lý 3.1. G iả sử )()( 41 HH − đúng . Khi đó tồn tại các hằng số dương TM, và một dãy quy nạp tuyến tính ),(}{ 1 TMWu m ⊂ đònh nghóa bởi (3.2.8) – (3.2.11). Chứng minh. Chứng minh được chia làm hai bước. Bước 1: Xấp xỉ Galerkin . Ta chọn một cơ sở đặc biệt của 1 0 H gồm các hàm riêng j w của toán tử : 22 x ∂∂−=Δ− , jjj ww λ =Δ− . 21 0 HHw j ∩∈ (3.2.12) Đặt ,)()( 1 )()( ∑ = = k j j k mj k m wtctu (3.2.13) trong đó )( )( tc k mj thỏa mãn hệ phương trình ,),(),())((),( )( 0 )( 〉〈=〉∇〈∇++〉〈 jmj k mmj k m wtFwtutBbwtu && ,1 kj ≤≤ (3.2.14) 77 , ~ )0( , ~ )0( 1 )( 0 )( k k mk k m uuuu == & (3.2.15) với , trong ~~ 21 000 HHuu k ∩→ mạnh, (3.2.16) , trong ~~ 1 11 Huu k → mạnh. (3.2.17) Ta giả sử rằng 1 − m u thỏa mãn (3.2.7). Khi đó hệ (3.2.14), (3.2.15) có duy nhất nghiệm )( )( tu k m trên .0 )( TTt k m ≤≤≤ Đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép lấy , )( TT k m = với mọi m và . k Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm . Nhân (3.2.14) với )( )( tc k mj & sau đó lấy tổng theo j ta có .)(),()())(( 2 1 )( 2 1 )( 2 )( 0 2 )( 〉〈=∇++ tutFtu dt d tBbtu dt d k mm k mm k m && (3.2.18) Thay j j j ww Δ − = λ 1 vào (3.2.14), sau đó nhân với )( )( tc k mj & và lấy tổng theo j ta được .)(),( )())(( 2 1 )( 2 1 )( 2 )( 0 2 )( 〉∇〈∇= Δ++∇ tutF tu dt d tBbtu dt d k mm k mm k m & & (3.2.19) Đặt ,)()()()( 0 2 )()()()( ∫ ++= t k m k m k m k m dssutqtptS && (3.2.20) với ,)())(()()( 2 )( 0 2 )()( tutBbtutp k mm k m k m ∇++= & (3.2.21) .)())(()()( 2 )( 0 2 )()( tutBbtutq k mm k m k m Δ++∇= & (3.2.22) Tích phân (3.2.18), (3.2.19) theo , t ta suy ra rằng 78 .)( )(),(2)(),(2 )()()()0()0()( 0 2 )( 0 )( 0 )( 0 2 )( 2 )(/)()()( ∫ ∫∫ ∫ + 〉∇〈∇+〉〈+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ+∇++= t k m t k mm t k mm t k m k mm k m k m k m dssu dssusFdssusF dssususBqptS && && (3.2.23) Tiếp theo ta sẽ đánh giá các tích phân ở vế phải của (3.2.23). • Tích phân thứ nhất : .)( ~ )()()( 0 )( 0 1 0 2 )( 2 )(/ ∫∫ ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ+∇ t k m t k m k mm dssS b K dssususB (3.2.24) • Tích phân thứ hai : Từ (3.2.1) và (3.2.7) ta có .)(2 )()(2)(),(2 0 )( 0 0 )( 0 )( ∫ ∫∫ ≤ ≤〉〈 t k m t k mm t k mm dsspK dssusFdssusF && (3.2.25) • Tích phân thứ ba : Ta suy ra từ (3.2.2) và (3.2.7) rằng: ).31(4)( 22 1 2 MKsF m +≤∇ (3.2.26) Vì vậy, từ (3.2.22) và (3.2.26) ta thu được .)(314 )())(()()),((2 0 )(2 1 0 )( 0 )( ∫ ∫∫ +≤ ∇∇≤〉∇〈∇ t k m t k mm t k mm dssqMK dssusFdssusF && (3.2.27) • Tích phân thứ tư : Phương trình (3.2.14) có thể viết lại như sau ,),(),())((),( )( 0 )( 〉〈=〉Δ〈+−〉〈 jmj k mmj k m wtFwtutBbwtu && .1 kj ≤≤ (3.2.28) Nhân (3.2.28) với ),( )( tc k mj && lấy tổng theo j ta có 79 .)