Sử dụng tính lồi lõm của đồ thị hàm số để chứng mình một bất đẳng thức

5 2K 41
Sử dụng tính lồi lõm của đồ thị hàm số để chứng mình một bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Sử dụng tính lồi lõm của đồ thị hàm số để chứng mình một bất đẳng thức

SỬ DỤNG TÍNH LỒI, LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thứcmột bài toán hay và khó và thường gặp trong các kì thi vào đại học, cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi. Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp. Bài viết này nhằm đưa ra một kĩ thuật đơn giản nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đósử dụng tính lồi, lõm của đồ thị hàm số. I. Cơ sở lí thuyết a) Nếu đồ thị hàm số lồi trên khoảng (; và ()yfx= )ab '( )( ) ( )yfcxc fc= −+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( ; ( )), ( ; )cfc c ab∈ thì ( ) '( )( ) ( ), ( ; )f xfcxcfcxab≤−+∀∈ (1) b) Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại ngược lại. Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức ( )f x thông qua biểu thức bậc nhất. Hơn nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán. II. Bài tập áp dụng Bài 1 (BĐT Cô - si). Cho a1, a2, …, an là các số không âm. Chứng minh rằng 1212 nnnaa aaa an+++≥ Chứng minh. Nếu có một số ai = 0 (i = 1, 2, …, n) thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp ai > 0, ∀i ∈ {1, 2, …, n}. Chia hai vế cho 12 .naa a+ ++ ta được 11 112 12 121. . .nnnaa anaaaaaaaaa≥+++ +++ +++n Đặt 12, {1, 2, ., n} .iinaxiaa a=∈+++ thì xi > 0 thoả mãn 12 . 1nxx x+ ++ = và bđt trở thành 121 .nnxx xn≤ hay 121ln ln . ln lnnxx xnn+++≤ Xét hàm số . Ta có () ln, 0yfx xx== >211'( ) , ''( ) 0, 0fx fx xxx= =− < ∀ > suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng . (0;+ )∞Tiếp tuyến của đths tại điểm 11;lnnn⎛⎜⎝⎠⎞⎟ có phương trình là 11lnynxn=−+ suy ra 1ln 1 ln , (0; )xnx xn≤−+ ∀∈+∞ (1) Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, …, xn và cộng vế lại ta được 12 121ln ln . ln ( . ) lnnnxx xnxx xnnn+++≤+++−+ Kết hợp với ta có điều phải chứng minh. 12 . 1nxx x+++=Đẳng thức xảy ra khi 121 .nxx xn==== hay 12 .naa a= ==. Bài 2 (BĐT Jenxen) Cho hàm số ()yfx= có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( . ; )aba) Nếu ''( ) 0, ( ; )f xxa>∀∈ b thì 12, , ., ( ; )nx xxab∀ ∈ và 12, , ., [0;1]nα αα∀ ∈ thoả mãn121nα αα+++=" ta có 11 2 2 1 1 2 2()()()nn n n()f xx x fx fx fxα αααα α+++ ≤ + ++"" (1) b) Nếu ''( ) 0, ( ; )f xxa<∀∈ b thì ta có bất đẳng thức ngược lại. Chứng minh. a) Đặt 11 2 2 nnx xx xα αα=+ ++" thì (;)x ab∈. Tiếp tuyến của đths ( )yfx= tại điểm (; ())x fx có phương trình là '( )( ) ( )yfxxx fx=−+. Do ''( ) 0, ( ; )f xxa>∀∈ b nên đồ thị hàm số lõm trên khoảng ( . Bởi vậy ; )abtại điểm (; ())x fx tiếp tuyến nằm dưới đồ thị. Từ đó suy ra () '()( ) (), (;)f xfxxxfxxab≥−+∀∈ Thay ix x= ta được () '()( ) ()iif xfxxxfx≥−+. Nhân hai vế với 0iα≥ ta được ( ) '( ). '( ). ( ), 1, 2, .,ii i i i if xfxxfxxfxiαα α α≥−+∀=n. Cộng vế n BĐT ta được 111() '() '(). ()nnnii ii iiiifx f x x f xx fx1niiα αα===≥−+∑∑∑α=∑ Bởi 1niiix xα==∑ và nên ta được 11niiα==∑11() ( )nnii iiiif xf xα==≥∑∑α đó là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12nx xx= ==" b) Chứng minh tương tự. Trường hợp đặc biệt: Nếu 121nnαα α====" thì BĐT (1) trở thành 12 12() () ()nnf xfx fx xx xfnn+++ +++⎛⎞≥⎜⎟⎝⎠"" Nhận xét. Đây là cách chứng minh ngắn gọn và dễ hiểu nhất so với các cách chứng minh đã biết trong các tài liệu. Bài 3 (BĐT Bécnuli). Cho 1x >− và số thực α. Chứng minh rằng a) ( 1 ) 1 , ( ;0) (1; )xxααα+≥+∀∈−∞∪+∞b) (1 ) 1 , (0;1)xxααα+≤+∀∈Chứng minh. Xét hàm số () (1 )yfx xα==+. Ta có 12'( ) (1 ) , ''( ) ( 1)(1 )fx x fx xααααα−−=+ = −+Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0 ; 1) có pt là 1yxα= +. Nếu ( ;0) (1; )α∈−∞ ∪ +∞ thì ''( ) 0, 1f xx>∀>−, do đó đths lõm trên khoảng ( 1; )− +∞ Suy ra ( . 