Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) và y = g(x) PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*) Câu 1. Cho hàm số 3 2 x y x − = − có đồ thị ( C ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = mx+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Câu 2. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y f x x + = = − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. Tìm các giá trị m để đường thẳng 2y mx= + cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Câu 3. Cho hàm số 3 2 y x = − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2.Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ, có hệ số góc k, cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Câu 4. Cho hàm số 4 2 1 1 ( ) 4 2 1y f x x x= − − += (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. Biện luận theo m, số giao điểm của (C) và (d):y=m Câu 5. Cho hàm số 1x x23 y − − = , có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt đồ thị (C) của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Câu 6. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số 2 36 2 + +− = x mxx y và đường thẳng y =mx Câu 7. Cho hàm số 2 92 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8 2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm. ĐS: 3 2 −=k DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: f(x) = m (*) PHƯƠNG PHÁP: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m Câu 1. Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2 có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 1 Tổ Toán Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán b) Dùng đồ thị (C) định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: x 3 – 3x + m = 0 Câu 2. Cho hàm số y = – x 3 + 3x 2 + 1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình – x 3 + 3x 2 + 3 – m = 0 theo tham số m Câu 3. Cho hàm số 4 2 y x 2x 1= − − có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Dùng đồ thị (C ), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 x 2x m 0 − − = Câu 4. Cho hàm số : y = – x 3 + 3x 2 – 4. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm m để phương trình x 3 – 3x 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt Câu 5. Cho hàm số y = –x 4 + 2x 2 + 3 có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình x 4 – 2x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Câu 6. Cho hàm số 4 2 1 4 6 2 y x x= − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 4 2 1 4 0 2 x x m− + + = có 4 nghiệm phân biệt Câu 7. Cho hàm số 3 2 3 1y x x = − + + có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt 3 2 3 0x x k − + = . Câu 8. Cho hàm số 12 24 ++−= xxy có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Dùng đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 2 )1( 22 =+− m x . Câu 9. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 4 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (C m ): y = x 3 – 3x 2 – m cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt. DẠNG 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) ta có: ))((' 000 xxxfyy −=− hay 0 0 0 '( )( )y y x x x y= − + Trong đó: M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm; y 0 = f(x 0 ) ; k = f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến 1. Nếu cho hoành độ x 0 thì tính y 0 = f(x 0 ) và hệ số góc k = f’(x 0 ) 2. Nếu cho tung độ y 0 thì giải pt: f(x) = y 0 suy ra hoành độ x = x 0 từ đó tính k = f’(x 0 ) 3. Nếu cho hệ số góc k = k 0 thì có 2 cách: Cách 1. Giải pt: f’(x 0 ) = k 0 ⇒ x 0 = ? ⇒ y 0 = f(x 0 ) Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k 0 x + m ( ∆ ) (cần tìm m) ( ∆ ) tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:    = += 0 0 )(' )( kxf mxkxf ⇒ x ? ⇒ m ? 4. Nếu cho một điểm N(a; b) không thuộc tiếp tuyến thì Cách 1. Gọi tiếp điểm );( 00 yxM . Ta có )( 00 xfy = và 0 0 0 '( )( ) ( )y f x x x f x= − + 2 Tổ Toán Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán ⇒ 0 0 0 '( )( ) ( )b f x a x f x= − + ⇒ 0 x ⇒ PT tiếp tuyến Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng: ( )y k x a b= − + ⇔ bkakxy +−= )( ∆ )( ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:    = +−= kxf bkakxxf )(' )( ⇒ x? ⇒ k? Câu 1. Cho hàm số y = f(x) = 1 2 + − x x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm có hoành độ x 0 là nghiệm của phương trình f’(x 0 ) = 3 Câu 2. Cho hàm số: x x y − − = 1 12 có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đt (d): 12x + 3y + 2 = 0 Câu 3. Cho hàm số 3 2 3 4y x x= − + ; gọi đồ thị hàm số là (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Trên (C) lấy điểm A có hoành độ 2 A x = . Viết phương trình đường thẳng d qua A và d tiếp xúc với (C). Câu 4. Cho hàm số 3 32 +− − = x x y có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Câu 5. Cho hàm số y = –x 3 – 3x + 4 có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = – 15x + 2009 Câu 6. Cho hàm số : y =f(x) = - 1 3 x 3 + 2x 2 - 3x 1. (2đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên. 2. (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x 0 ,biết rằng f ” (x 0 )=6. Câu 7. Cho hàm số 13)( 23 −+−== xxxfy có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 0 x , biết 0)('' 0 =xf Câu 8. Cho hàm số 3 2 3 1y x x= − + có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 Câu 9. Cho hàm số y = 1 1 − + x x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại điểm có tung độ bằng 2 Câu 10. Cho hàm số 3 2 y x 3x 1 = − + − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với 1 (d) : y x 2011 9 = − . Câu 11. Cho hàm số: y = f(x) = x x − + 1 32 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 5 Câu 12. Cho hàm số 2 1 1 y x x = + − có đồ thị (C) 3 Tổ Toán Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục Ox Câu 13. Cho hàm số 4 2 ( ) 2y f x x x= = − . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1)M − . Câu 14. Cho hàm số ( ) 1 1 1 x y x + = − có đồ thị là (C) 1. Khảo sát hàm số (1) 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1) Câu 15. Cho hàm số y = 3 3 1x x− + ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị Câu 16. Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y f x x + = = + (H). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. M là điểm bất kỳ thuộc (H). I là giao điểm hai tiệm cận . Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. i. Chứng minh M là trung điểm AB. ii. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. iii. Tìm M để IA+IB nhỏ nhất. (ĐS: M(0;1) hoặc M(-2;3).) DẠNG 4 : DIỆN TÍCH−THỂ TÍCH a. Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C 1 ), (C 2 ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 1 ), (C 2 ) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: ( ) ( ) b a S f x g x dx = − ∫ Chú ý: Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b. b. Thể tích Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox được tính bởi công thức: ( ) [ ] ∫ = b a dxxfV 2 π Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=ξ(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức: ( ) [ ] ∫ = d c dyyV 2 ξπ Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)≥g(x), ∀x∈[a;b]) được tính bởi công thức: ( ) [ ] ( ) [ ] { } ∫ −= b a dxxgxfV 22 π . * * * Câu 1. Cho hàm số y = (x2 - 1) 2 (4). 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (4). 2. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1; 2] 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 4. 4 Tổ Toán x y O f(x) g(x) ba x y O f(x ) ξ(x) ba y x c d O Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán Câu 2. Cho hàm số: y = f(x) = 4 2 1x mx m − + − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4. 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox. Câu 3. Cho hàm số 1 2 − + = x x y , có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung Oy 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các trục tọa độ. Câu 4. Cho hàm số 3 2 6 9y x x x= − + − , có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng y = –x Câu 5. Cho hàm số y = 1 1 + − x x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x 0 = -2 3.Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ. Tính diện tích hình phẳng (H) Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số 2 3 2 1 2 1 x x y x − − = + , tiệm cận xiên của đồ thị (C), đường thẳng x = 1 và trục tung Câu 7. Cho hàm số ( ) 2 2 1 1 m x m y x − − = − (1) (m là tham số). (ĐH Khối−D 2002) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=−1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x. ĐS: b. 4 1 4ln 3 S = − + , c 1m ≠ . DẠNG 5 : MỘT SỐ DẠNG KHÁC Câu 1. Cho hàm số 2 3 1 x y x + = − + có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm các điểm trên đồ thị ( ) C của hàm số có tọa độ là những số nguyên. Câu 2. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 ; (l) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m =1. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (l) có 3 điểm cực trị Câu 3. Cho hàm số 4 2 3( ) 2y f x x x+= − += . 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 2. Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị hàm số Câu 4. Cho hàm số y = 4 2 x + 2(m+1)x + 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị. Câu 5. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 . m là tham số 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 5 Tổ Toán Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán Câu 6. Cho hàm số 2 3 x y x + = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. Câu 7. Cho hàm số 1 12 + + = x x y có đồ thị là (C) 1. Khảo sát hàm số và vẽ (C) 2. Viết phương trình đường thẳng qua M(1 ; 0) cắt (C) tại hai điểm A, B nhận M làm trung điểm. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ( )y f x = trên D A. Hai cách thường dùng. Cách 1: - Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên D. - Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN . Cách 2: Nếu ( )f x liên tục trên D = [a;b] - Tìm các điểm 1 2 , , , n x x x… trên khoảng (a;b) mà tại đó , ( )f x bằng 0 hoặc , ( )f x không tồn tại. - Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b… . - Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. - Ta có [ ; ] [ ; ] min ( ) ,max ( ) a b a b f x m f x M= = . B. Bài tập. 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 ( ) 9f x x x x= + + trên đoạn [-3;5]. 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 ( ) 2 f x x x = + − trên đoạn [3;5]. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = 2 x 2 x+ − . 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 2 1 2 2 f x x x = − + + trên khoảng 5 ( ; ) 2 −∞ − . 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ( ) 8f x x x= + − . 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) 9 3f x x= − trên đoạn [-2;2]. 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 ( ) sin cos 2 f x x x= − + . 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 ( ) cos cos 1f x x x= + − trên đoạn 3 [0; ] 2 π . 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 4 ( ) cos sinf x x x= + . 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) x x e f x e e = + trên đoạn [ln 2 ; ln 4] . 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ( ) ln( 5 )f x x x= + + trên đoạn [-2;2]. 12. . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x e y x = + trên đoạn [0;2] 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 2.lnx trên đoạn [1 ; e] 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 2f x x = − trên đoạn [ ] 1;1− 15. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = 2 cos2 4sinx x + trên đoạn 0; 2 π       6 Tổ Toán . trị. Câu 5. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m – 2 . m là tham số 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu 2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 5 Tổ Toán Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán Câu. đồ thị hàm số . 2. Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị hàm số Câu 4. Cho hàm số y = 4 2 x + 2(m+1)x + 1 (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số có 3. x y O f(x) g(x) ba x y O f(x ) ξ(x) ba y x c d O Tài liệu ôn Thi Tốt Nghiệp môn Toán Câu 2. Cho hàm số: y = f(x) = 4 2 1x mx m − + − 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4. 2) Tính diện tích