()()()())(()( )()()( 0 2 )( tutFtusutBbtu k mm k m k mm k m &&&&&& +Δ+≤ Ta thu được sau khi lấy tích phân t .)(2)())((2)( 0 2 0 2 )(2 0 0 2 )( ∫∫∫ +Δ+≤ t m t k mm t k m dssFdssusBbdssu && (3.2.29) Từ (3.2.1), (3.2.3), (3.2.21) và (3.2.29) ta rút ra .2)() ~ (2)( 2 0 0 )(2 00 0 2 )( TKdssqKbdssu t k m t k m ++≤ ∫∫ && (3.2.30) Kết hợp (3.2.23) – (3.2.25), (3.2.27) và (3.2.30) ta có ,)(),(),()0()0( 0 21 ∫ +++≤ t (k) m (k) m (k) m (k) m dssSTMCTMCqp(t)S (3.2.31) với ),31(43),( 22 1 2 01 MTKTKTMC ++= (3.2.32) . ~ ) ~ (21)( 0 1 2 002 b K KbMC +++= (3.2.33) Bây giờ ta cần đánh giá ).0()0( )()( k m k m qp + Ta có ). ~~ ))( ~ (( ~~ )0()0( 2 0 2 0 2 00 2 1 2 1 )()( kkk kk k m k m uuuBb uuqp Δ+∇∇++ ∇+=+ (3.2.34) Dựa vào (3.2.7), (3.2.10), (3.2.16), (3.2.17) và (3.2.34) ta suy ra tồn tại một hằng số ,0>M độc lập với k và ,m sao cho , 2 )0()0( 2 )()( M qp k m k m ≤+ với mọi k và .m (3.2.35) Lưu ý rằng, với giả thiết ),( 4 H ta có .1,0 ,0),,(lim 0 == + → ifTMKT i T (3.2.36) Khi đó, từ (3.2.32), (3.2.33), (3.2.36) ta luôn luôn chọn được một hằng số ,0 > T sao cho 80 ,)),( 2 ( 2 1 2 2 MeTMC M TC ≤+ (3.2.37) và .1) ~ (2) 1 1( ] ~ ) 1 1([ 1 2 1 0 1 2 0 1 <++= ++ KM b KT T eKMKT b k (3.2.38) Cuối cùng ta có từ (3.2.31), (3.2.35), (3.2.37) .0 ,)()()( )( 0 )( 2 )( 2)( 2 TTtdssSMCeMtS k m t k m MTC k m ≤≤≤+≤ ∫ − (3.2.39) Sử dụng bổ đề Gronwall ta suy ra từ (3.2.39) ,0 ,)( 2 )()( 2)( 22 TtMeeMtS tMCMTC k m ≤≤≤≤ − (3.2.40) nghóa là . )(k m TT = Vì thế ta có ),,( )( TMWu k m ∈ với mọi .,km (3.2.41) Từ (3.2.41) ta rút ra một dãy con của }{ )(k m u vẫn gọi là }{ )(k m u sao cho ),;,0( trong 21 0 )( HHTLuu m k m ∩→ ∞ yếu*, (3.2.42) ),;,0( trong 1 0 )( HTLuu m k m ∞ → && yếu*, (3.2.43) ),( trong 2)( Tm k m QLuu &&&& → yếu, (3.2.44) ).,( TMWu m ∈ (3.2.45) Dựa vào (3.2.42) – (3.2.45), qua giới hạn trong (3.2.14), (3.2.15) ta suy ra m u là nghiệm yếu của (3.2.8) – (3.2.11). Mặt khác từ (3.2.7), (3.2.8) và (3.2.42) ta suy ra ),;,0(),,,,())(( 2 111 2 10 LTLuuutxfuuBbu mmmmmm ∞ −−−− ∈∇+Δ∇+= &&& và do đó ta có ).,( 1 TMWu m ∈ Đònh lý 3.1 đã chứng minh xong. Đònh lý 3.2. Giả sử )()( 41 HH − được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hằng số ,0 > M 0> T thỏa (3.2.35), (3.2.37), (3.2.38) sao cho bài toán (3.1.1) – (3.1.3) có duy nhất nghiệm yếu ),( 1 TMWu ∈ . 