1 ) 1, 1xxxαα+≥+∀>−Nếu 0 1α<< thì ''( ) 0, 1f xx<∀>−, do đó đths lồi trên khoảng ( 1; )− +∞ Suy ra ( . 1 ) 1, 1xxxαα+≤+∀>−Đẳng thức xảy ra khi 0x = hoặc 0α= hoặc 1α= Bài 4 (T7/374). Cho các số dương thoả mãn , ,abc4( ) 9 0abc+ +−=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = ()()()22211bcaa bb cc++ ++ ++1a Giải. Ta có ()()()22lnS ln 1 ln 1 ln 1ba a cb b ac c=++++++++2 Xét hàm số 2() ln( 1), 0fx x x x=++> (1). Do đặc thù của bài toán nên ta có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi 34abc= ==. Vì vậy ta sẽ so sánh vị trí của đồ thị với tiếp tuyến của nó tại điểm 3(;ln2)4.Đạo hàm 213'( ) '( )451fx fx4= ⇒=+. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm 3(;ln2)4 có phương trình 43ln 255yx= +−. Đạo hàm cấp hai 22''( ) 0, 0(1) 1xfx xxx−=<++∀> suy ra đồ thị hàm số (1) lồi trên khoảng . Do đó tại điểm (0; )+∞3(;ln2)4 tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) nằm phía trên đồ thị hàm số (1). Từ đó ta có 243ln( 1) ln 2 , 055xx x x+ +≤ + − ∀>. Áp dụng bất đẳng thức này cho số dương ta được a24ln( 1) ln 255aa a3+ +≤ + −. Nhân hai vế với số b > 0 ta suy ra 243ln( 1) ln 255ba a ab⎛⎞++≤+ −⎜⎟⎝⎠b. Tương tự ta có 243ln( 1) ln 255cb b bc c⎛⎞++≤+ −⎜⎟⎝⎠. 243ln( 1) ln 255ac c ca a⎛⎞++≤+ −⎜⎟⎝⎠. Cộng vế ba bất đẳng thức này ta được 43lnS ( ) ln 2 ( )55ab bc ca a b c⎛⎞≤+++−++⎜⎟⎝⎠. Cuối cùng sử dụng bất đẳng thức 21()(3ab bc ca a b c++ ≤ ++) và giả thiết 94abc++=, rút gọn ta thu được 9lnS ln 24≤. Từ đó 4S42≤. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 34abc= ==. Vậy giá trị lớn nhất của S là 442. Nhận xét. Đôi khi giả thiết lồi, lõm không được thoả mãn. Lúc đó ta sẽ so sánh vị trí của tiếp tuyến và đồ thị hàm số bằng chứng minh trực tiếp. Bài 5 (2003 USA Math Olympiad) Cho là những số dương. Chứng minh rằng , ,abc22222222(2 ) (2 ) (2 )82()2()2()abc bca cababc bca cab++ ++ ++++++ ++ ++2≤ Giải. Đặt ;;abxyzabc abc abc===++ ++ ++c. Khi đó , ,x yz là những số dương và thoả mãn 1x yz++=, và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 22222222(2 ) (2 ) (2 )82()2()2( )xyz yzx zxyxyz yzx zxy++ ++ ++++++ ++ ++2≤ Hay 222222222(1) (1) (1)82(1)2(1)2(1)xyzxxyyzz++++ +≤+− +− +− Xét hàm số 222(1)() , (0;1)2(1)xfx xxx+=+−∈. Vì rằng đẳng thức xảy ra khi 13xyz= == nên ta xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 18;33⎛⎜⎝⎠⎞⎟. Ta có 22221'( ) 4.(3 2 1)xxfxxx+−=−−+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ()f x tại điểm 18;33⎛⎜⎝⎠⎞⎟ có phương trình là 443yx=+. 322436''( ) 12.(3 2 1)31x xxfxxx+−+=−+ đổi dấu hai lần trên khoảng . Do đó đồ thị hàm số (0;1)không hoàn toàn lồi trên khoảng . Tuy nhiên ta vẫn có bất đẳng thức (0;1)222(1) 44,(0;2(1) 3xxxxx+≤+∀∈+−1) (Vì BĐT này tương đương với 2(3 1) (4 1) 0xx− +≥). Tương tự ta có các BĐT đối với y và z, cộng vế lại và sử dụng 1x yz+ += ta thu được đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 13xyz= ==, tức là abc= =. Bài tập tự luyện 1) Trong tam giác nhọn ABC, chứng minh rằng 21(sin sin sin ) (tan tan tan ) 2 333ABC ABC++ + ++ ≥ 2) (HSG Hải dương) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 95; 8xyzx xy++=⎧⎨≥+≥⎩ Chứng minh rằng 15xyz ≤ . 3) (1997 Japanese Math Olympiad) Cho là những số thực dương. , ,abcChứng minh rằng 22222222 2()()()() () ()bca cab abcabcbca cab+− +− +− 35+ +≥++ ++ ++. 4) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC và số 2 ta có bất đẳng thức sau a ≥sin sin sin 3 3cos cos cos 2 1ABCaAaBaCa++≤++++. LÊ VĂN LỤC - HẢI DƯƠNG . SỬ DỤNG TÍNH LỒI, LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh bất đẳng thức là một bài toán hay và khó và. một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Đó là sử dụng tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.

Ngày đăng: 21/09/2012, 10:23

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan