Mục lục 1 LỜI MỞ ĐẦU 2 2 NỘI DUNG 3 2.1 Giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Biểu đồ xem như hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 Giới hạn xạ ảnh trong phạm trù đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.4 Hàm tử bảo toàn giới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 KẾT LUẬN 15 1 1 LỜI MỞ ĐẦU Trong sự phát triển của toán học hiện đại , lý thuyết phạm trù chiếm một vị trí ngày càng quan trọng . Với nội dung và phương pháp nghiên cứu độc đáo riêng, lý thuyết phạm trù với tư cách là một lý thuyết độc lập đã chứng tỏ hiệu lực của nó trong việc giải quyết nhiều vấn lớn của đại số, tôpô, và nhiều ngành toàn học lý thuyết khác.Vì vậy việc làm quen đến tìm hiểu để nắm được một cách tương đối đầy đủ lý thuyết phạm trù và hàm tử là một yêu cầu cần thiết đối với người học và làm toán hiện nay. Với mục đích đó cùng với sự mong muốn giúp cho các bạn có cái nhìn sâu hơn về lý thuyết phạm trù và hàm tử, trong khuôn khổ tiểu luận này chúng tôi sẽ làm rõ một trong những vấn đề của nó. Đó là Mở rộng một số tính chất của giới hạn xạ ảnh . Cấu trúc của tiểu luận này gồm 2 phần : 1. Phần 1 : Trình bày lại khái niệm giới hạn xạ ảnh của hàm tử và một số ví dụ minh họa. 2. Phần 2 : là phần chính của tiểu luận, nêu lên một số tính chất mở rộng của giới hạn xạ ảnh. Do khả năng có hạn cùng với một số điều kiện hạn chế khác nên trong tiểu luận này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nên rất mong sự góp ý của các bạn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Xuân Tuyến đã hướng dẫn tôi hoàn thành tiểu luận này. Huế, ngày 25 tháng 2 năm 2008 Người thực hiện 2 2 NỘI DUNG 2.1 Giới hạn xạ ảnh 2.1.1 Định nghĩa. Giả sử F : C −→ D là một hàm tử hiệp biến. Ta gọi giới hạn xạ ảnh của hàm tử F (nếu có) là một vật L ∈ Ob(D) cùng với một họ cấu xạ (u X : L −→ F (X)) X∈Ob(C) thuộc Mor(D) sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn: i)Với mọi cấu xạ α : X −→ Y của C ta có biểu đồ sau giao hoán F (X) L F (Y ) ❄ F (α)   ✒ u X ❅ ❅ ❅❘ v Y ii)Nếu có một vật A ∈ Ob(D) và một họ cấu xạ (v X : A −→ F (X)) X∈Ob(C) thuộc Mor(D) sao cho với mỗi cấu xạ α : X −→ Y của C biểu đồ sau giao hoán F (X) A F (Y ) ❄ F (α)   ✒ v X ❅ ❅ ❅❘ v Y thì tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : A −→ L sao cho với mọi vật X biểu đồ sau giao hoán L A F (X) ❄ u X   ✒ γ ❅ ❅ ❅❘ v X Giới hạn xạ ảnh còn được gọi là giới hạn nghịch hay giới hạn trái, ký hiệu là L = lim ←− F = lim ←− F (X) Các cấu xạ u X : L −→ F (X) gọi là cấu xạ chính tắc của giới hạn xạ ảnh. 3 2.1.2 Các ví dụ 1. Trong phạm trù C tích của một họ các vật (A i ) i∈I , A i ∈ Ob(C) là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp. Thật vậy : Đặt A =  i∈I A i , giả sử (A, u i : A −→ A i ; i ∈ I) là tích của họ các vật (A i ) i∈I với A i ∈ Ob(C). Ta xây dựng hàm tử F như sau: Ta xem I như một phạm trù rời rạc với: Ob(I) =  i ∈ I  [i, j] I =  φ nếu i = j 1 i nếu i = j Ta xét hàm tử F : I −→ C i −→ A i Ta sẽ chứng minh A cùng với họ cấu xạ (u i : A −→ F (i) = A i ) i∈Ob(I) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F. Thật vậy, Mọi α = 1 i : i −→ i ∈ Mor(I) ta có biểu đồ sau giao hoán vì 1 A i u i = u i F (i) = A i L F (i) = A i ❄ F (1 i )=1 F (i) =1 A i ✑ ✑ ✑✸ u i ◗ ◗ ◗s u i Nếu có vật B ∈ Ob(C) và một họ cấu xạ (v i : B −→ F (i) = A i ) i∈Ob(I) sao cho với mỗi cấu xạ α = 1 i : i −→ i ∈ Mor(I) biểu đồ sau giao hoán: F (i) = A i B F (i) = A i ❄ F (α)=F (1 i )=1 F (i) =1 A i ✑ ✑ ✑✸ v i ◗ ◗ ◗s v i Theo định tích A =  i∈I A i thì tồn tại duy nhất γ : B −→ A để biểu đồ sau giao hoán với mọi i ∈ Ob(I) A B F (i) = A i ❄ u i ✑ ✑ ✑ ✑✸ γ ◗ ◗ ◗s v i 4 Ngược lại, giả sử tồn tại lim ←− F là (L, u i : L −→ F (i) = A i , i ∈ Ob(I)) Ta sẽ chứng minh (L, (u i ) i∈I ) là tích của họ vật (A i ) i∈I . Giả sử có một họ (α i : K −→ A i ) i∈I ta sẽ chứng minh tồn tại γ : K −→ L sao cho u i γ = α i , tức là sơ đồ sau giao hoán: K A i L ✲ α i ❅ ❅❘ γ  ✒ u i Thật vậy, mọi α = 1 i : i −→ i, sơ đồ sau giao hoán vì 1 A i α i = α i F (i) = A i K F (i) = A i ❄ F (1 i )=1 F (i) =1 A i ✑ ✑ ✑✸ α i ◗ ◗ ◗s α i Mặt khác, vì (L, u i : L −→ F (i) = A i , i ∈ Ob(I)) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh ta có tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho mọi i ∈ Ob(I) biểu đồ sau giao hoán: L K F (i) = A i ❄ u i ✑ ✑ ✑ ✑✸ γ ◗ ◗ ◗s α i Tức là u i γ = α i Vậy A = lim ←− F 2.Trong phạm trù D hạt nhân của một cấu xạ là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp. Thật vậy : Giả sử f : A −→ B là một cấu xạ của D và (u,K) là hạt nhân của cấu xạ f. Ta lấy một phạm trù C với Ob(C) =  X, Y  Mor(C) =  1 X , 1 Y , α, β : X −→ Y  Ta xét hàm tử F : C −→ D X −→ A Y −→ B α −→ f β −→ 0 AB 1 X −→ 1 A 1 Y −→ 1 B 5 Ta sẽ chứng minh rằng (K, u X = u, u Y = 0) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F Thật vậy, Với cấu xạ α, β : A −→ B ta xét sơ đồ sau: F (X) = A K F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=0 AB ✑ ✑ ✑✸ u X ◗ ◗ ◗s u Y Do u X = u, u Y = 0 và vì u là hạt nhân của cấu xạ f nên fu X = fu = 0 KB = u Y = 0 AB u X . Do đó sơ đồ trên giao hoán. Giả sử có một vật L ∈ Ob(D) và một họ cấu xạ (v X : L −→ F (X) = A, v Y : L −→ F (Y ) = B) của Mor(D) sao cho với các cấu xạ α, β : X −→ Y sơ đồ sau giao hoán. F (X) = A L F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=0 AB ✑ ✑ ✑✸ v X ◗ ◗ ◗s v Y Tức là fv X = v Y = 0 AB v X . Suy ra, fv X = 0 Vì (u,K) là hạt nhân của f nên tồn tại duy nhất h : L −→ K sao cho v X = u X h, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán. K L F (X) = A ❄ u X ✑ ✑ ✑ ✑✸ h ◗ ◗ ◗s v X Suy ra u Y h = fu X h = fv X = v Y , nghĩa là sơ đồ sau cũng giao hoán K L F (Y ) = B ❄ u Y ✑ ✑ ✑ ✑✸ h ◗ ◗ ◗s v Y Ngược lại, giả sử lim ←− F tồn tại là (L, u X : L −→ F (X), X ∈ Ob(C)) Ta sẽ chứng minh L = Kerf Thật vậy, theo điều kiện i) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì với α, γ : X −→ Y của C ta 6 có biểu đồ sau giao hoán: F (X) = A L F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=0 AB ✑ ✑ ✑✸ u X ◗ ◗ ◗s u Y Tức là:fu X = u Y = 0 AB u X = 0 Mặt khác, giả sử tồn tại λ : K −→ A thỏa mãn f λ = 0. Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho u X γ = λ. Thật vậy, vì fλ = 0 do đó sơ đồ sau giao hoán: F (X) = A K F (Y ) = B ❄ f ❄ 0 AB ✑ ✑ ✑✸ λ ◗ ◗ ◗s fλ nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán L K F (X) = A ❄ u X ✑ ✑ ✑ ✑✸ γ ◗ ◗ ◗s λ Tức là u X γ = λ Từ đó suy ra L = Kerf Vậy Kerf = lim ←− F 3. Trong phạm trù D đẳng hóa của hai cấu xạ là giới hạn xạ ảnh của một hàm tử thích hợp. Thật vậy : Giả sử f, g : A −→ B là hai cấu xạ thuộc Mor(D) và Equ(f, g) = (u, K). Ta lấy một phạm trù C với Ob(C) =  X, Y  Mor(C) =  1 X , 1 Y , α, β : X −→ Y  7 Ta xét hàm tử F : C −→ D X −→ A Y −→ B α −→ f β −→ g 1 X −→ 1 A 1 Y −→ 1 B Ta sẽ chứng minh rằng (K, u X = u, u Y = fu) là giới hạn xạ ảnh của hàm tử F Thật vậy, Với cấu xạ α, β : A −→ B ta xét sơ đồ sau: F (X) = A K F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=g ✑ ✑ ✑✸ u X ◗ ◗ ◗s u Y Do u X = u và u Y = fu và vì u là đẳng hóa của cặp cấu xạ f và g nên fu X = fu = u Y = gu = gu X . Do đó sơ đồ trên giao hoán. Giả sử có một vật L ∈ Ob(C) và một họ các cấu xạ (v X : L −→ F (X) = A; v Y : L −→ F (Y ) = B) của Mor(D) sao cho với các cấu xạ α, β : X −→ Y sơ đồ sau giao hoán. F (X) = A L F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=g ✑ ✑ ✑✸ v X ◗ ◗ ◗s v Y Tức là fv X = v Y , gv X = v Y . Suy ra, fv X = gv X Vì (u,K) là đẳng hóa của f và g nên tồn tại duy nhất h : L −→ K sao cho v X = u X h, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán. K L F (X) = A ❄ u X ✑ ✑ ✑ ✑✸ h ◗ ◗ ◗s v X Suy ra u Y h = fu X h = fv X = v Y , nghĩa là sơ đồ sau cũng giao hoán K L F (Y ) = B ❄ u Y ✑ ✑ ✑ ✑✸ h ◗ ◗ ◗s v Y 8 Ngược lại, giả sử lim ←− F tồn tại là (L, u X : L −→ F (X), X ∈ Ob(C)) Ta sẽ chứng minh L = Equ(f, g) Thật vậy, theo điều kiện i) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì với α, β : X −→ Y của C ta có biểu đồ sau giao hoán: F (X) = A L F (Y ) = B ❄ f=F (α) ❄ F (β)=g ✑ ✑ ✑✸ u X ◗ ◗ ◗s u Y Tức là:fu X = u Y = gu X Mặt khác, giả sử tồn tại λ : K −→ A thỏa mãn fλ = gλ. Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho u X γ = λ. Thật vậy, vì fλ = gλ do đó sơ đồ sau giao hoán: F (X) = A K F (Y ) = B ❄ f ❄ g ✑ ✑ ✑✸ λ ◗ ◗ ◗s fλ nên theo điều kiện ii) của định nghĩa giới hạn xạ ảnh thì tồn tại duy nhất một cấu xạ γ : K −→ L sao cho biểu đồ sau giao hoán: L K F (X) = A ❄ u X ✑ ✑ ✑ ✑✸ γ ◗ ◗ ◗s λ Tức là u X γ = λ Vậy Equ(f, g) = lim ←− F 9 2.2 Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh 2.2.1 Giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh 1. Hệ xạ ảnh Cho I là một tập hợp sắp thứ tự, có lộc bên phải, tức là với mỗi cặp i,j ∈ I, tồn tại một phần tử k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k. Gọi I là phạm trù gắn với tập I. Ob(I) = i∈ I = I [i, j] I =  một phần tử duy nhất(i, j) nếu i ≤ j ∅ nếu i > j (1) Một hàm tử : H :I −→C i −→H(i) = F i i ≤ j −→f ij : F i −→ F j Gọi là một hệ xạ ảnh. Như vậy, theo định nghĩa một hệ xạ ảnh xác định trong một phạm trù C, là một hệ (F i , f ij ) gồm các vật F i (i ∈ I) của C và các xạ f ij : F j −→ F i của C, xác định đối với mỗi cặp i,j ∈ I sao cho i ≤ j và thoả mãn các tính chất sau : * f ii = 1 f i . * Nếu i ≤ j ≤ k thì f ik = f ij .f jk . F k A A A A A A A A A // F j ~~ } } } } } } } F i Bây giờ ta sẽ xét giới hạn ảnh của hệ xạ ảnh trong một số phảm trù quen thuộc. 2. Trong phạm trù các tập hợp S, giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh (F i , f ij ) tồn tại. Đó là tập hợp F và U i : F −→ F i , xác định như sau, F là tập hợp con của tích Descartes  IF j , gồm tất cả các họ (a i ) I vời a i ∈ I sao cho i ≤ j . u i :F −→F i (i ∈ I) (a i ) I −→a i là cái thu hẹp của phép chiếu chính tắc. Ta chứng minh , tập hợp F và họ phép chiếu u i , i ∈ I là giới hạn xạ ảnh của họ (F i,f ij ), thật vậy : (a) Với i ≤ j thuộc Mor(I). xét biểu đồ : F j = H(j) f ij  F u j :: u u u u u u u u u u u i $$ I I I I I I I I I I F i = H(i) Theo cách xây dựng, với mọi x ∈ F , ta có 10 [...]... liên quan chặt chẽ với ngành giải tích, đó là giới hạn xạ ảnh Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh đã được làm rõ như giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh trong phạm trù S các tập hợp, phạm trù các nhóm Abel, giới hạn xạ ảnh trong phạm trù đủ và các điều kiện để một hàm tử bảo toàn giới hạn ảnh Tuy nhiên đây mới chỉ là mở rộng những tính chất chung của giới hạn xạ ảnh, còn nếu khảo sát trong những phạm trù... đồ trong C, trên bất cứ đồ thị nào cũng có giới hạn xạ ảnh( quy nạp ) Nếu điều này chỉ đúng cho các biểu đồ hữu hạn nói phạm trù đủ hữu hạn bên trái (bên phải) Theo các ví dụ của giới hạn xạ ảnh trong mục 2, chương 1, một phạm trù đủ bên trái thì có tích, có tích thớ, có đẳng hóa và nếu có vật không thì cũng có hạt nhân Bây giờ ta xét ngược lại, giới hạn xạ ảnh cho những biểu đồ nào tồn tại thì đủ để... định lí được chứng minh Vậy phép lấy giới hạn xạ ảnh quy về lấy tích và lấy đẳng hóa Muốn có giới hạn xạ ảnh của D, chỉ việc xác định cặp cấu xạ α, β : A −→ A , và lấy đẳng hóa L −→ A của cặp (α, β) 3 Định lí 3.2 Trong một phạm trù đủ bên trái, giới hạn trái của một biểu đồ là D trên một đồ thị τ = (I, U, σ) là vật Equ(pj , D(u)p( i)) ⊂ P L= u∈U cùng với họ cấu xạ λk : pk L ⊂ P − Dk → 12 (k ∈ I) ,... được xác định bởi môt phần tử bất kì của nó Chẳng hạn bởi x1 ∈ F1 thành thử tập hợp F có thể đồng nhất ∞ với i=1 Fi Vậy giới hạn xạ ảnh của một dãy tập hợp nhỏ dần bằng giao của chúng 3 Trong các nhóm abel, tương tự như trong phạm trù các tập hợp, cũng có giới hạn xạ ảnh của một hệ xạ ảnh (Gi , fij ) Trong phạm trù các nhóm Ab, trải chỉ số trên I (mỗi Gi 1 nhóm, fij là một đồng cấu nhóm từ Gj đến Gi )... hạn xạ ảnh của D 2.2.4 Hàm tử bảo toàn giới hạn 1 Định nghĩa Cho một hàm tử F : A −→ B.Với mỗi biểu đồ D trong A trên τ = (I, U, σ), ta xét biểu đồ mathcalF