81 Mặt khác, dãy quy nạp }{ m u xác đònh bởi (3.2.8) – (3.2.11) hội tụ mạnh về nghiệm u trong không gian )}.;,0(:);,0({)( 21 01 LTLvHTLvTW ∞∞ ∈∈= & (3.2.46) Hơn nữa ta có ước lượng , );,0();,0( 22 m T LTL m LTL m Ckuuuu ≤−+∇−∇ ∞∞ && với mọi .m (3.2.47) với T k xác đònh bởi (3.2.38) và C là hằng số chỉ phụ thuộc vào 10 ,, uuT và . T k Chứng minh. a/ Sự tồn tại nghiệm. Trước hết ta để ý rằng )( 1 TW là không gian Banach với chuẩn (xem [19]). . );,0();,0()( 22 1 LTLLTLTW vvv ∞∞ +∇= & (3.2.48) Ta sẽ chứng minh rằng }{ m u là dãy Cauchy trong không gian ).( 1 TW Lấy . 1 mmm uuv −= + Khi đó m v thỏa mãn bài toán biến phân sau ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ == ∈〉−〈= 〉Δ〈−−〉∇〈∇++〉〈 + ++ .0)0()0( ,,),()( ),())()((),())((),( 1 01 110 mm mm mmmmmm vv HwwtFtF wtutBtBwtvtBbwtv & && mọi với (3.2.49) Thay m vw & = trong (3.2.49), sau khi lấy tích phân theo ,t ta được ,)(),()( )(),())()(( )()()( 0 1 0 1 0 2 / 1 ∫ ∫ ∫ 〉−〈+ 〉Δ〈−+ ∇= + + + t mmm t mmmm t mmm dssvsFsF dssvsvsBsB dssvsBtp & & (3.2.50) ở đây .)())(()()( 2 10 2 tvtBbtvtp mmmm ∇++= + & (3.2.51) Mặt khác, từ (3.2.2), (3.2.4), (3.2.7) ta rút ra , ~ 2)( 2 1 / MKtB m ≤ (3.2.52) 82 ,)( ~ 2)()( 2 111 tvMKtBtB mmm −+ ∇≤− (3.2.53) ( ) .)()(2)()( 1111 tvtvKtFtF mmmm −−+ +∇≤− & (3.2.54) Ta suy từ (3.2.50) – (3.2.54) rằng () .)()()(22 )()( ~ 4 )( ~ 2)()( 0 111 0 1 2 1 0 2 2 1 2 0 2 ∫ ∫ ∫ −− − +∇+ ∇+ ∇≤∇+ t mmm t mm t mmm dssvtvsvK dssvsvMK dssvMKtvbtv && & & (3.2.55) Mặt khác, ta cũng có các đánh giá từng số hạng ở vế phải của (3.2.55) như sau ,))()(( ~ 2 )( ~ 2)( 0 2 0 2 0 2 1 0 2 2 1 ∫∫ ∇+≤∇ t mm t m dssvbsv b MK dssvMKi & (3.2.56) ,))()(( ~ 2 ~ 2)()( ~ 4)( 0 2 0 2 2 1 2 )( 1 2 1 0 1 2 1 1 ∫ ∫ ∇++ ≤∇ −− t mm TW m t mm dssvbsvMK vTMKdssvsvMKii & & (3.2.57) .))()((2 2)())()(2(2)( 0 2 0 2 1 2 11 0 111 )( 1 ∫ ∫ ∇++ ≤+∇ −−− t mm m t mmm dssvbsvK vTKdssvtvsvKiii TW & && (3.2.58) Từ (3.2.55) – (3.2.58) ta được .))()((]) 1 1( ~ [2 ) ~ (2)()( 0 2 0 2 1 0 2 1 2 )( 11 2 1 2 0 2 1 ∫ ∇++++ +≤∇+ − t mm TW mmm dssvbsvK b MK vKMKTtvbtv & & p dụng bổ đề Gronwall ta có ,) ~ (2)()( ]) 1 1( ~ [2 2 )( 11 2 1 2 0 2 1 0 2 1 1 K b MKt TW mmm evKMKTtvbtv ++ − +≤∇+ & do đó 83 , )( 1 )( 11 TW mT TW m vkv − ≤ với mọi ,m (3.2.59) với T k đònh nghóa như (3.2.38). Như vậy , 1 )( 01 )( 1 1 TW T m T TW mpm uu k k uu − − ≤− + với mọi ., pm (3.2.60) Từ (3.2.38) và (3.2.60) ta có }{ m u là dãy Cauchy trong không gian )( 1 TW và do đó tồn tại ),( 1 TWu ∈ sao cho ),( trong 1 TWuu m → mạnh. (3.2.61) Ta cũng lưu ý rằng ),,( TMWu m ∈ khi đó ta rút ra một dãy con }{ j m u của }{ m u sao cho tronguu j m → ),;,0( 21 0 HHTL ∩ ∞ yếu*, (3.2.62) ),;,0( trong 1 0 HTLuu j m ∞ → && yếu*, (3.2.63) ),( trong 2 Tm QLuu j &&&& → yếu, (3.2.64) ).,( TMWu ∈ (3.2.65) Ta lưu ý rằng )()( ~ 2)()() ~ ( )()))((()())(( 1 2 100 2 00 tutuMKtutuKb tutuBbtutBb mm mm ∇−∇+∇−∇+≤ ∇∇+−∇+ − ).,0( Ttea ∈ (3.2.66) Ta suy ra từ (3.2.61), (3.2.65) và (3.2.66) rằng ),;,0( trong))(())(( 2 2 00 LTLuuBbutBb mm ∞ ∇∇+→∇+ mạnh. (3.2.67) Tương tự .2),,,,( )( 11 );,0( 1 2 TW m LTL xm uuKuuutxfF −≤− − ∞ & (3.2.68) Vì vậy từ (3.2.61) và (3.2.68) ta thu được ),;,0( trong),,,,( 2 LTLuuutxfF xm ∞ → & mạnh. (3.2.69) [...]... và một số điều kiện phụ cho f , f1 + Trường hợp B = 1, B1 ≡ 0, và điều kiện biên Dirichlet thuần nhất thay bởi điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả trong [9] + Trường hợp B ∈ C 2 ( IR+ ), B1 ∈ C 1 ( IR+ ), B ≥ b0 > 0, B1 ≥ 0, (chỉ phụ thuộc 1 ux 2 = ∫ u x ( y, t ) dy ) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất thay bởi điều kiện 2 0 biên Dirichlet thuần nhất, một số. .. (v) x f u/t (0, t ,0, v,0) = f u/t (1, t ,0, v,0) = 0, ∀t ≥ 0, ∀v ∈ IR Ta sử dụng các ký hiệu sau L= ∂2 ∂2 − b0 2 , f [u ] = f ( x, t , u , u x , u t ) ∂x ∂t 2 u 0 ∈ W1 ( M , T ) là nghiệm yếu của bài toán ( P0 ) như đònh lý 3.3 Gọi Giả sử u1 ∈ W1 ( M , T ) (với các hằng số M > 0, T > 0 thích hợp) là nghiệm yếu duy nhất ~ của bài toán ( P1 ) sau ~ ( P1 ) ~ ⎧ Lu1 = F1 [u1 ], x ∈ Ω, 0 < t < T , ⎪ ⎨ u1 (0,... ≤ 1, bài toán ( Pε ) có duy nhất nghiệm uε thỏa mãn (3.3.2) và ước lượng tiệm cận đến cấp 2 như (3.4.41), các ~ hàm u 0 ,u1 lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán ( P0 ) và ( P1 ) Chú thích 3.2 Về kết quả khai triển tiệm cận của nghiệm Trong • [12] với trường hợp B = 1, B1 ≡ 0, f1 ≡ 0, f = f (t , u, u t ), f ∈ C 1 ( [0, ∞) × IR 2 ) là một trường hợp riêng của đònh lý 3.4 • Với các số hạng phi tuyến. .. ), khi đó ta có thể chứng minh theo một cách tương tự với chứng minh của ( đònh lý 3.1 rằng các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ Galerkin {u mk ) } cho bài toán (3.1.1) –(3.1.3) tương ứng với B = Bε , f = Fε , ε ≤ 1 sẽ thỏa mãn ( u mk ) ∈ W1 ( M , T ), (3.3.1) trong đó M , T là hằng số độc lập với ε Thật vậy, trong quá trình chứng minh, chúng ta chọn các hằng số dương M và T như trong (3.2.32)-(3.2.35),... tại các hằng số M > 0, T > 0 sao cho, với mỗi ε , ε ≤ 1, bài toán ( Pε ) có duy nhất nghiệm yếu uε thỏa mãn (3.3.2) và ước lượng tiệm cận uε − u 0 1 L∞ ( 0 ,T ; H 0 ) & & + uε − u 0 L∞ ( 0 ,T ; L2 ) (3.3.4) ≤ Cε , ~ ~ với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào b0 , M , T , K 0 ( M , B1 ), K 0 ( M , T , f1 ), K 1 ( M , B) và K 1 ( M , T , f ) Chứng minh Đặt v = uε − u 0 Khi đó v thỏa mãn bài toán biến phân... nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( Pε ) thỏa mãn u ε ∈ W1 ( M , T ) (3.3.2) Do đó, ta có thể chứng minh theo một cách tương tự với chứng minh của đònh lý 3.2 rằng giới hạn u0 trong các không gian hàm thích hợp của một họ {uε } khi ε → 0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( P0 ), tương ứng với ε = 0 thỏa mãn u 0 ∈ W1 ( M , T ) Ta có đònh lý sau: (3.3.3) 87 ~ ~ Đònh lý 3.3 Giả sử (u 0 , u1 ), b0 , (... biên Dirichlet thuần nhất thay bởi điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất, chúng tôi cũng đã công bố kết quả nầy trong [9] • Kết quả thu được ở trên không dùng đến giả thiết ∂f ∈ C 0 (Ω × [0, ∞) × IR 3 ), tức ∂t là không sử dụng đến điều kiện f ∈ C 1 như trong các bài báo[9,12] 3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé đến cấp 1 ~ ~ Trong phần này ta giả sử rằng (u 0 , u1 ), b0 , ( B, B1 ), ( f ,... 0 ] + B1 ( ∇u 0 + ε ∇u1 ) − B1 ( ∇u 0 ) Δu 0 2 2 + ε 2 B1 ( ∇u 0 + ε∇u1 )Δu1 2 Ta có bổ đề sau đây ~ Bổ đề 3.1 Giả sử ( H 1 ), ( H 2 ), ( H 5 ) và ( H 6 ) đúng Khi đó tồn tại một hằng số K sao cho Eε L∞ ( 0 ,T ; L2 ) ~ ≤ Kε 2 , ~ (3.4.6) ~ ~ ở đây K chỉ phụ thuộc vào M , T và các hằng số K 0 ( M , B1 ), K1 ( M , B), K1 ( M , T , f1 ), K 2 (M ,T , f ) = sup 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ t ≤ T & u , ux , u ≤M // //... dụng bổ đề 3.1, từ (3.4.21), (3.4.22), (3.4.23) dẫn đến & v1 (t ) 2 + b1,ε (t ) ∇v1 (t ) 2 t ~ & ≤ 2 Kε 2 v1 2 ∞ 2 L ( 0 ,T ; L ) (3.4.24) ~ ) Kε 2T exp(σ 1T b0 ) (3.4.25) + ∫ b1/,ε ( s ) ∇v1 ( s ) ds 0 ~ & ≤ 2 Kε 2 v1 t + σ 1 ∫ ∇v1 ( s ) ds 2 ∞ 2 L ( 0 ,T ; L ) 0 Sử dụng bổ đề Gronwall ta thu được & v1 L∞ ( 0 ,T ; L2 ) + v1 1 L∞ ( 0 ,T ; H 0 ) ≤ 2(1 + 1 b0 Ta sẽ chứng minh rằng, tồn tại một hằng số. .. ta thu được u ∈ W1 ( M , T ) Sự tồn tại nghiệm được chứng minh b/ Sự duy nhất nghiệm Lấy ui , i = 1,2 là hai nghiệm yếu của bài toán (3.2.70), (3.2.71) thỏa mãn u i ∈ W1 ( M i , Ti ), i = 1,2 (3.2.73) Khi đó w(t ) = u1 (t ) − u 2 (t ), 0 ≤ t ≤ T = min{T1 , T2 }, thỏa mãn bài toán biến phân ~ ~ ~ && 〈 w(t ), v〉 + (b0 + B1 (t ))〈∇ w, ∇v〉 − ( B1 (t ) − B2 (t ))〈 Δu 2 , v〉 ~ ~ 1 = 〈 F1 (t ) − F2 (t ), . && (3 .2. 25 ) • Tích phân thứ ba : Ta suy ra từ (3 .2. 2) và (3 .2. 7) rằng: ).31(4)( 22 1 2 MKsF m +≤∇ (3 .2. 26) Vì vậy, từ (3 .2. 22) và (3 .2. 26) ta. 2 10 2 12 2 2 / /2 2 1 2 2 /2 10 2 0 / 2 0 2 10 εεε εθλε λεε ε uuBRuuuB uuuB uBuuuB uBuuB +〉∇〈∇∇= 〉∇〈∇+∇∇+ ∇∇+〉∇〈∇∇= ∇−∇+∇ (3.4.8) trong đó ,] [2] [2] [2