D trong B, cũng trên τ , bằng cách lấy mathcalF Di = F(Di ), mathcalF D(u) = mathcalF (D(u)) Nếu F(σi ) : F(X) → F(Di ) là giới hạn trái của FDkhi σi là giới hạn trái của D thì ta nói hàm tử F bảo toàn giới hạn trái hay mạnh bên trái, Kí hiệu :... giới hạn trái 2 F bảo toàn tích và đẳng hóa 3 F bảo toàn tích và níu 4 F bảo toàn tích và hạt nhân (phạm trù A thỏa mãn thêm điều kiện A là phạm trù chuẩn tắc ) Chứng minh 2) =⇒ 1) Cho {L → Di } là giới hạn trái của biểu đồ D trong A Theo định lý 3.1, họ đó cảm sinh một cấu xạ L → P là đẳng hóa của hai cấu xạ α, β : P → P Họ {T (L) → T (Di )} cảm sinh cấu xạ T (L) → T (P ), và theo giả thiết cấu xạ. .. Ds(u) u∈U cảm sinh một cấu xạ xác định α : A −→ A để cho với mỗi u ∈ U : ps(u) = ps(u) α mặt khác, họ pr(u) : thỏa mãn (1) A −→ Ds(u) u∈U cảm sinh một họ cấu xạ xác định β : D(u)pr(u) = ps(u) β A −→ A (2) Từ đó ta có định lí : 2 Định lí 3.1 Trong một phạm trù có tích, họ λi : L −→ Di là giới hạn xạ ảnh của D khi và chỉ khi cấu xạ f : L −→ C do nó cảm sinh là đẳng hóa của cặp cấu xạ α, β : C −→ C xác định... một cấu xạ duy nhất g : X → P sao cho gk = pk g (h ∈ I), do đó pj g = D(u)pi gvới mọi u ma σ(u) = (i, j) Vậy theo định nghĩa đẳng hóa, có một cấu xạ duy nhất X → Eu sao cho g = X → Eu → P , rồi theo định nghĩa giao có một cấu xạ duy nhất X → L sao cho X → Eu = X → L → Eu với mỗi u ∈ U Khi ấy λ → gk = X → P → Dk = X → Eu → P → Dk = X → L → Eu → P → Dk = X → L −k Dk Chứng tỏ rằng L là giới hạn xạ ảnh của... tính chất của đẳng hóa suy ra T (K) = Equ(T (f ), T (g)) 3 Ví dụ Các hàm tử quên sau 1 −→S FAb : Ab →M (M, +) đồng cấu α M− N → 2 →ánh xạ β M− N → −→S FRi : Ab →M (M, +, ) α đồng cấu vành M − N → →ánh xạ Đều bảo toàn tích và đẳng hóa nên chúng bảo toàn giới hạn xạ ảnh 14 β M− N → 3 KẾT LUẬN Cũng như nhiều lý thuyết toán học hiện đại khác, lí thuyết phạm trù hàm chứa trong nó nhiều khái niệm rất trừu... một vật Di của C, và với mỗi đường đi ω từ i đến j một cấu xạ D(ω) từ Di đến Dj Đồng thời ứng với đừong đi không taị i là cấu xạ đồng nhất 1Di và ứng với mỗi hợp thành của đường đi ω, σ là cấu xạ hợp thành D(ω)D(σ) vậy, một biểu đồ D trong phạm trù C trên đồ thị τ được xem như một hàm tử D từ phạm trù I đến phạm trù C 11 2.2.3 Giới hạn xạ ảnh trong phạm trù đủ 1 Phạm trù đủ Một phạm trù C gọi là đủ . tích, đó là giới hạn xạ ảnh. Một số tính chất của giới hạn xạ ảnh đã được làm rõ như giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh trong phạm trù S các tập hợp, phạm trù các nhóm Abel, giới hạn xạ ảnh trong phạm. (X) ❄ u X   ✒ γ ❅ ❅ ❅❘ v X Giới hạn xạ ảnh còn được gọi là giới hạn nghịch hay giới hạn trái, ký hiệu là L = lim ←− F = lim ←− F (X) Các cấu xạ u X : L −→ F (X) gọi là cấu xạ chính tắc của giới hạn xạ ảnh. 3 2.1.2. A A A A A A A A A // F j ~~ } } } } } } } F i Bây giờ ta sẽ xét giới hạn ảnh của hệ xạ ảnh trong một số phảm trù quen thuộc. 2. Trong phạm trù các tập hợp S, giới hạn xạ ảnh của hệ xạ ảnh (F i , f ij ) tồn tại. Đó là tập hợp